Espaces Vectoriels

[Alexsss9]

Bonjour,
Je suis présentement en première année du baccalauréat en mathématiques, et on me demande l'exercice suivant:

"Soit K un corps et E un k-espace vectoriel non-nul. Montrer que E est infini lorsque K est infini."

Je débute à peine avec les espaces vectoriels donc ma compréhension est plutôt nulle ...
Je n'ai pas vu de notions de bases ou de générateurs encore.
Quelqu'un pourrait me guider svp?
Alexandre
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[Alexsss9]

Rectification, j'ai abordé le sujet de bases et d'indépendance linéaire...

[Tryss2]

Si E est non réduit à {0}, il existe un élément x non nul dans E. Maintenant, on peut regarder les éléments de la forme a.x, ou a appartient à K. On peut en particulier mettre {a.x | a dans K} en bijection avec un ensemble infini (lequel?)

[G.Renault]

Bonjour,

Un espace vectoriel sur un corps , c'est un ensemble de vecteurs qui vérifie certaines propriétés.
Par exemple, cet ensemble contient toujours le vecteur nul.
Ensuite il est stable par addition, c'est-à-dire que si tu prends deux vecteurs et dans , alors est aussi un vecteur de .
En lisant la définition, tu verras bien d'autres choses que doit vérifier.

Tu verras notamment que est stable par multiplication par un scalaire (un élément de ), c'est-à-dire que si tu prends et , alors .
Pour te donner un exemple plus familier, imaginons que est un espace vectoriel sur le corps des réels et qu'il contient des vecteurs du plan.
Si le vecteur appartient à , tu sais aussi que appartient à (on multiplie un vecteur de par un scalaire i.e. un élément du corps ). Tu sais aussi que contient , , , , etc...

En ajoutant un peu de rigueur, ceci devrait te donner une bonne indication pour répondre à ta question.

[A voir en vidéo sur Futura]

[joel_5632]

bonjour

Il me vient une interrogation:

Pour x vecteur non nul, est-on sur que les a.x , quand a décrit K, sont tous différents ?

[invite02232301]

Bonjour,
Oui, par distributivité, associativité et le fait que le 1 du corps agit comme l'identité.

[joel_5632]

Peux-tu détailler stp ?

Si je suppose qu'on a: a.x = b.x
alors (a-b).x = 0

comment en déduire que a= b ?

Autrement dit comment montrer que pour x non nul:

[invite02232301]

Parce que si a est different de b, alors (a-b)^{-1}(a-b)x=0=1.x=x, et x est nul, ce qui est exclu.

[joel_5632]

exact

C'est le fameux 1.u = u

[Alexsss9]

Bonjour,
Merci à Tryss2 et G.Renault pour ces réponses détaillées, c'est vraiment d'une grande aide!
J'ai suffisamment d'informations pour répondre maintenant

[Alexsss9]

Je relance un peu la discussion pour la question de Joel.
Je ne suis pas certain de comprendre..
Supposons l'espace vectoriel réel des polynômes de degré 1 que j'appelerai E.
Alors on a que .
Pourtant
Où est mon erreur de raisonnement?
Merci beaucoup

[Tryss2]

Non, ce qu'il se demande c'est, à x fixé, si on a deux multiples de x notés a.x et b.x , est ce que si on a a différent de b, est ce que a.x est nécessairement différent de b.x

[Alexsss9]

ahh d'accord c'est bien logique alors!
Mais qu'en est-il de mon affirmation?
Si j'ai plusieurs éléments identiques alors peut-être que mon espace vectoriel ne sera pas infini?

[Tryss2]

Bah, il est clair que , mais je ne vois pas ce que ça peut dire sur E...

[G.Renault]

Tu parles d'un espace vectoriel sur R qui est un corps de cardinal infini.
Ton espace vectoriel contient notamment tous les polynômes de la forme aX où a parcourt R, il est donc nécessairement de cardinal infini.

On rappelle que aX=bX => a=b (et donc a différent de b implique aX différent de bX)

[Alexsss9]

ahh oui c'est vrai merci!
Je viens à douter de moi même quelques fois hhahahahahahah