Questions sur le nombre e (d'Euler)

[Ame_curieuse]

Merci beaucoup stefjm !!!!!!!! Merci infiniment !

Qu'est ce qui vous empêche de calculer avec l'outil de votre choix (tableur, calculette, Wolfram Alpha, etc...) x/ln(x) pour quelques valeurs de x?

En réalité, je n'avais pas demandé une illustration numérique pour cela ...car effectivement ça me paraissait simple, très évident ! Mais je suis très contente de votre méprise parce que voir le tableau justement, m'a ouvert les yeux sur un détail que je pensais comprendre, mais que je ne réalisais pas profondément ! Donc encore une fois, merci beaucoup pour ce déclic.

L'illustration numérique que j'avais demandée concernait en fait la première partie du message que j'avais cité, à savoir :

La partie entière E du logarithme log d'un nombre x donne le nombre de chiffre Nb moins 1 de la partie entière de ce nombre.

E(log(x))=Nb(E(x))-1

C'est ça que j'aimerais voir en chiffre !

NB : Vous trouvez sans doute cela bizarre (et je comprends)... mais c'est comme ça que mon cerveau fonctionne ! Allez comprendre le cerveau humain !

Je n'ai pas dit que c'était étonnant, mais optimum.
Ame_curieuse se demandait d'où sortait e, comment on l'avait trouver, son intérêt, etc...

C'est exactement le sujet de ce fil !!! Et j'avoue que ma curiosité est de plus en plus satisfaite, merci à tous !
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[Ame_curieuse]

Mais ce genre de discussion se retrouve toujours à propos des deux nombres "magique", pi et le "nombre d'or", jamais à propos d'autres : personne n'a tenu le raisonnement que chaque fois qu'on trouve e, c'est qu'il y a un logarithme en cause. Pourtant, c'est bien le cas

La vérité en ce qui me concerne ? J'avoue ne pas encore comprendre "e" profondément pour pouvoir en dire quoi que ce soit, et c'est pourquoi je ne tiens aucun propos à son sujet... Par contre, pour ce qui est de Pi, c'est différent ! Je connais mieux son histoire et la façon dont il a été approché au cours de l'histoire pour pouvoir émettre un avis. J'espère pouvoir en faire autant pour "e" bientôt (je pense être sur la bonne voie)

[gg0]

Pour le log (décimal) :

2000 a 4 chiffres. log(2000) vaut approximativement 3,30103. Sa partie entière est 3=4-1.

Il fut un temps où les calculettes n'existaient pas, les calculs se faisaient à la main, avec des tables, avec la règle à calcul (imprécise) et les tables de logarithmes (décimaux - plus précis, mais de peu). Tout élève de terminale scientifique connaissait ça. C'est de cette époque que je sais donner les log des nombres très simples comme 2000.

Comme 1000<2000<10000, log(2000) est compris entre log(1000)=3 et log(10000)=4 (rappel : par définition, log(10^a)=a).

Cordialement.

[Ame_curieuse]

Merci beaucoup gg0 !!! Là c'est très clair !!!

Effectivement, les logarithmes n'ont été inventés que pour simplifier les calculs (notamment des grands nombres, des multiplication et divisions)

Maintenant je me demande s'il n'y aurait pas une règle similaire concernant les logarithmes de base autre que 10 ? Qu'est ce que ce serait pratique !

[gg0]

Bien sûr.

Il y a la même règle avec les logarithmes en base 2 pour les écritures binaires, en base 16 pour l'écriture hexadécimale, ...
Mais en général, on utilise l'écriture décimale des nombres.
Cependant, pour savoir entre quelles puissances du nombre a>1 est situé x, tu peux calculer le log en base a de x, c'est à dire diviser ln(x) par ln(a), ou log(x) par log(a).
Ce sont des propriétés classiques des log, de niveau début d'université.

Cordialement.

[Ame_curieuse]

Bonjour à tous

Un peu plus de deux mois après, je reviens pour dire que j'ai enfin trouvé LA réponse à ma question ! J'ai essayé de chercher en anglais, et je suis tombée sur l'article qui traitait le fond du problème que je soulevais. Je partage le lien (https://brilliant.org/wiki/the-disco...-the-number-e/)

C'est comme si l'auteur lisait dans mes pensées. A titre d'exemple, il dit :

When most of us are first taught about the number e, we are told that it is an irrational, transcendental number whose value is approximated by 2.7182. Most people simply learn to manipulate e. High school classes rarely mention where e comes from. It is usually introduced when learning about exponents and logarithms as a “special” base that you will use a lot down the road. Early in high school I remember asking a teacher what e was. I received the usual circular answer, that e is the base of the natural logarithm which in turn is the logarithm of an exponent raised to the base of e. This answer did not satisfy me, but I was told that I had to wait for calculus to learn other ways of approaching its definition.

Je marque en caractère gras les passages qui m'ont le plus parlé. C'était ça en fait, je voulais savoir comment "e" a été découvert, comment il a été "inventé", pourquoi lui et pas un autre nombre, qu'est ce qui faisait sa particularité?

Et cet article m'apprend qu'en dépit du fait que les mathématiciens avaient des tables du logarithme naturel, ils ne savaient pas trop que le nombre "e" se cachait quelque part derrière. Et même si les historiens ne sont pas sûrs de connaitre la personne qui a été la première à calculer "e" et à le reconnaître "spécial", ils apparaît plus vraisemblable qu'il s'agisse d'un non mathématicien, quelqu'un avec des motivations plus matérielles... quelqu'un du monde de la finance !

... Les intérêts composés continuellement !

Ceux qui permettent la croissance d'un capital à tout instant, avec un taux constant de 100% par période de temps (une année par exemple). D'où le terme "croissance" ou "décroissance" exponentielle. Au bout d'une période, le résultat d'une telle croissance aboutit à 2.7182... la somme initiale.

Plus tard, il s'est avéré que beaucoup de choses sont concerné par un processus de croissance (ou de décroissance) comparable à celui d'un capital à la banque (les lapins, les colonies de bactéries... la désintégration radioactive, etc).

Et comme le conclut l'article :

The number e is thought of as the base that represents the growth of processes or quantities that grow continuously in proportion to their current quantity. This is why e appears so often in modeling the exponential growth or decay of everything from bacteria to radioactivity.

Après, les mathématiques offrent plus d'un outil de l'approcher, des outils que vous avez été nombreux à m'expliquer... Ce dont je vous en remercie

[Tryss2]

Pour la découverte du nombre e, on peut lire ceci :

http://www-history.mcs.st-andrews.ac...tTopics/e.html

Ou l'on voit que c'est bien les intérêts composés qui sont à l'origine de sa découverte (enfin, de sa mise en valeur), mais que ça a été fait par un mathématicien : J. Bernoulli

[Ame_curieuse]

C'est différent de ce qui a été dit dans l'article que j'ai partagé...

J'ai trouvé cela très intéressant, merci infiniment

[Chanur]

Bonjour,
Voila une formule donnant pi dont je ne vois pas du tout comment on pourrait la relier à un cercle.