Autre méthode pour cette intégrale.

[Adi6]

Bonjour,
Dans un exercice j'avais à calculer cette intégrale :




Pour se faire je suis allé chercher des formules et j'ai fini par trouver celle-ci :
"Une primitive de est "
J'ai donc obtenu le résultat suivant : (+ constante, mais j'avais des bornes que je n'ai pas précisé)



Mais sans cette formule j'aurais été bien embêté, comment aurais-je du faire si je ne l'avais pas eu ?
J'aimerais juste savoir s'il y a une autre méthode possible ou comment vous auriez procédé.
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[Tryss2]

On peut faire une intégration par partie, en intégrant sin(x) et en dérivant n(cos(x))^n. On va alors retrouver le résultat.

[Adi6]

Tout simplement, je ne sais pas pourquoi je bloque sur des trucs comme ça parfois...
Merci.

[joel_5632]

bonjour

si tu connais (g'of)*f' = (gof)'

f(x) = cos(x)
g'(x) = nx^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Adi6,

l'intégration est une technique délicate, car il n'y a pas automaticité. On sait dériver n'importe quel calcul à partir de fonctions élémentaires, l'inverse n'est pas évident (et pour une fonction prise au hasard généralement pas possible). Exactement comme la factorisation (alors que le développement est facile) ou le remontage d'une horloge (alors qu'on arrive généralement à la démonter). Donc comme on ne peut pas factoriser en réels x²+1, ou qu'avec 25 pièces d'horlogerie il n'y a aucune raison qu'on arrive à faire une horloge, intégrer n'est possible que dans des cas particulier, "simples". D'où la nécessité de connaître de nombreuses méthodes (pour les spécialistes, il y a des bouquins !), mais heureusement, la plupart sont simplement des formules de dérivation réécrites.
Ta formule sur une primitive de u' uⁿ (n différent de -1) n'est qu'une transformation de la formule de dérivation de uⁿ : (uⁿ)'=nu^n-1. On remplace n par n+1, on divise par n+1 et on a comme dérivée u_n.
Conclusion : Apprends complétement les règles de dérivation pour pouvoir penser à des "quasi-dérivées" au moment d'intégrer. Et transforme toutes tes formules de dérivation en formules d'intégration.

Cordialement.

[Adi6]

C'est justement parce que c'est délicat que je suis venu demander comment vous auriez procédé.
Merci pour ces réponses supplémentaires, je vais continuer à en refaire du coup...