Opération trigonométrique

**Bertrand.adw** · 07/12/2015, 23h53

Bonjour à toutes et à tous !

Je souhaiterais réaliser une identification entre 2 expressions et pour ce faire, je dois manipuler les formulaires trigonométriques.
Voici les expressions en question :

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Je souhaiterais identifier ces 2 expressions et trouver une expression entre $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
et une expression entre $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Autrement dit, je souhaiterais transformer la première formule sous la formule d'une amplitude*sinus. et identifier l'amplitude et l'argument avec la seconde.
Est ce possible ?

J'ai essayé de manipuler cette formule avec les formules de trigo. Mais je tourne en rond...
Auriez vous une idée ?

Merci pour votre aide.

-Mike

**ansset** · 08/12/2015, 00h21

oublies, c'est impossible.
la première est la somme de deux fonctions périodiques.
on ne peut la résumer à une seule.

**ansset** · 08/12/2015, 00h26

imagines la mer par exemple avec une grande houle bien large.
au dessus des vaguelettes liées au vent.
la somme des deux ne fera jamais une fonction ramenée à un A*sin(wt)

**avatar_des_abysses** · 08/12/2015, 00h38

Il manque quelque chose...

Si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont différents de même pour A_0 et A_1, je dirais qu'il n'est pas possible de l'écrire sous la forme demandée ( si l'on considère z_0 constant )

en revanche si A_0=A_1 ou si l'on a plutôt $\text{[math]}$

on peut faire quelque chose de raisonnable qui ressemble à ce qui t'ai demandé.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**stefjm** · 08/12/2015, 07h59

Envoyé par Bertrand.adw

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Impossible car les fonctions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont orthogonales.

Envoyé par avatar_des_abysses

en revanche si A_0=A_1 ou si l'on a plutôt $\text{[math]}$

Même pas.
Tout ce qu'on peut faire, c'est trouver $\text{[math]}$

**gg0** · 08/12/2015, 08h34

Heu ... il existe un cas où c'est possible.

Lorsque w_1=w₀, on prend z₀=w₀ et B₀=A₀+A₁.

En dehors de ce cas, pas moyen.

Cordialement.

**avatar_des_abysses** · 08/12/2015, 14h20

Envoyé par stefjm

Tout ce qu'on peut faire, c'est trouver $\text{[math]}$

Je n'ai pas été clair

. C'est ce que je voulais exprimer dans ma phrase suivante était "on peut faire quelque chose de raisonnable qui ressemble à ce qui t'est demandé."

**ansset** · 08/12/2015, 14h51

je ne comprend le "qui ressemble" .
quelle valeur mathématique contient ce terme.

**Bertrand.adw** · 08/12/2015, 22h15

Bonsoir et merci à toutes et à tous pour votre aide !

@ ansset :
OK, pour l'image avec la mer ! Je vois bien le problème maintenant.

@ gg0 :
Oui, oui, je n'avais pas pensé un cas particulier. Merci !

@avatar_des_abysses,stefjm :
Pourriez vous précisier ? En quoi l'orthogonalité rend le problème possible ?
Comment procédez afin de trouver le cos ?

Merci encore pour vos conseils

-Mike

**stefjm** · 09/12/2015, 07h48

Envoyé par Bertrand.adw

Pourriez vous précisier ? En quoi l'orthogonalité rend le problème possible ?

L'orthogonalité rend le problème IMpossible (sauf cas particulier déjà cité).

**avatar_des_abysses** · 09/12/2015, 09h32

2 variantes possibles (mais qui au fond sont presque pareils donc en voici une des deux):

tu peux passer par les complexes de la facon suivante:
pour simplifier on pose
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

(modules et argument par exemple)

d'où

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pour le qui "ressemble", qui effectivement n'est pas très mathématiques : il ne me parait pas trop scandaleux de dire que $\text{[math]}$ ressemble à $\text{[math]}$

**gg0** · 09/12/2015, 09h50

En complément, Bertrand.adw, si tu tiens à un sinus,
$\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$

Cordialement.

**ansset** · 09/12/2015, 11h37

globalement, si c'était "jouable", alors ce serait extensible à toute somme multiple de fonctions périodiques.
ce qui impliquerait ( entre autre ) que les séries de Fourrier sont inutiles.

**Bertrand.adw** · 10/12/2015, 21h24

Merci pour vos réponses!

L'orthogonalité rend le problème IMpossible (sauf cas particulier déjà cité).

Pardon pour l'erreur, c'est bien impossible.
En fait, je ne comprends pas la notion d'orthogonalité dans ce cas. En quoi 2 sinus sont orthogonales ? Comment le savez vous ?

Pour ton raisonnement avatar_des_abysses, je le comprends.
- si w1 est différent de w0, on est bloqué, n'est ce pas ? (on ne peut plus factoriser).

Merci encore

- Mike

invite52487760 · 11/12/2015, 01h29

Salut :

Sauf erreur de ma part :
A votre place, j'aurais pensé appliquer une représentation de Fresnel très pratique en physique ondulatoire ou en électronique, ça donne peut être une bonne idée sur le pourquoi du comment de telles sortes de superpositions fonctionnent bien ou non. Enfin, c'est juste une idée parmi d'autres qui peuvent se révéler efficaces pour comprendre où se situe le hic.

Cordialement.

**gg0** · 11/12/2015, 07h50

Effectivement, Bertrand.adw,

si w0 et w1 sont de valeurs absolues différentes, on peut montrer que la somme n'est pas une fonction sinusoïdale. C'est un peu pénible à faire, mais peut être fait à petit niveau : si w0/w1 n'est pas rationnel, pas de périodicité; et si w0=kw1, avec k rationnel, on examine certaines valeurs particulières.

Pour l'orthogonalité, il te manque sans doute des connaissances qu'a Stefjm : En utilisant un certain produit scalaire sur l'espace vectoriel des fonctions continues définies sur un intervalle I, on montre que sin(x) et sin(2x) par exemple sont orthogonales.
Mais j'ai un doute sur ce que ça donne si w0/w1 est irrationnel. j'espère que Stefjm viendra expliquer

Cordialement.

**stefjm** · 11/12/2015, 08h50

Envoyé par Bertrand.adw

Pardon pour l'erreur, c'est bien impossible.
En fait, je ne comprends pas la notion d'orthogonalité dans ce cas. En quoi 2 sinus sont orthogonales ? Comment le savez vous ?

Bonjour,
Si vous avez beaucoup de temps, vous pouvez lire un petit livre de Bernard Gréhant, que je trouve excellent en raison des explications intuitives qu'il donne avec peu de maths :
https://books.google.fr/books?id=QeD...page&q&f=false
page 107 et suite

En rapide, pas rigoureux, juste pour comprendre le principe...

La valeur moyenne d'un produit de fonction définit un produit scalaire qui permet de parler d’orthogonalité entre fonctions vues comme vecteurs, lorsque le produit scalaire est nul.
$\text{[math]}$

Dans le cas de fonction périodique, comme déjà signalé, les séries de Fourier permettent très rapidement de savoir ce qu'il est possible d'identifier.

Le produit scalaire qui va bien est du genre :
$\text{[math]}$

Avec ce produit scalaire, vous pouvez vérifier que les fonctions sin(t) et cos(t) sont orthogonales car la valeur moyenne sur une période de leur produit est nulle. Cela se voit également sur le cercle unité : cos(t) est la projection sur l'abscisse et sin(t) la projection sur l'ordonnée.

Pour le cas qui vous occupe en se restreignant au cas périodique (croisement gg0, merci.) :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ est différent de $\text{[math]}$ , la valeur moyenne des cosinus vaut 0 et les deux fonctions sinus à pulsation différentes sont bien orthogonales.
Si $\text{[math]}$ , le produit scalaire vaut 1/2.

Si $\text{[math]}$ est irrationnel, la somme des sinus n'est plus périodique.
Mon instinct me dit que ça marche encore avec les transformées de Fourier, mais c'est jamais bon quand gg0 a un doute.

Il faut que je regarde de plus près.

Cordialement.

**stefjm** · 11/12/2015, 09h39

Envoyé par gg0

Mais j'ai un doute sur ce que ça donne si w0/w1 est irrationnel. j'espère que Stefjm viendra expliquer

Ce cas est effectivement un poil plus chaud.

Pour des fonctions non périodiques, la généralisation des séries de Fourier est la transformée de Fourier qui transforme une fonction temporelle en une fonction fréquentielle (et complexe).
$\text{[math]}$
La transformée de Fourier d'un cosinus pose déjà un souci de convergence de l'intégrale : La solution passe par la distribution de Dirac. (Je prend le cosinus pour rester avec une TF réelle.)
$\text{[math]}$ se transforme en $\text{[math]}$

Du coup, par linéarité de la TF, la somme de deux cosinus de fréquence incommensurable ne pose pas de problème particulier et permet de conclure qu'on ne peut écrire cette somme (présentant deux raies, une à w0 et une à w1) comme un cosinus ne présentant qu'une seule raie (et peu importe l'irrationalité ou pas de w1/w0).

C'est un peu marteau-pilon comme méthode avec plein d'outils pas simple.

Il y a plus simple et plus rigoureux avec moins d'artillerie
http://www.ilemaths.net/sujet-cns-de...ion-77573.html

Cordialement.

**gg0** · 11/12/2015, 10h26

Merci Stefjm, d'avoir regardé de près.

Cordialement.

**stefjm** · 11/12/2015, 12h49

De rien.
Ça m'a fait prendre conscience d'un détail que j'avais peut-être su mais que j'avais oublié :
La périodicité d'une fonction est une condition suffisante pour que la transformée de Fourier soit composée d'impulsion de Dirac, mais ce n'est pas une condition nécessaire.

Cordialement.

**stefjm** · 17/12/2015, 09h02

Bonjour,
En fait, je ne l'avais jamais su car j'avais toujours cru sur parole des écrits du genre
https://books.google.fr/books?id=TIf...ret%22&f=false

(1) Un signal non périodique possède un spectre continu.
(2) Un signal périodique possède un spectre discret.

(1) est mathématiquement faux puisque le spectre de la fonction $\text{[math]}$ est discret alors que la fonction n'est pas périodique.

Une curiosité concernant Wolfram Alpha :
http://www.wolframalpha.com/input/?i...s%28pi*t%29%29

$\text{[math]}$

La soustraction n'est pas fait dans le même ordre pour pi et pour 1?
Cela n'a pas d'importance puisque la distribution de Dirac est paire, mais c'est quand même curieux...

Cordialement.

**avatar_des_abysses** · 17/12/2015, 22h34

Pourquoi serait ce curieux ? Il suffit de jeter un coup d’œil dans l'algorithme de calcul, a y regarder de près je suis sur que c'est le bordel

**stefjm** · 18/12/2015, 09h06

Envoyé par stefjm

(1) Un signal non périodique possède un spectre continu.
(2) Un signal périodique possède un spectre discret.

(1) est mathématiquement faux puisque le spectre de la fonction $\text{[math]}$ est discret alors que la fonction n'est pas périodique.

Je comprend pourquoi j'ai parfois du mal en physique ou en maths.
Il faut vraiment tout vérifier...

Envoyé par avatar_des_abysses

Pourquoi serait ce curieux ? Il suffit de jeter un coup d’œil dans l'algorithme de calcul, a y regarder de près je suis sur que c'est le bordel

Cela montre au minimum que pi n'est pas traiter de la même façon que 1.

**Médiat** · 18/12/2015, 09h55

Bonjour,

Envoyé par stefjm

Cela montre au minimum que pi n'est pas traiter de la même façon que 1.

Exact : je sais démontrer que 1 n'est pas un nombre univers alors que pour pi je ne sais pas

**stefjm** · 18/12/2015, 10h30

Est-ce un début d'explication à l'écriture par alpha de
$\text{[math]}$ ?

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