Tenseur: monter et descendre les indices. pourquoi une métrique?

[invite54165721]

Bonjour.

Habitué à lire de la physique ou l'on baigne dans des espaces euclidiens, minkowskiens poincaristes ou autres, pour moi le fait de passer et réciproquement d'un indice contravariant à un covariant passe (sans trop réfléchir) par l'usage des
En fait est ce nécessaire. Si je me donne une base sur E, j'ai une base duale sur E*.
d'ou une application de E E* dans E* E.
Qu'apporte la métrique? le fait dans les changements de bases de se restreindre à ceux conservant la métrique?

merci pour vos commentaires
-----

[Deedee81]

Salut,

La métrique en soit permet de définir le produit scalaire.

Et le fait d'avoir deux types d'indices est une question d'élégance (notations plus compacte, on peut s'en passer, surtout dans les espaces plats).

D'autres donneront peut-être des raisons plus profondes (liées aux dualités, aux n-formes, etc...).

On peut aisément se passer de ça en RR, mais franchement, faire de la RG sans ça, c'est un peu se gratter pour se faire rire

[invite54165721]

C'est utile dès l'électromagnétisme voir exemple ici
On a ici une formule pour monter les indices du tenseur F pour des changements de base non quelconques mais pour des rotations de Lorentz. (pas pour les dilatations par exemple)
D'ou ma question: les métriques ne servent elles qu'à restreindre les changements de bases?

[mariposa]

Bonjour.

Habitué à lire de la physique ou l'on baigne dans des espaces euclidiens, minkowskiens poincaristes ou autres, pour moi le fait de passer et réciproquement d'un indice contravariant à un covariant passe (sans trop réfléchir) par l'usage des
En fait est ce nécessaire. Si je me donne une base sur E, j'ai une base duale sur E*.
d'ou une application de E E* dans E* E.
Qu'apporte la métrique? le fait dans les changements de bases de se restreindre à ceux conservant la métrique?

merci pour vos commentaires

Bonjour,

Je ne sais par que bout prendre le problème!

D'abord il faut souligner que l'introduction de la notion de métrique s'introduit "tardivement" dans un cours. En particulier le produit scalaire ne dépend pas de l'introduction d'une quelconque métrique. Par ailleurs la métrique est par construction un invariant, cad une grandeur la même dans tous les repères. La philosophie des tenseurs est d'écrire des choses vraies dans tous les repères.

J'utiliserais par la suite la présentation ordinaire des tenseurs, cad le langage des formes.

Un produit scalaire s'écrit:

<X|Y> =

Par commodité j'ai utilisé la langage MQ à gauche et à droite le langage tensoriel. Cette quantité est invariante par changement de base.

est une composante contravariante de E

est une composante covariante de E* de X.


Supposons que l'on ait une expression de la forme:

<X|Y> =

ceci est encore un produit scalaire

est une composante covariante de E*.E*

est composante contravariante de E.E

Remarque: je n'ai donné aucune explication de la notation de double indice. iL s'agit tout simplement d'un produit tensoriel d'espace qui est au coeur de la MQ et responsable de ce que les opticiens appellent intrication.


Définition canonique d'un tenseur 2 fois covariant.


Soit la forme bilinéaire:


F( Y1, Y2) =

Qui associe au couple de vecteurs Y1 et Y2 un nombre F(Y1,Y2) indépendant de toute base.

Le vecteur X de composantes est un tenseur 2 fois covariants parce que dans un changement de base quelconque de E cad dans une autre représentation des Y alors il se transforme comme le produit matriciel de 2 changements de bases consécutifs et identiques de E.

Dans une nouvelle base on a:

F( Y1, Y2) =

En notation quantique:

F( Y1, Y2) = = <X|Y1¤Y2>

Le produit tensoriel est symbolisé par ¤

La notation quantique permet de comprendre que la projection du vecteur |Y1¤Y2> sur le vecteur |X> qui est fixe a pour valeur le scalaire F(Y1, Y2) et comme on sait la projection d'un vecteur sur un autre est un scalaire indépendant de toute base.

Pour l'instant j'arrête, pour savoir si ce que j'écris est compréhensible.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mariposa]

D'ou ma question: les métriques ne servent elles qu'à restreindre les changements de bases?

Rebonjour,

Je répond ponctuellement à cette interrogation (déjà évoquée dans on précédent post.

1- la mathématique des tenseurs est indépendante de toute notion de métrique.

2- Dans les espaces métriques on pour définir une distance(voir axiomes de la distance) entre points A et B à partir d'une forme bilinéaire définie positive sur un espace vectoriel. Cette forme bilinéaire s'appelle tenseur métrique Gij avec la propriété de symétrie Gij = Gji.

3- L'introduction du tenseur métrique Gij n' aucune conséquence quant à la restriction des changements de base. Ils restent le plus généraux possibles.

[invite54165721]

Prenons un tenseur T sur E¤E*¤E
et une base B donnée de E ceci détermine une base duale B* de E*.
T a des coordonnées sur B¤B*¤B
Avec un nouveau repère C quelconque le tenseur va changer de coordonnées: . Pour avoir sa valeur sur E¤E¤E (abaisser le b) je dois utiliser la matrice P de changement de base de B à C et son inverse.
Si j'avais eu une métrique
j'aurais pris le tenseur g¤T et sommé sur a.
Il y a là un raccourci qui m'échappe.

[mariposa]

En notation quantique:

F( Y1, Y2) = = <X|Y1¤Y2>

Le produit tensoriel est symbolisé par ¤

La notation quantique permet de comprendre que la projection du vecteur |Y1¤Y2> sur le vecteur |X> qui est fixe a pour valeur le scalaire F(Y1, Y2) et comme on sait la projection d'un vecteur sur un autre est un scalaire indépendant de toute base.

En me relisant j'ai oublié de conclure sur le principal:

On peut réécrire la phrase précédente de la façon suivante:


La notation quantique permet de comprendre que la projection du vecteur |X> sur le vecteur |Y1¤Y2> qui est fixe a pour valeur le scalaire F(Y1, Y2) et comme on sait la projection d'un vecteur sur un autre est un scalaire indépendant de toute base.

J'ai souligné en rouge ce qui a changé.


______________________________ ______________________________ ____________
Si maintenant on définit dans l'espace E une base {ei} on a bien sur:


F( ei, ej) = = <X|ei¤ej>

Donc:

|X> = F(ei,ej) |ei¤ej>

ainsi |X> apparait comme un vecteur de E.E écrit dans la base des {ei,ej}

Bien entendu un vecteur |Z> sera définit par de nouvelles composantes H(ei,ej) toujours dans la base des {ei,ej}

______________________________ ______________________________ _____________

Remarque: On note que dans le résultat final aucune notion de dualité intervient. Le concept de tenseur est fondamentalement le concept de produits tensoriels d'espace. Il apparait immédiatement que le tenseur est un vecteur d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels.

[mariposa]

Prenons un tenseur T sur E¤E*¤E
et une base B donnée de E ceci détermine une base duale B* de E*.
T a des coordonnées sur B¤B*¤B

OK

Avec un nouveau repère C quelconque le tenseur va changer de coordonnées:

Oui, mais ce n'est le problème des manipulations d'indice

. Pour avoir sa valeur sur E¤E¤E (abaisser le b) je dois utiliser la matrice P de changement de base de B à C et son inverse.

Au point de vue position des indices, ton tenseur n'est pas en rapport avec l'espace que tu as choisi soit E¤E*¤E

Rappel:Quand on fait des manipulations d'indice, il est nullement question de changement de base et c'est très important.

Quel est le but des manipulations d'indices?

Il s'agit d'établir un isomorphisme entre tenseurs de même rang mais appartenant dans des espaces produit tensoriels differents. par exemple les 2 espazces que tu as cité. Encore une fois il ne s'agit pas de changement de base. C'est un isomorphisme d'espaces vectoriels uniquement possible pour des espaces de même dimension.

Exemple formel

Mettre en rapport T (p,q) avec T(p-n, Q+ n)


Comment fait-on?

2 choses a savoir:

1- L'opération de contraction C d'un tenseur T donne un nouveau tenseur dont le rang est diminué de 2 et donc certainement n'appartient pas au même espace vectoriel..

2- Le produit tensoriel P du tenseur T par un tenseur de rang 2 donne un tenseur dont le rang est augmenté de 2.

Si maintenant tu fais agir les 2 opérations précedentes sur T soit:

C.P.T

T est un tenseur (vecteur)

C et P sont des opérateurs

alors le produit C.P.T est un tenseur de même rang que le tenseur T. Donc l'opérateur C.P défini une application d'un espace vectoriel dans un autre.

Voilà donc le secret des manipulations d'indices: Etablir des isomorphismes entre espaces vectoriels (ici tensoriels). Bien entendu cet isomorphisme est indépendant d'un choix de base. si on fait un changement de base, il faut changer partout les composantes de tous les tenseurs qui sont tous asservis à un unique changement de base.

Si ces explications sont trop théoriques, je te donnerais un exemple. Je suis nul en Latex.

[invite54165721]

Je vais chercher de mon coté un exemple concret.
merci

[Rincevent]

s'lut

D'abord il faut souligner que l'introduction de la notion de métrique s'introduit "tardivement" dans un cours.

ça dépend du cours dans un cours de math, ça arrive dès la première année...

En particulier le produit scalaire ne dépend pas de l'introduction d'une quelconque métrique.

le terme "métrique" désigne (en physique) souvent la forme bilinéaire symétrique qui définit le produit scalaire...

Par ailleurs la métrique est par construction un invariant, cad une grandeur la même dans tous les repères.

vrai uniquement si on considère des changements de coordonnées qui sont inclus dans un groupe particulier. La métrique euclidienne (+1,+1) est changée en (+1,+r^2) si on passe des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires

La philosophie des tenseurs est d'écrire des choses vraies dans tous les repères.

"vrai" ne veut pas dire "invariant". Le terme adéquat est la "covariance"

Un produit scalaire s'écrit:

<X|Y> =

une équation dans laquelle deux indices différents apparaissent ne définit pas un produit scalaire...

etc...

[gatsu]

C'est utile dès l'électromagnétisme voir exemple ici
On a ici une formule pour monter les indices du tenseur F pour des changements de base non quelconques mais pour des rotations de Lorentz. (pas pour les dilatations par exemple)
D'ou ma question: les métriques ne servent elles qu'à restreindre les changements de bases?

Salut,
Je ne comprends pas vraiment pourquoi tu parles de changement de base. Lorsqu'on monte ou abaisse des indices on fait une correspondance entre les composantes d'un objet qui vit dans un certain espace avec les composantes d'un autre objet qui vit dans un autre espace. Comme un tenseur est défini comme étant une forme multilinéaire agissant sur le produit cartésien d'espaces vectoriels, il doit nécessairement vivre dans le produit cartésien des espaces duaux associés. L'idée de l'utilisation de la métrique est de faire l'hypothèse qu'à chaque forme qui vit dans un dual, peut être associé de façon unique un vecteur de l'espace de départ telle que l'action d'une forme g* de E* sur un vecteur quelconque f de E g*(f) puisse s'écrire comme étant le produit scalaire <g|f> avec g appartenant à E.
L'avantage de cette correspondance dépend donc de la situation.

- En MQ on parle très rarement des bras alors qu'ils sont éléments de l'espace dual de l'espace de Hilbert des états. La donnée d'un produit scalaire nous permet alors de ne travailler qu'avec des kets i.e. des états ce qui est un peu plus parlant physiquement (encore plus en MQ).
- en géométrie differentielle lorsqu'on travaille en composantes, on préfère à l'inverse écrire lorsque c'est possible que tout produit scalaire peut être remplacé par l'action d'une forme sur un vecteur pour rendre les notations plus compactes.

[invite54165721]

La définition d'un couple (base,base duale) nécesse t elle un produit scalaire?
Dans ce lien on passe à (ei,ej) = kronecker.
C'est ce qui me gene qd on prend une métrique non euclidienne.
Mon pb est en relation avec les remarques de Rincevent.

[Rincevent]

s'lut

La définition d'un couple (base,base duale) nécesse t elle un produit scalaire?

absolument pas. Et c'est pour ça que le lien que tu indiques n'en parle pas.

C'est ce qui me gene qd on prend une métrique non euclidienne.

la notion de métrique n'intervient pas ici. Un kronecker n'est pas une métrique (qui est une forme bilinéaire symétrique agissant sur un espace)

[gatsu]

La définition d'un couple (base,base duale) nécesse t elle un produit scalaire?
Dans ce lien on passe à (ei,ej) = kronecker.
C'est ce qui me gene qd on prend une métrique non euclidienne.
Mon pb est en relation avec les remarques de Rincevent.

Non la définition d'un couple (base, base duale) ne nécessite pas la définition préalable d'un produit scalaire. L'apparition de delta de Kronecker correspond usuellement à l'action des vecteurs d'une base canonique dans l'espace dual sur une base canonique de l'espace d'origine.
Selon moi, la forme de la métrique n'a rien à voir avec le problème. Dans le peu de RG que j'ai fait on ne s'en souciait pas en tout cas et on était pas en espace plat.

L'idée principale est qu'en théorie on distingue les tenseurs covariants des tenseurs contravariants en tant qu'objets, l'un appartenant à l'espace dual et l'autre à l'espace bidual équivalent à l'espace d'origine.
Dans ce contexte, la métrique apparait comme un objet qui permet de faire le pont entre les deux espaces vectoriels (ces espaces peuvent bien être les espaces tangent et cotangent associée à un point d'une variété si on parle d'un champ de tenseur par exemple).
Dès lors on peut concevoir la notion de tenseur comme un objet plus large associé à un point d'une variété et dont l'action est caractérisée par des composantes covariantes et contravariantes.

[Deedee81]

Salut,

Il faut quand même préciser que les composantes (et donc la métrique, etc.) deviennent incontournable dès que l'on traite de résultats quantitatifs, de mesures, etc.

[mariposa]

La définition d'un couple (base,base duale) nécesse t elle un produit scalaire?
Dans ce lien on passe à (ei,ej) = kronecker.
C'est ce qui me gene qd on prend une métrique non euclidienne.
Mon pb est en relation avec les remarques de Rincevent.

Bonjour,

1- Les vecteurs du lycée:

Soient 2 vecteurs du plan R2 non orthogonaux.

V et W

Le produit scalaire que l'on notera <V|W> vaut:

<V|W> = Vx.Wx + Vy.Wy rapportée à une base

<V|W> = V'x.W'x + V'y.W'y rapportée à une autre base.

Tu as également

<V|W> = |V||W|.cos teta

2- Une nouvelle présentation du produit scalaire.

Maintenant je présente le produit scalaire sous forme de produit de matrice

[V]l = matrice ligne de V
[V]c = matrice colonne de W

Avec ces notations on a:

<V|W> = [V]l.[V]c

Tu constates qu'avec cette présentation les matrices lignes et les matrices colonnes n'appartiennent pas au même espace. Essaie de les ajouter.

C'est pourquoi on dit que si |V> appartient à E alors il existe un vecteur cousin noté <V| qui appartient à E*.

Il est logique alors d'interdire d'écrire:

|V> + < W| somme de 2 vecteurs qui n'appartiennent au même espace

par contre il est correcte d'écrire: |V> + |W>

Il est correcte d'écrire:

<V| + <W|

on peut écrire également:

<V|W> = un scalaire.

qui se prête à une double lecture:

1- <V| est un opérateur qui agit à droite sur le vecteur |W> pour donner un scalaire.

2- |W> est un opérateur qui agit à gauche sur le vecteur <V|pour donner le même scalaire.

3- Dualité est-ce si nécessaire?

Il y a ici un principe de dualité que l'on trouve partout en mathématiques mais attention ce n'est pas l'essence des tenseurs.

4- Tout est dans le produit tensoriel.

L'essence des tenseurs (ce sont des vecteurs) est de fabriquer des espaces vectoriels à partir d'espaces "élémentaires " avec le concept mathématique de produit tensoriels d'espace. Les nouveaux vecteurs (les tenseurs) héritent de certaines propriétés de leurs géniteurs.


5- L'introduction standards des tenseurs.

Dans les cours standards de tenseurs les espaces élémentaires sont E et E*cad un espace vectoriel et son jumeau, l"espace dual qui donnent les T(p,q). Avec çà on fait beaucoup de choses. Dans le contexte des champs de tenseurs il faut construire un nouveau type de tenseurs que tu ne peux pas s'obtenir à partir des 2 précédents. Il s'agit des biens aimés dérivées covariantes qui d'ailleurs n'ont pas besoin à priori de notion de métrique.

6- L'introduction des tenseurs en MQ

En MQ on introduit les tenseurs sous la forme:

|X> = F(ei,ej) |ei¤ej>

formule que j'ai démontré précedemment à partir de l'introduction standard. Tu remarqueras que dans cette présentation la dualité a disparue. Ce qui compte c'est le concept de produit tensoriel noté ¤.

En MQ les espaces vectoriels sont des espaces de Hilbert. Les espaces de base sont exceptionnellement au nombre de 2. Ils sont en général en nombre élevé. On notera que les coefficients sont des nombres complexes, ce qui n'ajoute aucune difficulté si l'on connait la régle d'addition et de multiplication des nombres complexes.

Rien que pour une particule et son spin l'espace de représentation est le produit tensoriel spin ¤ orbitale.

Dans un solide il y a un nombre élevé de particules et donc l'espace de représentation est un produit tensoriel d'un nombre très élevé d'espace. c'est le pb à N corps et il est facile d'imaginer qu'il va falloir user de stratagèmes pour faire émerger des propriétés.


résumé j'ai montré ci-dessus que les tenseurs sont dans la stricte logique des vecteurs du lycée et du produit scalaire de ces mêmes vecteurs.

Ce qui est nouveau avec les tenseurs est que ce sont des vecteurs que l'on construit par produit tensoriel d'espaces vectoriels et des espaces vectoriels on peut en construire autant que le nécessite l'expérimentation physique.

[invite54165721]

Dans la théorie des tenseurs où doit on introduire un produit scalaire particulier (une métrique) et pour définir quoi?

[invite54165721]

on parle ici
d'une "extension" des propriétés de dualité.
voir contraction avec un tenseur métrique dans le lien.

[Rincevent]

Dans la théorie des tenseurs où doit on introduire un produit scalaire particulier (une métrique) et pour définir quoi?

du point de vue mathématique, on ne doit pas, on peut. Il est d'ailleurs parfaitement possible de faire beaucoup de choses tensorielles sans métrique, même en physique. Pour la physique, on doit introduire une métrique pour avoir une dualité entre espace "direct" et espace dual. Pour les détails, ça dépendra du contexte physique.

[mariposa]

Dans la théorie des tenseurs où doit on introduire un produit scalaire particulier (une métrique) et pour définir quoi?

Re bonjour,

1- Le produit scalaire standard.

Je reprends le problème à partir des vecteurs du lycée:

Le produit scalaire s'écrit:

<V|W> qui est matriciellement le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne qui obéit à la règle des produits matriciels. cad:

[1,n][n,1] = [1,1]

Maintenant injectons l'opérateur identité I représenté par la matrice unité: On a:

<V|I|W> ce qui ne change rien mais qui donne une piste pour définir de nouveaux scalaires. on note que matriciellement la régle de multiplication des matrices est respectée. En effet on a:

[1,n][n,n][n,1] = [1,1]

2- Une extension du produit scalaire.


ceci nous permet d'entrevoir une "extension" pour définir un nouveau type de produit scalaire qui n'est pas au programme des lycées. Il suffit de remplacer la matrice I par une matrice carré G ( a priori quelconque) ce qui donne:

<V|G|W> qui obéit toujours à la règle de multiplication des matrices:


[1,n][n,n][n,1] = [1,1]

Tu a ainsi la possibilité infinie d'inventer des produits scalaires d'un point de vue mathématique. Une base étant choisie un produit scalaire est définie par le choix singulier d'une matrice.

3- produit scalaire en dimension infinie.

Ceci est vue sous l'angle des espaces de dimension finie. Tu peux faire la même chose en dimension infinie.

Par exemple soient 2 fonctions f(x) et g(x) qui sous-tendent un espace vectoriel de dimension 2.

Je peux, par exemple définir un produit scalaire sous la forme:

Intégrale de f*(x).g(x).dx sur un intervalle [a,b]

qui est encore le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne sauf que la dimension des matrices est infinies. J'ai mis * parce que je suppose que l'espace vectoriel est construit sur le corps des complexes.

Tu remarques que ce produit scalaire ressemble furieusement au produit scalaire des vecteurs du lycée (au lycée les espaces sont de dimension 3 alors qu'ici l'espace est de dimension infinie).

J'ai introduit tout à l'heure une matrice [G] fixe pour définir un nouveau produit scalaire. Je peux faire la même chose avec mon espace de fonctions ainsi en définissant un nouveau produit scalaire:

.Intégrale de f*(x).Q(x).g(x).dx sur un intervalle [a,b]

où Q(x) est fonction choisie une fois pour toute. Voici donc un nouveau produit scalaire. J'aurais pu choisir une autre fonction à la place de Q(x) pour encore définir un nouveau produit scalaire.


Moralité: En choississant une matrice G pour les espaces finis ou une fonction Q(x) pour les espaces infinis je peux selon ma fantaisie choisir une définition de produit scalaire.


4- A quoi sert un produit scalaire?

..............

[invite54165721]

merci pour vos réponses

ll en ressort d'apres ce que j'ai compris que l'usage d'un produit scalaire se fait dans le cadre de tenseurs "euclidiens" ou autres.
La différence que je vois est celle ci.
on substitue à l'isomorphisme de base à base duale: où pour on a
un autre isomorphisme: à on associe qui est une forme linéaire définie grace au produit scalaire choisi.
N'y a t il pas deux façons concurrentes de calculer les coordonnées covariantes?

[mariposa]

merci pour vos réponses

ll en ressort d'apres ce que j'ai compris que l'usage d'un produit scalaire se fait dans le cadre de tenseurs "euclidiens" ou autres.

J'ai plus de temps pour l'instant.

En MQ il y a des produits scalaires et pas de tenseurs (au sens usuel du terme) et les "tenseurs" de la MQ ne peuvent pas être euclidien puisque nous sommes dans des espaces de Hilbert.

Pour t'y retrouver il faut que tu regardes d'abord 2 choses séparemment:


1- La définition d'un produit scalaire et surtout le pourquoi de cette structure.

2- Le concept de distance

A+

[invite54165721]

pour revenir sur les deux isomorphismes entre E et E*, l'un défini à partir d'une base de E et l'autre à partir d'un produit scalaire, j'ai trouvé lecon 12 qui en parle.
le deuxième isomorphisme est joliment appelé isomorphisme musical.

[invite6754323456711]

pour revenir sur les deux isomorphismes entre E et E*, l'un défini à partir d'une base de E et l'autre à partir d'un produit scalaire, j'ai trouvé lecon 12 qui en parle.
le deuxième isomorphisme est joliment appelé isomorphisme musical.

La métrique permet de définir un isomorphisme canonique, dualité métrique. Ce qui implique qu'un produit scalaire (forme bilineaire) peut être vue comme une forme linéaire appliqué au vecteur de E. Cela découle, pour les espaces de dimension fini, d'un théorème : http://www.math.ens.fr/culturemath/m...on_tenseur.pdf

Patrick

[invite54165721]

Ca me semble très bien.

Existe t il en ligne l'équivalent pour les spineurs à 2 composantes de Van der Waerden
Monter descendre les indices pointés ou non et utilisation de la métrique.
J'essaye de reconstituer les bases mathématiques pour aborder le "srednicki" spin 0 puis spin 1/2.

[mariposa]

Ca me semble très bien.

Existe t il en ligne l'équivalent pour les spineurs à 2 composantes de Van der Waerden

Bonjour,

La compréhension des spineurs (je suppose dans le cadre relativiste) passe par l'étude des représentations irréductibles de O(3) et O(4) ou plus simplement SO(3) et SO(4) les groupes de transformations des sphères S3 et S2.

une autre approche, pas indépendante de la TRG est d'attaquer le problème du coté algébre de Clifford qui te ramènera aux quaternions qui peuvent à la fois représenter SO(3) et SO(4) et géré le rapport groupe à sous-groupe.

Quelquechose bien ciblé par rapport à ta question est le joli livre:


Quaternions, algébre de Clifford et physique relativiste.

De Patrick R. Girard

ISBN 2-88074-606-X

Monter descendre les indices pointés ou non et utilisation de la métrique.

Tu ne peux faire que des contractions uniquement sur des couples d' indices pointés haut et bas sinon la contraction de ton spineur donnera quelque chose qui n'est plus un spineur mais qui est un objet appelé : un vecteur volant non identifié.

J'essaye de reconstituer les bases mathématiques pour aborder le "srednicki" spin 0 puis spin 1/2

Bonjour,

Pourrais-tu m'indiquer les références de ce livre.

Merci d'avance.

[GrisBleu]

.
N'y a t il pas deux façons concurrentes de calculer les coordonnées covariantes?

Salut

La metrique permet de mapper les vecteurs et les formes (par exemple)de maniere canonique:
a un vecteur V, tu associes une forme w(X)=g(V,X). Pas de notion de base, c'est une construction independante de la base choisie.
Alors que si tu pars d'UNE base, que tu construit ensuite la base duale et le mapping que tu citais, il est dependant de la base choisie, si tu prend un autre base, ca change. Ce mapping n'a donc - de mon point de vue - pas un sens "invariant"

Cdlt

[invite6754323456711]

Ce mapping n'a donc - de mon point de vue - pas un sens "invariant"

Il me semble aussi. L'idée est basé sur le fait que les isomorphismes musicaux (bémol et dièse) dépendent de la métrique g (tenseur métrique) qui définit complètement la géométrie de l'espace-temps.

Patrick

[mariposa]

Il me semble aussi. L'idée est basé sur le fait que les isomorphismes musicaux (bémol et dièse) dépendent de la métrique g (tenseur métrique) qui définit complètement la géométrie de l'espace-temps.

Patrick

Bonjour,

Attention: Les tenseurs de rang 2(sans précisions supplémentaires) permettent d'établir des isomorphismes entre espaces tensoriels quelque soit le sens physique des tenseurs. Cela n'a donc pas de rapport à priori avec une quelconque géométrie, fut-elle l'espace-temps.

C'est seulement si tu veux définir dans un espace une distance entre points que tu peux éventuellement définir une distance en te servant d'un produit scalaire "généralisé" défini par un tenseur de rang 2. Pour les espaces de Riemann la définition d'une distance rend nécessaire de prendre un tenseur symétrique de rang 2 dont les valeurs propres sont positives. (Plus exactement un champ de tenseur de rang 2 symétrique).


Pour les spineurs c'est pareil, sauf que le tenseur de rang 2 est une forme bilinéaire antisymétrique.

[invite54165721]

Pourrais-tu m'indiquer les références de ce livre.

Merci d'avance.

Il a mis son livre en ligne: srednicki