Sommation

[WattWatt]

Bonjour,

Je travail sur un DM de maths portant sur les calculs algébriques.
Je suis en maths sup, et comme d'habitude la première question me semble infaisable avec le peu de recul dont je dispose (bien qu'après coup elle semblera évidente), j'espère donc que vous pourrez m'aider pour voir la subtilité.

Voici la question :

Si n et p sont deux entiers naturels, on note Sn(p) = Somme de k allant de 0 à p-1 de k^n

Montrer que pour tout (n,p) appartenant aux entiers naturels,

[Somme de k allant de 0 à n-1 de (k parmi n)]*Sk(p) = p^n

Voilà voilà..

Merci d'avance
-----

[gg0]

Bonjour.

Il doit y avoir une erreur de parenthésage. Tu as dans le crochet une expression qui vaut et tu demandes qu'on démontre que
Pour n et p fixés, le premier membre varie avec k, pas le deuxième.

Cordialement.

[WattWatt]

Merci pour votre réponse,

Ci-joint le sujet.

Cordialement.

[WattWatt]

J'ai probablement mal interprété le sujet alors, ce ne serait pas

[Somme de k allant de 0 à n-1 de (k parmi n)]*Sk(p) = p^n

mais

Somme de k allant de 0 à n-1 de [(k parmi n)*Sk(p)] = p^n ?

J'ai effectué plusieurs calculs sur la première formule mais ça n’aboutit pas..

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Il suffit de permuter les deux signes sommes (en faisant attention aux différents indices). On retrouve alors l'expression du binome de newton où manque seulement le terme de plus haut degré, ce qu'on peut réécrire comme différence (k+1)^n-k^n. Ensuite la deuxième sommation ne laisse que p^n.

[gg0]

Par une convention très ancienne (vue en début de collège), le produit a priorité sur la somme (même écrite avec le symbole Sigma), donc la traduction met le crochet autour de tout.

Cordialement.

[WattWatt]

Merci pour ces précieux conseils; j'arrive en effet à faire figurer une somme double avec quelque chose ressemblant fortement à un binôme de Newton.

Je tombe sur ceci :

Somme de k allant de 0 à n-1 [ Somme de k allant de 0 à p-1 de (k parmi n)*k^k ]

La deuxième somme me pose effectivement problème à cause de l'indice p-1, alors qu'il me faudrait un "n"...

[gg0]

Si k est l'indice de la première somme, il ne peut pas être celui de la deuxième, sauf à ne plus savoir ce qu'on écrit.

Tu peux parfaitement remplacer une lettre muette (indice dans une somme, variable d'intégration, inconnue d'une équation, ...) par une autre sans changer la nature du problème. Donc soit tu utilises ma définition de S ci-dessus pour pouvoir utiliser k au début, soit tu changes l'indice de la première somme en remplaçant k par une autre lettre, ce qui te permettra de l'utiliser dans S_n(p).
Ensuite, il va falloir enfin attaquer la question. Resartus t'a donné la méthode. Si tu ne comprends pas trop, regarde sur des exemples ce que ça donne pour n faible, ou p faible.

Bon travail !

[WattWatt]

Cela signifie donc que mon dernier message est faux?

[gg0]

On ne peut même pas dire "faux", ça n'a pas de sens, je te l'ai dit.
Quand tu calcules ce que tu as écrit, tu commences par prendre k=0 au début, puis tu calcules " Somme de k allant de 0 à p-1 de (k parmi n)*k^k " c'est à dire " Somme de 0 allant de 0 à p-1 de (0 parmi n)*0^0 " Comment 0 peut-il "aller de 0 à p-1" ?

[WattWatt]

Ah oui vu comme ça c'est stupide de ma part....

[PTSI-PT]

Bonjour à tous,
J'ai buché la question de WattWatt selon les indications fournies, j'obtiens alors:


Je pense qu'il suffit d'échanger les ∑ pour obtenir un semblant de binôme de Newton.
Pouvez-vous, s'il vous plaît me rappeler la propriété de la somme que je peux utiliser dans ce cas?

Bonne soirée.

[gg0]

Wattwatt :

C'est pourquoi il faut toujours contrôler l'usage des variables et indices. En n'hésitant pas à changer de nom pour éviter les clashs.

[gg0]

PTSI-PT :

Il te suffit de comprendre comment fonctionne une somme double (quitte à écrire des exemples avec des nombres faibles de termes) pour trouver la "formule" évidente. Cherche un peu, tu en apprendras plus qu'en copiant une "formule" toute faite.

Cordialement.

[PTSI-PT]

Merci de ton/votre aide...

Cordialement.

[WattWatt]

La démonstration ne serait-elle pas plus simple en passant par une récurrence?

[gg0]

Probablement non.

De cette façon, elle est assez simple, mais bien sûr il faut la faire. double (il y a deux lettres, n et p).
Maintenant, si tu as envie de rédiger une preuve par récurrence, fais-le. mais tu n'éviteras pas de travailler sur les sommes.

"C'est le travail qu'on ne fait pas qui est le plus long" (Sam le hobbit dans "le seigneur des anneaux")

[WattWatt]

Re-bonjour,

Je suis parvenu aux premières questions, merci pour votre aide.

Je reste maintenant bloqué sur une justification qui est jointe.

Passer de la deuxième à la troisième ne me pose pas de problème j'ai bien trouvé comment faire, mais le passage de la première à la deuxième, ou deuxième à première me paraît infaisable après des heures de calculs (changement d'indice du style k' = k+1) je n'aboutis pas.

Merci d'avance encore une fois,

Cordialement