nombres complexes

[deok.ville]

bonjours à tout le monde,
je trouvais un problème dans la solution d'un exercice , voila l'exercice(question 1 ):
ex1.GIF

et voila la solution

ex2.GIF
mon problème c'est que je comprends pas que signifie ces phrases

ex3.GIF
plus précisément 2pi Z car on connait déjà que x est un réel.
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[Pixin]

Bonsoir,
2piZ signifie, en language plus commun "les multiples de deux pi" (c'est à dire 4pi, 6 pi, ou bien -2pi,0 ,...)

[deok.ville]

Merci beaucoups Pixin pour votre reponse,
une petite question , ce que je comprends qu'on utilise le premier cas seulement si x est un multiple de pi , mais pour le deuxieme cas c'e pour ts les valeurs de x et meme si x est un multiple de pi, est ce que c'est correct ??? Merci d'avance

[gg0]

Ben non, ce n'est pas correct.

le fond du problème c'est que pour utiliser la formule du deuxième cas (somme de termes successifs d'une suite géométrique), il faut que la suite ne soit pas de raison 1, donc ici que exp(ix) ne soit pas égal à 1.
Donc les multiples pairs de Pi ne permettent pas le calcul du deuxième cas. Et attention, ce ne sont pas les multiples de pi qui sont en cause, mais ceux de 2pi; Donc parmi les multiples de pi, certains relèvent du premier cas, d'autres du deuxième.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[deok.ville]

Merci bcp gg0 c'est plus clair !