Tenseur métrique et indices en haut, en bas etc

[Murmure-du-vent]

Bonjour

Je lis l'article correspondant sur le wiki

La métrique y est notée tres naturellement avec deux indices covariants
Les notations qui suivent sont moins naturelles. On y écrit la métrique comme une matrice cad comme une ligne de colonnes.
Cette dissymetrie apparait en excel ou l'on parlera de notation (L,C)
Par la suite on y lit que la metrique permet de monter et descendre des indices. On y voit apparaitre ce meme g mais avec des indices supérieurs contravariants. Ca correspond à quel objet mathématique? et pourquoi la notation intermediaire marche t elle si bien pour le produit scalaire de deux vecteurs à un tel opint qu'on ne se pose meme plus de question?
-----

[Murmure-du-vent]

Je viens de trouver sur le web la notion d'isomorphisme musical. J'y retrouve la notation avec des diezes et des bémols qu"avait utilisé Amanuensis dans un autre fil.

[Murmure-du-vent]

J'ai trouvé pour la métrique avec les indices en haut. En fait il y a une métrique qui fournit des produits scalires sur les vecteurs tangents
en un point de l'espace temps (les indices en bas) c'est une forme bilinéaire de deux tels vecteurs g(v1,v2)
l'autre (indices en haut) donne le produit scalaire de deux formes linéaires agissant sur ces v1 et v2.
g(v1,.) ou j"ai laissé un point est une telle forme. Si je remplace le point par un vecteur w j'obtiens un nombre associé à w.
le produit scalaire de deux telles forme G(g(v1,-),g(v2,-)) peut etre défini comme g(v1,v2). Ce G est la métrique avec les indices en haut
Quand on ecrit leurs matrices on trouve les memes elements de matrice. si on les multiplie on a la matrice identité.
Et là je continue à etre étonné n'est pas la matrice de la métrique du wiki mais la matrice unité.
Un indice en haut et un en bas ne correspond pas à ligne/colonne

[invite02232301]

Bonjour,
Suite à ton message ici, je suis venu voir ce fil.
Je veux bien t'aider, mais en fait je ne vois pas bien quelle est ta question ?

Une fois qu'une métrique sur ton espace tangent V=T_xX est choisie tu as un isomorphisme canonique entre V et V^* qui bien sur te donne des isomorphismes V^truc\otimes V^bidule sur V\otimes V ou truc et bidule valent soit 1 soit *. La métrique est naturellement un element de V^*\otimes V^* qui soit symétrique. Tu as donc un tenseur associée à elle dans V^truc\otimes V^bidule pour tout truc et tout bidule (son image par les isomorphismes dont il était question plus haut). C'est le sens des differentes notation g_ij, g^ij ou g^i_j etc... Ils agissent comme tu l'imagines sur V ou V*.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Au passage pour comprendre pourquoi g^i_j est l'identité, il faut se rappeler que V\otimes V^* est l'espace des endomorphisme de V, et pour verifier que l'endomorphisme associé à g dans End(V) est l'identité on peut le verifier sur une base orthonormale pour g, et le resultat est alors evident car e_i^*=g(e_i,.) dans le cas d'une BON. Du coup e_i^*\otimes e_i^* s'envoie sur e_i\otimes e_i^*, ce qui donne bien l'identité après sommation sur i.

[Murmure-du-vent]

Comme je l'ai écrit je n'ai pas de pb avec
C'est plutot avec le fait que quand j'ai une matrice M, l'élement de ligne i et colonne j je le pense comme
et avec la "matrice" g de la métrique çà ne colle pas.
Cependant cette habitude est cohérente avec la convention de sommation d'Einstein.

[invite02232301]

Ben la matrice d'une forme bilinéaire, c'est pas la matrice d'une application linéaire.
La metrique g est une forme bilinéaire, ce qu'on appelle sa matrice (dans une base e_i) c'est la matrice g(e_i,e_j).
Je comprend toujours pas ta question en fait.
Et tu gagnerai à preciser tes notations, pour moi g_ij=g^{i,j} ca veut pas dire grand chose. Ce sont deux objets differents.

[Murmure-du-vent]

Ce n'est pas vraiment une question que je pose. Effectivement on peut associer une matrice à une forme bilinéaire
par exemple ici
qui précise bien cette notation.
En fait ce qui me génait un peu c'est qu'il y a une asymétrie dans une matrice (ligne, colonne) qui est absente dans une forme bylinéaire symétrique.
Quand on a la matrice d'une application il y a une asymetrie espace de départ/arrivée meme s'ils sont égaux.
Dans le cas de la métrique ca vient juste du fait qu'ayant deux vecteurs on se dit il y a le premier et le second.

[invite02232301]

Mais ... une metrique est une forme bilinéaire symétrique!!
Si tu considère une forme bilinéaire non symétrique, alors oui il y a une dissymétrie qui provient du choix entre un premier et un second vecteur.

[Murmure-du-vent]

Bref c'est plutot l'impression qu'une matrice n'est pas vaiment un objet mathématique mais plutot un truc mnémonique utile.

[invite02232301]

Ben, non une matrice c'est un objet mathématique... Un nom pédant pour tableau de nombre. Cf ma réponse dans ton autre fil.

[stefjm]

Bonjour,
L'usage du terme matrice n'implique-t-il pas de loi d'addition et/ou de multiplication (Si dimensions compatibles)?
(Contrairement à l'usage de tableau de nombre?)
Cordialement.

[invite02232301]

Oui, et non. La définition mathematique d'une matrice (celle de Bourbaki) ne sous entend pas d'opération dessus. C'est simplement une application de [1,n]x[1m] dans A (ou A est ce qu'on veut), bref un "tableau à coefficients dans A". Apres étant donné que si on met sur les matrices la multiplications case par case (dans le cas ou A est un anneau) M_{m,n}(A) est isomorphe à A^(n.m), la notion dans ce contexte n'a pas vraiment d'interet. Donc effectivement la multiplication sur les matrices, est de base, celle des lignes par les colonnes et pas case à case.
En fait, on continue a parler de matrice associée à un objet meme quand la multiplication sur ces objets n'est pas définie ou pire, qu'elle ne correspond pas à celle des lignes par les colonnes.

Par exemple on peut associer à tout forme bilinéaire une matrice. Il n'y a pas de produit naturel sur les formes bilinéaires, et pourtant on parle quand meme de "matrice d'une forme bilinéaire". Bref le mot tableau n'existe pas en maths, et on utilise matrice à la place (sauf eventuellement en info theorique).

Peut etre devrait on parler de matrice uniquement pour les endomorphismes et les applications linéaires (mais aussi par exemple les matrices d'adjscence liées à un graphe etc...) et de tableau pour les formes bilinéaires etc... Mais ca ne prendra jamais, la terminologie est trop bien ancrée (et plutot innofensive).

[stefjm]

Merci pour ces précisions.
Du coup, avec mon esprit tordu, je vais me demander ce qu'a de particulier la forme bilinéaire issue d'un produit de matrice...

[Murmure-du-vent]

Je continue de trouver peu naturelle que pour avoir le resultat d'une forme bilinéaire M sur 2 vecteurs V et W on aie la notation

Bien sur que çà marche. MiPaMa n'a pourtant pas l'habitude de donner des réponses à la physicienne avec des manipulation de tableaux de chiffres.

[stefjm]

Ca ne me pas moins naturel que l'écriture matricielle d'un produit scalaire.

[invite02232301]

Je continue de trouver peu naturelle que pour avoir le resultat d'une forme bilinéaire M sur 2 vecteurs V et W on aie la notation

Bien sur que çà marche. MiPaMa n'a pourtant pas l'habitude de donner des réponses à la physicienne avec des manipulation de tableaux de chiffres.

Huh?
Pourquoi ce serait peu naturel?
Puis c'est pas une notation, c'est une propriété. Si f est une forme bilinéaire sur V et (e_i) une base de V, et u et v deux vecteurs de V, alors .
C'est cette propriété qui fait qu'un définit la matrice d'une forme bilinéaire comme on la définit et qui assure alors que f(u,v)=U^TMV, si M est la matrice de f.
BIen sur on aurait pu choisir que f(u,v)=V^T M^T U, et decider que la matrice de f ce soit (f(e_j, e_i))_{i,j} au lieu de (f(e_i, e_j))_{i,j} (M^T au lieu de M donc), mais cest quand meme plus simple que l'ordre des colonnes qui apparaissent dans la multiplication des matrices soit le meme que l'ordre des vecteur dans f(u,v) (i.e u à gauche et v à droite)

[Amanuensis]

Huh?
Pourquoi ce serait peu naturel?

Parce que le rôle des deux vecteurs semble différent. Dans l'écriture avec indices , les deux vecteurs apparaissent de manière symétrique.

[Murmure-du-vent]

Je suis d'accord avec MiPaMa sur le fait qu'une application linéaire et une métrique sont deux choses différentes.
Quand je demande quel objet mathématique est une matrice MiPaMa me répond c'est un tableau. Et bien dans ce cas la matrice d'une application et d'une métrique c'est la meme chose c'est un tableau de nombres.
Si l'on a un vecteur je peux faire une colonne de ses composantes contravariantes dans une base.
De meme si j'ai une forme dans la base duale je vais tout naturellement écrire ses composantes covariantes dans une ligne.
Maintenant voyons les choses par l'autre coté. Une notation matricielle nous dit elle quoi que se soit sur le comment des transformations (covariant/contravariant)?
Revenons à la notation avec la métrique

Là çà devient piégeux. Si je me dis à gauche j'ai une ligne de composantes covariantes et a droite une colonne de composantes contravariantes si je mutiplie les vecteurs de bases par 2 çà va se compenser et dans M çà ne doit pas jouer.

Si je me dis Ben non à gauche c'est aussi contravariant mais c'est écrit à plat, les produits des nombres vont etre divisés par 4 et pour avoir invariance Les nombres dans M vont devoir augmenter.
Là çà marche!

La notation avec des matrices ne sert uniquement qu'à manipuler des tableaux de chiffres.
Elle est cependant dangereuse dans la mesure ou psychologiquement elle est associée à celle de changement de bases.
Elle ne dit pas si les collections de nombres manipulés sont scalaires co ou contravariants.
Désolé si ma colere sur le plan politique se reporte injustement sur ces pauvres matrices.

[invite02232301]

Je suis d'accord avec MiPaMa sur le fait qu'une application linéaire et une métrique sont deux choses différentes.
Quand je demande quel objet mathématique est une matrice MiPaMa me répond c'est un tableau. Et bien dans ce cas la matrice d'une application et d'une métrique c'est la meme chose c'est un tableau de nombres.

Ben oui, un tableau de nombre c'est un tableau de nombre. Si on regarde une matrice a priori, il est impossible de dire si elle représente une application linéaire, une forme quadratique, un sous espace, un graphe ou encore mille autre chose. C'est juste un petit gadget combinatoire qui sert dans certaines situations mathématique qui sont tres tres loin de se limiter à l'algèbre (multi)-linéaire.

Si l'on a un vecteur je peux faire une colonne de ses composantes contravariantes dans une base.
De meme si j'ai une forme dans la base duale je vais tout naturellement écrire ses composantes covariantes dans une ligne.

Deja, il n'y a pas de "composantes contravariantes ou covariantes" il y a des coordonées (ou des composantes) si vous preferez. Point.
Et non, vous n'allez pas mettre les coordonnées d'une forme linéaire dans un ligne, ils sont mis en colonne, comme toutes les coordonnées. La forme linéaire \sum a_i f_i (sur un espace V) a pour coordonnes la colonne des a_i dans la base f_i. Par contre la matrice (dans la base antiduale de f_i) de la forme linéaire agissant sur V est effectivement la ligne des a_i.

Maintenant voyons les choses par l'autre coté. Une notation matricielle nous dit elle quoi que se soit sur le comment des transformations (covariant/contravariant)?

Non.

Si je me dis à gauche j'ai une ligne de composantes covariantes et a droite une colonne de composantes contravariantes si je mutiplie les vecteurs de bases par 2 çà va se compenser et dans M çà ne doit pas jouer.

Je pense que vous rendez la chose bien trop compliquée. Oubliez cette histoire de coordonnées covariantes/contravariantes (dont plus personne ne parle de toute façon). Si e_i et e'i sont deux bases d'un espace V, et si P est la matrice de passage de l'une à l'autre, alors la matrice de passage entre les bases duales de e_i et e_i' est simplement la transposée de P^{-1}. C'est tout ce qu'il suffit de savoir.

La notation avec des matrices ne sert uniquement qu'à manipuler des tableaux de chiffres.

Ca sert à faire des calculs concret, ce qui est deja pas mal.

[invite02232301]

Au passage, une forme bilinéaire c'est aussi une application linéaire dans le dual de l'espace de base. Si vous y pensez comme ca alors vous avez une dyssimétrie entre les deux variables. Par exemple vous pouvez voir la métrique (ou une forme bilinéaire non dégénrée) comme un isomorphisme de V dans V^*. De nouveau si vous choisissez une base, alors la forme linéaire g(u) qui agit sur V (par g(u).v=g(u,v)) a pour matrice tUG et bien sur ses coordonnées dans la base duale vaut tGU.
Bref, je n'y vois rien que du tres cohérent. (ce qui est plus piégeux effectivement serait de voir g comme un isomorphisme de V dans V* donné par u->g(.,u), du coup là effectivement il faudrait tout transposer, et la forme linéaire g(,.u) aurait pour matrice tUtG, bon...)

[Amanuensis]

Je pense comprendre les deux points de vue...

Au passage, une forme bilinéaire c'est aussi une application linéaire dans le dual de l'espace de base. Si vous y pensez comme ca alors vous avez une dyssimétrie entre les deux variables.

Oui, mais alors la vision "colonne pour vecteur" et "ligne pour forme" ne marche pas non plus, puisque la matrice ainsi utilisée transforme une "colonne" en une "colonne" ou une "ligne" en une "ligne". (Et non colonne en ligne, comme on l'attendrait pour une application linéaire de V vers V*).

Bref, la vision usuelle d'une "matrice" est celle d'une application linéaire de V dans V, ou de V* dans V*. (Et d'une application bilinéaire de (V, V*) vers les scalaires.)

Et la "visualisation" du cas bilinéaire (VxV vers scalaire, ou V*xV* vers scalaire), ou (c'est pareil) d'une application linéaire de V dans V*, ou réciproquement, clashe avec le cas précédent.

Rien d'étonnant, en fait, puisqu'on parle de choses assez différentes.

Je ne vois pas de manière de dessiner tableaux et vecteurs qui soient adaptée au second cas. Faut donc faire avec, et ne pas penser en termes de colonne et ligne quand on traite du second cas.

De même cela explique l'introduction d'une transposition dans l'écriture, une écriture UMW étant pensée en priorité (et par défaut) comme une application bilinéaire de V*xV vers les scalaire, et U "doit" donc être présenté comme un élément de V*.

Ce sont uniquement des conventions...

Perso je trouve plus claire la notation indicielle, pensée non pas en termes de coordonnées, mais en termes d'indication de la nature du tenseur (et accessoirement une indication précisant les contractions).

[Murmure-du-vent]

D'accord avec ce qui est écrit en tout petit.

[invite02232301]

Je pense comprendre les deux points de vue...



Oui, mais alors la vision "colonne pour vecteur" et "ligne pour forme" ne marche pas non plus, puisque la matrice ainsi utilisée transforme une "colonne" en une "colonne" ou une "ligne" en une "ligne". (Et non colonne en ligne, comme on l'attendrait pour une application linéaire de V vers V*).

C'est fort possible. Mais une forme linéaire ne doit pas necessairement s'exprimer en ligne. Si on l'exprime dans une base quelconque de l'espace dual, alors c'est naturellement une colonne.

Bref, la vision usuelle d'une "matrice" est celle d'une application linéaire de V dans V, ou de V* dans V*. (Et d'une application bilinéaire de (V, V*) vers les scalaires.)

Ben... pourquoi? Pour moi les choses fonctionnent exactement dans l'autre sens, on part d'une application linéaire et on fabrique une matrice. Mais on peut tres bien partir d'une forme bilinéaire, ou dieu sait quoi d'autre.

Et la "visualisation" du cas bilinéaire (VxV vers scalaire, ou V*xV* vers scalaire), ou (c'est pareil) d'une application linéaire de V dans V*, ou réciproquement, clashe avec le cas précédent.

Ben, ca clashe oui, mais je ne vois pas ça comme un souci. Manifestement c'est cette collusion matrice/application linéaire, dont je ne m'explique pas trop la provenance, qui semble en cause.

Rien d'étonnant, en fait, puisqu'on parle de choses assez différentes.

Tout à fait.

Je ne vois pas de manière de dessiner tableaux et vecteurs qui soient adaptée au second cas. Faut donc faire avec, et ne pas penser en termes de colonne et ligne quand on traite du second cas.

C'est simplement que les matrices agissent sur la droite et plus sur la gauche dans ce cas là. Si u est un vecteur de V et si U est sa colonne coords, alors U^T est la matrice de la forme linéaire associée à u via la base duale, et U^TG est la matrice de g(u,.), la matrice de u->g(u,.) est alors tG (si G est la matrice de g dans la base de V). Plus generalement si f:V->W est linaire, alors on a une application tf:Hom(W,k)->Hom(V,k), dont la matrice dans la base duale est la transposée de la matrice de f dans les bases de V et W (disons M), MAIS, la matrice de la forme linéaire fo\phi reste mat(\phi).M.

Dit autrement la matrice de l'application linéaire de Ligne(k,n)->ligne(k,n) donnée par L->LM est... M^T et pas M.

Ce sont uniquement des conventions...

Bien d'accord.

Perso je trouve plus claire la notation indicielle, pensée non pas en termes de coordonnées, mais en termes d'indication de la nature du tenseur (et accessoirement une indication précisant les contractions).

Pour ma part, je prefere simplement indiquer dans quoi vivent mes objets, et choisir mes notations. Ca a l'avantage que je sais toujours ce que je manipule, ca a l'inconvenient du fait que je doive reflechir parfois, alors que certains calculs et considerations pourraient se faire de façon mécanique.

[Amanuensis]

Pour ma part, je prefere simplement indiquer dans quoi vivent mes objets, et choisir mes notations. Ca a l'avantage que je sais toujours ce que je manipule, ca a l'inconvenient du fait que je doive reflechir parfois, alors que certains calculs et considerations pourraient se faire de façon mécanique.

Je comprends bien. On devrait toujours savoir ce qu'on manipule, et utiliser les indices (jeu de mot) donnés par les notations juste pour aider à suivre un calcul, un raisonnement. Mais je constate que définir proprement les domaines des objets est rarement fait, et qu'au fond beaucoup s'en fichent du moment que les calculs aboutissent (je parle pour ce que je lis en physique).

La préférence que j'exprimais est une sorte de compromis...

Cela n'empêche pas de réfléchir sur les notations, les conventions, d'étudier ce que les gens en font, tant en écriture qu'en lecture, et c'est comme cela que je prends la discussion.

Contravariant/covariant, vecteur/forme, colonne/ligne, dualité entre espaces vectoriels, ket/bra, indice en haut/en bas, ... ; tout cela m'avait aussi troublé à une époque, et je suis bien d'accord que la bonne manière de s'en sortir "par le haut" est bien de savoir "dans quoi vivent les objets". Mais on peut aider d'autres sur ce chemin!

[Murmure-du-vent]

Je disais que je préférais également les notations avec indices et convention d'Einstein, Il y a cependant parfois une ambiguité dans les notations en physique: quand on lit , çà peut tres bien sous entendre qu'entre le nabla et V il y a la matrice de la métrique.

[Amanuensis]

La notation indicielle est utilisée en physique bien au-delà de son domaine "normal", celui des tenseurs.

Dans l'écriture , la métrique n'intervient pas, c'est le "produit naturel", l'application d'une forme linéaire V à un vecteur U, qui est définie sur un espace vectoriel indépendamment de toute "métrique". Une telle écriture ne sous-entend pas qu'il y a la matrice de la métrique entre U et V, au contraire.

---

Est-ce que cela s'applique à la divergence?

Si on prend une définition plus fondamentale que l'écriture indiquée, il s'agit de la variation de volume le long du flot défini par un champ de vecteurs. À première vue, cela ne demande pas de métrique, seulement le choix d'une forme volume.

A contrario, l'écriture de la divergence comme *d*, avec * le dual de Hodge et d la différentielle extérieure, fait intervenir le dual de Hodge, qui dépend de la métrique en plus de dépendre du choix d'une forme volume. Cela laisse donc penser que la divergence demande bien la métrique, mais ce n'est pas l'analyse de l'écriture qui permet de conclure.

Bref, quand on utilise la notation indicielle avec la connexion (avec ∇) on ne peut pas se contenter des règles qui définissent la notation indicielle quand on la limite aux tenseurs. Déjà, la notion indicielle limitée aux tenseurs s'applique pour un espace vectoriel, alors que la dérivation s'applique aux champs. Encore un exemple où il faut savoir "dans quoi vit un objet": le terme "vecteur" en physique utilisant la géo diff peut s'appliquer aussi bien à un élément d'espace vectoriel local (un élément du tangent en un point), qu'à un champ de tels éléments (une section du fibré tangent). Quand on parle de "divergence d'un vecteur", il s'agit nécessairement du second cas.

(Par ailleurs, il y a une notation indicielle particulière pour cela, permettant de ne pas utiliser le ∇ ; pour la divergence, c'est )

[Amanuensis]

Je disais que je préférais également les notations avec indices et convention d'Einstein, Il y a cependant parfois une ambiguité dans les notations en physique

Oui, mais celle que je cite en premier c'est toute écriture impliquant une base, comme , où est sensé dénoter une base, c'est à dire une famille de n vecteurs. Très gros abus de la notation indicielle, à plusieurs titres...