Adhérence d'ensembles disjoint

[kasmurdanto]

Bonsoir , j'ai déjà posté à ce propos mais je préfère recréer une discussion car mon problème est plus précis . Sur l'intervalle [0;1] , je me dois de trouver trois ensemble disjoint mais qui ont tous la même adhérence à savoir [0;1] . Comme me l'a fait remarquer gg0 il y a l'exemple de R\Q et Q restreint à ]0;1[ pour deux ensembles. à partir de la , en manque d'imagination , je me suis dit que j'allais trouver une partition de Q restreint à ]0;1[ tel que chaque partie ait toujours la même adhérence . J'ai pensé à la relation d'équivalence suivante : pour toute fraction , sa forme irréductible sera sous une des formes suivantes : 2p/q ou 2p+1/q . deux fraction sont équivalentes si leur forme irréductible est de la même forme . Cela forme bien une partition de Q , et si je nomme les 2 parties Q1 et Q2 , alors pour mon problème , est ce bien correct de dire que [0;1]\Q , Q1 et Q2 sont bien disjoint et que leurs adhérences est égal à [0;1] ?

Il y a une autre réponse qui trivialise un peu tout dont je ne suis pas sur du tout : Si je prends les ensembles ({0},{1}) , ]0;1[\Q et Q restreint à ]0;1[ , ils sont bien disjoint mais l'adhérence de ({0},{1}) est elle bien [0;1] ? D'un coté j'ai envie de dire oui parce que par définition l'adhérence c'est le plus petit fermé contenant une partie . Mais d'un autre j'ai envie de dire non car encore par définition l'adhérence d'une partie A c'est l'ensemble des points adhérents à A , c'est à dire que si x est adhérent à A tout ouvert contenant x intersectera A . Or dans mon cas si je prend le point 0.5 il est trivial de trouver un intervalle ouvert qui contient 0.5 mais pas 0 ni 1 . Voila pour mon souci de définition et je vous remercie d'avance si vous décidez de m'aider à éclaircir ce point !
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[Schrodies-cat]

{0;1} est un fermé (c'est sans doute cet ensemble que tu as voulu nommer erronément ({0}, {1}) ), donc le plus petit fermé contenant {0;1} est ...
Je te laisse méditer sur les deux idées suivantes:
(a): l'adhérence de E est[0;1]
(b) : E est contenu dans [0;1] et dense dans [0;1]
mais tu as l'air d'avoir à peu près saisi ceci.

Je t'invite par ailleurs à t’intéresser par exemple aux nombres de la forme:
avec q rationnel.
Ils sont denses dans et irrationnels ( tu dois le démontrer).

[kasmurdanto]

juste pour clarifier la notation quand vous dites {0;1} vous parlez bien des éléments 0 et 1 uniquement ? Je suppose que oui c'est la notation classique , et c'est moi qui me suis un peu emmêlé .

(a): l'adhérence de E est[0;1]
(b) : E est contenu dans [0;1] et dense dans [0;1]

c'est vrai que c'est nouveau pour moi et je confonds tout . A ce stade je ne vois pas la différence entre a et b . je m'intéresserai à votre deuxième point mais je préfère aborder une chose à la fois , pourriez vous m'expliquer la différence entre a) et b) ?

[kasmurdanto]

Je vais quand même vous dire comment je le comprends dans l'espoir que vous mettrez le doigt sur ce que je ne comprends pas : Si E a pour adhérence [0;1] , pour tout x appartenant à [0;1] , pour tout intervalle ouvert dans lequel x est inclus, il existe un élément de E aussi inclus dans l'intervalle . Or d'après ma définition , l'ensemble E est dense dans [0;1] justement si son adhérence est [0;1] , ce qui est le cas par hypothèse ici . (a) et (b) sont équivalents et je ne vois pas trop en quoi ça m'avance .

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Je pense que pour tes trois ensembles, tu peux prendre Q, Q+a et Q+b où a et b sont des nombres bien choisis. A toi de prouver qu'il existe de tels nombres.

[Schrodies-cat]

Je vais quand même vous dire comment je le comprends dans l'espoir que vous mettrez le doigt sur ce que je ne comprends pas : Si E a pour adhérence [0;1] , pour tout x appartenant à [0;1] , pour tout intervalle ouvert dans lequel x est inclus, il existe un élément de E aussi inclus dans l'intervalle . Or d'après ma définition , l'ensemble E est dense dans [0;1] justement si son adhérence est [0;1] , ce qui est le cas par hypothèse ici . (a) et (b) sont équivalents et je ne vois pas trop en quoi ça m'avance .

C'est bien ce que j'entendais en disant que tu avais l'air d'avoir compris de quoi il retournait, mais tu donne une définition de la densité, et d'autre part tu as défini l'adhérence d'un ensemble plus haut comme le plus petit fermé contenant un ensemble, l'équivalence des deux notions n'est donc pas évidente, il faut raisonner un peu pour y arriver.

l'adhérence des ensembles proposés par Minushabens est mais tu sais comment remédier à ce petit problème. A ceci près que tes notations sont encore discutables:
Ce que tu appelles par exemple " restreint à [0;1] " s’appelle en fait , en français l'intersection de et de [0;1].

Il faut maitriser au moins les bases du langage de la théorie des ensembles si tu veux faire de la topologie.

Sinon avec la méthode proposée par minushabens, tu peut prendre pour a comme je te l'ai déja indiqué et je te laisse trouver un autre nombre pour b qui convient.

[kasmurdanto]

ok merci à vous deux pour vos indications ça devrait suffire .

[fsxskillz]

Salut , je m'incruste mais j'avais juste une petite question j'ai pris pour b = Pi ( ça marche non ? ) et après je me demandais pourquoi l'adhérence de Q retreint à [0,1] serait [0,1] sachant que l'adhérence de A inter l'adhérence de B est juste inclus dans l'adhérence de A inter B ?

[gg0]

Bonjour.

Juste inclus n'interdit pas l'égalité. Tu peux d'ailleurs facilement le prouver ici (il y a à voir les cas particuliers de 0 et 1).

Cordialement

[Schrodies-cat]

Salut , je m'incruste mais j'avais juste une petite question j'ai pris pour b = Pi ( ça marche non ? ) (...)

Ca marche, bien sur !
Mais tu sais démontrer que pi est irrationnel et rationnellement indépendant de racine(2) ?
Bien sur, si tu sais démontrer que pi est transcendant, il n'y a pas de problème.

Remarque: on peut démontrer l'existence de nombres a et b convenant par des considérations de cardinalité, mais je préfère des démonstrations un peu plus constructives.

[Schrodies-cat]

En fait, il n'y a pas besoin d'une condition aussi forte que a et b rationnellement indépendants; ça marche avec:
et