bézier : obtenir une parabole, une hyperbole et une élipse

[cosmoff]

Bonjour,

je dois obtenir une parabole, une hyperbole et une élipse a partir des courbes de beziers.

voila ou j'en suis et c'est pas terrible :
la courbe de Bézier est définie par*:
M(t) = A(1-t²) +2t(1-t)B +t²C
avec*3 points dans un plan:
A = ( a1,a2 )*
B = ( b1,b2 )
C = ( c1,c2 )
mais je ne vois pas du tout comment faire a partir de M(t) pour trouver une parabole, une hyperbole et une élipse

Pour la parabole, je doit me débrouillé en changeant A, B, C pour obtenir M(t) = a*x² +b*x + c ?
pour l'hyperbole et l'élipse je sais absolument pas quoi faire

merci de votre aide
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[Resartus]

La formule indiquée est celle d'une courbe de bezier quadratique. Avec elle, on n'obtient que des paraboles, mais avec un axe qui n'est pas toujours selon les coordonnées principales.
Les calculs sont un peu laborieux...
Pour se convaincre que ce sont bien des paraboles, on peut par exemple développer x et y en fonction de t, ce qui va donner des expressions de la forme x=x0+A(t-a)^2 et y=y0+ B(t-b)^2
On voit alors que Ay-Bx est une fonction linéaire de t, alors que (Ax+By) est une fonction quadratique de t. Après le changement d'axes x'=(Ay-Bx)/racine(A²+B²) et y'=(Ax+By)/racine(A²+B²), on retrouvera bien l'équation d'une parabole

[cosmoff]

La formule indiquée est celle d'une courbe de bezier quadratique. Avec elle, on n'obtient que des paraboles, mais avec un axe qui n'est pas toujours selon les coordonnées principales.

merci pour ta reponse,
je pensais qu'avec le poids justement on arriver a faire varier la courbe en parabolen hyperbole et élipse non ?

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonsoir,

Pour un arc circulaire d'ouverture , il suffit de changer le poids du second point de contrôle à la valeur (cela se démontre). A partir de là, obtenir un arc elliptique est facile.

[A voir en vidéo sur Futura]

[cosmoff]

merci pour vos réponses, j'ai une deniere question:
On peut définir ces différentes conique avec l'exentricité, le foyer et les directrices, l'axe focale, mais je ne trouve pas les formules assossié a ces parametres, pouvez vous me les donner ?

[Resartus]

Désolé, paraboloide_hyperbolique : Une courbe de bezier, mathématiquement, n'est JAMAIS un cercle ni une ellipse ni une hyperbole.

Maintenant, il est vrai qu'on peut approximer assez bien un arc de cercle par une courbe de bezier, ce qui évite de manipuler des cos et sin.
Voir par exemple ceci : http://d.krauss.free.fr/documents/Tr...Arc_Cercle.htm

(Le calcul y est fait avec une bezier du 3ème ordre. L'approximation est un peu moins bonne avec des Beziers quadratiques)

Cosmoff : concernant les paramètres d'une conique, voir Wikipedia (un peu indigeste) ou sinon ceci :http://serge.mehl.free.fr/anx/coniques.html

[Paraboloide_Hyperbolique]

Désolé, paraboloide_hyperbolique : Une courbe de bezier, mathématiquement, n'est JAMAIS un cercle ni une ellipse ni une hyperbole.

Tout à fait d'accord. Cependant, nous discutons ici de courbes de Bézier rationnelles*. C'est-à-dire de courbes de Bézier définies dans l'espace homogène (avec une coordonnée supplémentaire appelée "poids"). L'espace homogène est intimement lié à la projection centrale et donc aux coniques. C'est son utilisation qui permet de "convertir" une parabole (représentable exactement par une courbe de Bézier) en arcs d'ellipses ou en sections d'hyperboles.

*De manière sous-entendue, il est vrai.

Voici deux exemples de références:

http://www.cs.mtu.edu/~shene/COURSES...RB-conics.html
http://lgdv.cs.fau.de/get/477