Limites de suite

[MattLC3]

Bonjour,
Je me tourne vers vous pour une question assez simple, mais qui risque de devoir me faire revoir tout mon cours sur les limites...! Je me demandais si, lors du calcul de limite, on peut effectuer, à l'aide des lois de compositions de limites, des simplifications aussi importantes que celles-ci:

lim (n^3)(1-cos(1/n))sin(1/n) quand n->+oo = lim (n^3)(sin(1/n)-0.5*(sin(2/n)) quand n->+oo ;

ici je me dis alors que sin(1/n) tend vers 0 donc je supprime ce terme, et en continuant on a: = lim -(n^2)*(sin(2/n)/(2/n)) quand n->+oo, soit -oo,
ce qui est bien sur, totalement faux... C'est bien sur très laid, c'est comme si je gardais les terme que je voulais, ceux qui m'arrangent le plus, du bricolage (mais qui marchait, jusqu'ici) ... Mais je ne comprends pas ce qui est faux dans le fond, et comment généraliser l'erreur à éviter ...

Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance!
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[gg0]

Bonjour.

Revoir tout ton cours serait une bonne idée.

Sinon, pour ta question, la limite dépend-elle de l'écriture de la fonction parmi toutes les écritures possibles ? Par exemple les suites et ont-elles ou non la même limite ?
Si tu n'es pas sûr de ta réponse, il y a un problème dans ton cerveau qui a dû te jouer des tours depuis des années.
En fait tu poses exactement le même genre de question

Pour la suite ("ici je me dis alors que sin(1/n) tend vers 0 donc ...") ?? Si tu passes à la limite sur des morceaux de ton calcul, ce n'est plus la même fonction ! D'ailleurs sin(2/n) aussi tend vers 0, et tu ne le supprimes pas !!

En fait, ce qui va permettre le calcul ici, c'est justement que 1-cos(1/n) donne un terme qui va s'arranger avec une partie de n^3.

Cordialement.

[MattLC3]

Bonjour,
merci de ta réponse!
on change de fonction en effet, je me demandais juste si il y avait une condition pour changer, sans pour autant changer la limite de la suite.
J'ai trouvé la limite de la suite, ce n'était pas compliqué, je donnais juste cet exemple de manière flagrante de façon à essayer de trouver cette condition...

[gg0]

L'erreur ne vient pas du passage de (n^3)(1-cos(1/n))sin(1/n) à (n^3)(sin(1/n)-0.5*(sin(2/n)), puisque c'est la même fonction. Mais du fait de trafiquer ensuite le calcul de limites.
Un exemple du même trafic : pour calculer la limite en 0 de sin(x)/x, je remarque que sin x tend vers 0, je passe ddonc à la limite sur le sin, ça me donne 0/x=0 et la limite de 0 est 0.
En bilan :
A ta première question la réponse est non : On ne peut pas faire comme tu le fais, puisque contrairement à ce que tu dis tu n'appliques pas "à l'aide des lois de compositions de limites, des simplifications aussi importantes que celles-ci". Dans un premier temps, tu fais un simple calcul sur la fonction, les limites ne sont pas en cause :
"lim (n^3)(1-cos(1/n))sin(1/n) quand n->+oo = lim (n^3)(sin(1/n)-0.5*(sin(2/n)) quand n->+oo " est vrai
Dans la suite, tu ne travailles pas "à l'aide des lois de compositions de limites".
C'est d'ailleurs pour cela que relire ton cours serait urgent, pour savoir quelles sont les règles que tu peux utiliser. Et n'utiliser que celles-ci, pas des imitations.

Bonne réflexion !

[A voir en vidéo sur Futura]