serie de laurent , residu

[darkmatter66]

Salut tous le monde
C'est mon premier message , je sais que je ne suis pas actif , mais je peux dire que c'est le meilleur forum ou j'ai pu avoir plusieurs info
sur divers matiers math physique ...
si vous voulez bien , pouvez-vous m'aider a propos de cette exercice , j'ai beau chercher mais je n'y arrive pas
la fonction est f(z)= (1+z^5)sinh(z)/z^6

et merciiii d'avannnnceeee
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[Resartus]

1ère étape demandée : calculer le développement en série de Laurent. Pour utiliser le théorème des résidus, il faudra connaitre le terme en 1/z, cela veut dire qu'il faut développer sinh(z) jusqu'à l'ordre 5 (soit on connait ce DL ,soit on utilise le DL de e^x et e^-x pour le retrouver)
2ème étape, On en déduit directement le résidu en 0 (formule du cours)
3ème Etape : La valeur de l'intégrale sur le contour est du cours également. Il faut juste s'assurer qu'il n'y a pas d'autre pôle que zero (ce qui est évident d'après la formule)

[darkmatter66]

merci beaucoup pour votre réponse ,

si je développe sinh(Z) je dois ensuite multiplier par (1+z^5)/z^6 et après chercher le terme en 1/z ?

[avatar_des_abysses]

yep! par contre n'hesite pas à pousser le DL jusqu'a l'ordre qui convient pour obtenir du 1/z.

Pour le th des résidus cela dépend comment il est cité dans le cours mais il faut bien vérifier que le pôle est contenu dans le domaine défini par le contour et que le contour ( orienté à priori ) n'entour qu'une fois ( et dans le sens trigonométrique ) le pôle. bonne chance
Dans ton cas il n'y a pas de problème mais si le choix t'es laissé pour le contour, il faut prendre ses précautions.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite52487760]

Salut :

Pour la dernière question, et sauf erreur de ma part, il me semble qu'il suffit d'appliquer la formule : avec qui est analytique à l’intérieur du contour ( i.e : sans pôles ). C'est simplement la généralisation de la formule de Cauchy à un ordre supérieur. ( L'intégrale s'effectue sur le contour fermé qui contient bien sûr ) ... J'espère qu'il ne manque pas un truc que je n'ai pas souligné. ça fait longtemps que je ne pratique pas ce cours.

[darkmatter66]

oui j'ai bien compris le pole doit être contenu dans le domaine
chentouf , oui la formule est juste , mais c'est trop long de dérivée 5 fois la fonction ...

merciiiii pour vos réponse

[invite52487760]

Non, on ne dérive pas fois, on va sur la table du en série entière de la fonction , on recopie la formule, ensuite, on multiplie par :, on obtient une autre série entière, et on déduit le résultat à partir du coefficient qui existe dans le monôme : . Parce que, à mon sens, il y'a unicité de la série entière lorsque le reste de la série tend vers à l'infini, c'est peut être ça ce qu'il faut montrer. Il faut montrer que le reste tend vers . J'attends la confirmation des autres. ( J'espère qu'il n'y'a pas de bêtises dans ce que j'ai dit )

Cordialement.

[Resartus]

Il y a un développement limité qu'il est important de connaitre, c'est celui de e^x =1+x+x^2/2!+...+x^n/n!+...
Avec celui-là, on peut facilement retrouver ceux de sin(x), sinh(x), cos(x), cosh(x)

[topmath]

Bonjour :

Plus rapide voici le développement limité de :



Cordialement

[darkmatter66]

chentouf ,ah ouiiiiiii ta raison et c'est beaucoup plus pratique

[avatar_des_abysses]

D'un autre coté, dériver sh 5 fois ce n'est pas trop dur, je dirais que c'est la même dérivée que la (2n+1)ième dérivée soit ch. Mais, j'avoue qu'ayant une nature de faignasse, il est plus rapide de ressortir la formule.

[topmath]

Bonjour:

Autre méthode :

Pourquoi chercher plus loin , si vous arriver a développer la fonction correctement et sans faute en Série de Laurent le calcule du résidus en apparier sous forme de coefficient dans cette dernière en , le reste est facile .

Cordialement