Bonjour, j'ai un problème avec un exercice contenant des polynômes annulateurs. Voici l'énoncé :
On a E un K-ev de dimension finie, et.
1) On suppose que
2) on prend :
Justifier que il existe
J'ai réussi à prouver que Im(u) était inclus dans S, mais j'ai du mal avec l'autre sens.
Pour la deuxième, je n'ai absolument aucune idée, j'ai cherché dans mon cours sur les divisions euclidiennes mais on a rien fait de tel.
Dernière modification par Manaphy ; 12/11/2015 à 18h42.
Ah tant que j'y pense, si quelqu'un pouvait me dire comment démontrer qu'un espace est un sous-corps d'un autre espace.
Pour plus de précisions, j'ai K un Q-sous-espace vectoriel de dimension finie de R, stable par produit, non réduit à {0} et je dois montrer Que K est un sous-corps de R. Comme je n'ai jamais encore fait ça, je m'en remets à vous pour me dire comment faire ^^'
Bonjour.
"j'ai du mal avec l'autre sens" c'est évident, c'est dit dans l'énoncé : S est u-stable.
Pour la suite, tu peux sans doute regarder ce que ça donne dans une base composée avec une base de Ker u et une de S. je suppose que tu as vu le théorème de Cayley-Hamilton et les liens polynôme annulateur, polynôme minimal.
Cordialement.
Comme toujours, les opérations internes conservant leurs propriétés, il suffit de montrer que pour deux éléments x et y, x-y est dans K (mais tu le sais déjà, puisque c'est un sev) et si y est non nul, que xy-1 est dans K.Envoyé par Manaphy
Pour la condition xy-1 est dans K, tu peux décomposer en " pour tout couple (x,y), xy est dans K" et "si y est non nul, y-1 est dans K".
La deuxième condition s'obtient en exploitant le fait que la dimension n est finie et regardant la famille (1,y,y², ... yn).
Cordialement.
Absolument pas, je vais me renseigner. C'est un devoir pour les 5/2 en principe et je suis 3/2, peut-être ont-ils déjà vu ça mais moi non, je me suis arrêté aux polynômes annulateurs des matrices de Jordan et des matrices compagnons, ainsi qu'à la division euclidienne.je suppose que tu as vu le théorème de Cayley-Hamilton et les liens polynôme annulateur, polynôme minimal.
Si j'ai bien compris pour S C Im(u), c'est car si on prend x dans S, on peut l'écrire x=u(t) avec t dans S, donc x est dans Im(u), c'est ça ?
Que veut dire pour toi "u-stable" ?
u-stable = "Pour tout x dans S, u(x) est dans S." Ou plus courtement, u(S) C S
En fait, je crois que ce n'est pas cela, "stable"; C'est plutôt U(S)=S. S est "globalement conservé par u".
Ah d'accord, en effet j'arrive mieux à m'expliquer ainsi, merci.
J'ai essayé de voir le théorème de Cayley-Hamilton, si je comprends bien je dois utiliser une relation du type :
Dernière modification par Manaphy ; 12/11/2015 à 21h29.
Si tu ne connais pas,
inutile de faire des devoirs sur des sujets inconnus, tu perds ton temps. Apprends plutôt les cours correspondants pour comprendre et avoir des outils intellectuels : Tu ne vas pas tout réinventer et on ne va pas refaire ici un cours que tu peux trouver.
Cordialement.
Je ne pouvais pas préméditer avoir besoin de ce théorème dont je n'ai jamais entendu parler avant maintenant avant de choisir ce devoir. Enfin bref, je vais passer cette partie. Merci déjà pour ton aide.
Dernière modification par Manaphy ; 12/11/2015 à 21h51.
heu ... je viens de relire ton énoncé, je l'avais lu de travers. la question posée ne concerne en rien u. C'est une simple question sur la factorisation de polynôme. On factorise X au maximum, c'est tout. Si tu n'as pas le théorème de factorisation des polynômes, tu peux procéder par récurrence : So P(0)=0, on peut factoriser X, sinon P(x)= XQ(X) avec deg(Q)=p-1. Si Q(0) est non nul, on a fini, sinon on recommence, jusqu'à arriver à deg(Q)=0 ou Q(0) non nul.
Il faut sans doute supposer P non nul ou p>0.
Désolé pour être allé chercher des choses compliquées (le P(u)=0E m'a perturbé). Mais après tout, tu aurais pu le voir, toi !!
Dernière modification par gg0 ; 13/11/2015 à 10h23.
