Représentation distribution de Dirac

[freemp]

Salut à tous.

Ma question est assez simple : est ce que toute suite de fonctions d'intégrale égale à 1, telles que leur support tende vers 0 quand le paramètre tend vers l'infini est une représentation de la distribution de Dirac ?
Si ce n'est pas le cas, existe il un théorème "assez" général permettant tel que si les conditions sont vérifiées alors on a une représentation de la distribution de Dirac (sous entendu sans faire un calcul explicite où on teste une suite de fonctions données et on regarde si ça marche ou pas).

Merci !
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[Amanuensis]

Si on prend une suite de fonctions avec une forte dissymétrie par rapport à 0, genre des fonctions à support ]0, a_i[ avec a_i tendant vers 0, qu'est-ce qui se passe?

(C'est juste une question, dont la réponse peut éventuellement aider à répondre au message #1.)

[freemp]

Hmmm en gros j'ai pris :

f=1/ai sur l'intervalle proposé.

Un phi quelconque et j'ai interverti lim et intégrale après un changement de variable du type t=ai*u (t étant ma variable initiale).
Mais j'ai pas obtenu de contradiction (je trouve PHI(0) après la limite).

Après je pense que je vois "en gros" pourquoi ça marcherai pas avec des fonctions de ce type : quand ai tend vers 0 la fonction tend vers 0 car 0 n'est pas dans son support ?
Mais j'arrive pas à trouver de contradiction.

Après j'ai pas une très forte intuition en maths.

[Amanuensis]

Après je pense que je vois "en gros" pourquoi ça marcherai pas avec des fonctions de ce type : quand ai tend vers 0 la fonction tend vers 0 car 0 n'est pas dans son support ?

Ce point là, et aussi la non symétrie par rapport à 0. Les exemples les plus fréquemment proposés sont avec une série de fonctions symétriques.

Mais j'arrive pas à trouver de contradiction.

Moi non plus. Sauf erreur de ma part, cela marche même avec des suites du genre que j'ai indiqué si on applique l'intégrale du produit à des fonctions "bien lisses". Peut-être chercher à appliquer à des fonctions continues mais "pathologiques", sans dérivée sur un voisinage de 0 par exemple?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Il me semble que le mieux serait d'essayer de démontrer que la limite d'une suite de telles fonctions est, dans l'espace des distributions, la distribution de Dirac. En vérifiant les étapes, on peut voir où ça coince (si ça coince).
Bien sûr, on impose que le support contienne 0, car sinon, il y a des contre-exemples simples (support glissant vers l'infini).

Cordialement.

[Amanuensis]

Bien sûr, on impose que le support contienne 0, car sinon, il y a des contre-exemples simples (support glissant vers l'infini).

Un exemple?

(Ce n'a rien d'évident pour moi. Une fonction test étant continue, ses valeurs dans un voisinage de 0 privé de 0 suffisent à donner l'information sur la valeur en 0, et même si on ne prend que ]0, a[ ; il suffit que 0 soit dans l'adhérence du support pour avoir l'info.)

[Au passage j'ai écrit une bêtise. Les fonctions tests sont Cinfini, et donc cela ne sert à rien de s'occuper de fonctions non dérivables.]

[freemp]

En fait j'aurai aussi une autre question en parallèle (même si je sais qu'on a pas encore répondu à la précédente):

Existe il des représentations de Dirac f_a telles que l'intégrale de f_a dépend de a, mais la limite de l'intégrale des f_a existe et vaut 1 ?
Ou alors on est obligé d'avoir pour tout a l'intégrale de f_a = 1 ?

Merci.

[gg0]

Je ne comprends pas vraiment ce que tu appelles des " représentations de Dirac". La distribution de Dirac est une distribution très simple. On peut l'avoir comme limite (*) de distributions associées à des fonctions. Est-ce ça que tu appelles "une représentation" ? Dans ce cas, rien n'interdit que les intégrales ne soient pas égales à 1.

Pour ton message #6, pense à fn qui est nulle sauf sur [n;n+1/n] où elle vaut n. La limite est 0 (la distribution nulle).

Cordialement.

(*) Dans D'.

[freemp]

Oui c'est bien ce que j'appelle une représentation. En fait je parle plus précisément de la suite de fonction associée à la suite de distributions régulières. Je me demandais si il était obligatoire que les intégrales de ces fonctions soient forcément égales à un (car c'est présenté comme ça dans tout les cours).

En fait si je pose cette question c'est parce que mon but c'est surtout de mieux comprendre pourquoi ces outils sont valides en physique, pourquoi ils permettent de décrire correctement des grandeurs physiques, comme les fonctions avant l'introduction des distributions.

Je m'intéresse notamment au cas d'un choc. Si j'ai bien compris les distributions permettent de moyenner des grandeurs physiques autour d'un point (on prend des fonctions tests centrées autour du point qu'on souhaite évaluer).
Du coup si j'ai un choc à un instant t=0, on a (epsilon représente la largeur du choc, on la fait tendre vers 0).
On voit donc que même si le dirac n'est pas en soit une distribution régulière, il correspond à la limite de la moyenne temporelle d'un choc quand la durée de ce dernier tend vers 0. Donc le Dirac garde son interprétation de moyenne comme n'importe quelle distribution régulière, car c'est la limite d'une suite de distributions régulières on peut donc le voir comme la limite d'une moyenne.

Si je posais la question de "est ce que l'intégrale de est forcément indépendante de " c'est parce que si je cherche à réduire le durée du choc vers 0, je ne vois pas pourquoi physiquement il faut qu'on ait l'intégrale qui soit indépendante de epsilon comme c'est écrit dans les cours de maths que j'ai pu trouver.
C'est peut être pratique pour faire des démos de maths, mais en physique rien n'oblige que ce soit le cas.

[Amanuensis]

message #6, (...) fn qui est nulle sauf sur [n;n+1/n] où elle vaut n. La limite est 0 (la distribution nulle).

Ce n'est pas seulement un cas où 0 n'est pas dans le support, mais aussi un cas où 0 n'est pas dans l'adhérence du support.


Il me semble que la condition minimale n'est pas "Bien sûr, 0 doit être dans le support" (message #5), mais "0 doit être dans l'adhérence du support".

Ce qui serait intéressant serait un contre-exemple avec 0 dans l'adhérence mais par dans le support.

[Amanuensis]

Je me demandais si il était obligatoire que les intégrales de ces fonctions soient forcément égales à un (car c'est présenté comme ça dans tout les cours).

Doit suffire qu'elle tende vers 1.

[freemp]

Okay, merci !

[Amanuensis]

À vérifier quand même!!

[gg0]

Amanuensis,

le support n'est pas un fermé ? Il me semblait, pourtant. Voilà pourquoi je n'avais pas besoin d'adhérence.

Cordialement.

[gg0]

Freemp,

un choc n'est pas un Dirac. Mais il peut être modélisé par un Dirac, quand on ne regarde pas de trop près. Car physiquement, si la durée tend vers 0, il n'y a plus de choc. la vitesse relative étant inférieure à celle de la lumière, il faut du temps pour déplacer un atome de son diamètre.

Donc il reste 2 questions très différentes :
* l'accord entre les modélisations et la réalité (problème de physicien)
* le fonctionnement interne des calculs (problème de mathématicien)

Cordialement.

[freemp]

Oui je suis d'accord avec ce que vous dites, d'ailleurs pourriez vous me dire si j'ai juste dans ce qui suit ?

Ce que j'ai compris du dirac c'est que c'est un outil qu'on va utiliser pour "moyenner" un choc infiniment court.

En gros si on a un choc on a une fonction piquée, mais de très courte durée.

Si on représente nos grandeurs physiques par des distributions, on représentera entre autre le choc par :



Jusqu'à présent la grandeur ci dessus est la moyenne du choc (car on évalue avec des fonctions tests).

Ensuite on utilise le fait que le choc est de très courte durée (c'est en fait quasiment la définition d'un choc).
On traduit ça par (epsilon est le support du choc).

Ça fait apparaître le Dirac.

Le dirac évalué en une fonction test c'est donc la moyenne d'un choc modélisé comme infiniment court.
Le terme "moyenne" vient du fait qu'on travaille avec des distributions (avant le passage à la limite on avait une distribution régulière, on moyennait donc la grandeur physique sur les fonctions tests).
Le terme infiniment court viens du fait qu'on a fait tendre le support du choc vers 0, c'est ce qui a fait apparaitre mathématiquement le dirac.

Après si on s'intéresse à ce qui se passe "de près", on ne peut pas faire tendre epsilon vers 0 et on se retrouve avec une distribution régulière "standard".
Mais "de loin" ça revient à dire que epsilon tend vers 0 (physiquement ça veut dire "support du choc << support de la fonction test", autrement dit "choc très court devant les grandeurs temporelles minimales auxquelles on a accès").

merci !

[Amanuensis]

le support n'est pas un fermé ? Il me semblait, pourtant.

Je ne sais pas quelles sont les règles en fait, et c'est un peu ce que j'examine. Mais je ne vois pas trop pourquoi imposer un support fermé.

Mais à relire le message #1, il est écrit "dont le support tende vers 0", ce que je comprends comme "dont le support tende vers {0}".

Du coup, j'imagine que cela implique que 0 doit être inclus dans le support de f_i à partir d'un certain indice, ce qui revient au même qu'imposer qu'il y soit pour toute la suite. Ce qui amène la condition que vous indiquiez plus tôt.

Donc mes tentatives de contre-exemples ne sont pas adaptées.

Peut-être qu'est acceptable toute suite de fonctions de supports contenant 0, de supports tendant vers {0}, et d'intégrales tendant vers 1.

J'imagine qu'il y a quand même une condition de continuité, fonctions C0 ou même Cinfini ? Ou continue en 0, ou mieux?

[Tryss2]

Mais je ne vois pas trop pourquoi imposer un support fermé.

Le support d'une fonction est, par définition, un fermé:

[Amanuensis]

Ah!

Fermé par rapport à quoi? À son domaine de définition?

Quel est le support de la fonction R+* -> R, x -> 1/x ?

[Tryss2]

Fermé par rapport à son domaine de définition bien entendu. Ça n'aurai pas de sens de considérer un autre espace.

Et donc pour ton exemple, le support de ta fonction est égal à son ensemble de définition, qui est un fermé dans lui même.

Mais bon, si on veut que les fonctions représentent des distributions régulières, l'ensemble de définition c'est forcément IR.

[invite02232301]

Bonjour,
on demande au support d'etre ferme, parce sur le minimum qu'on attend d'un point qui n'est pas dans le support c'est que f ainsi que toutes ses dérivées y soient nulles.
Un critere pratique pour qu'une suite de fonctions integrables positives converge vers le dirac et d'etre normalisee et sue don integrale se concentre sur 0 ie pour tout e>0 et r>0 on peut trouver unrang a partir duquel l'integrale hors de [-r,r] est plus petite qu'epsilon.

Dsl de la syntaxe, je suis dur mon tel.