Théorème Hartman-Grobman et variétés différentielles

[aida1807]

Bonjour,

j'étudie actuellement le théorème de Hartman-Grobman :



(issu du cours:http://www.math.univ-brest.fr/perso/...a-cours-v3.pdf)
et je ne parviens pas à comprendre un point de la démonstration (voir l'image ci dessus). Cela vient probablement de ma mauvaise connaissance des variétés.

On définit .
Mais étant donné que et que , je suppose que est définie de dans .

Mais cela est il bien défini? Rien ne me dit que est une sous variété de . Je sais uniquement qu'il s'agit d'une variété différentielle de dimension .

Je ne sais pas si ma question est claire.
Merci d'avance pour votre aide
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[aida1807]

Bonjour,
Désolée de relancer ce post, mais c'est assez urgent,ma présentation a lieu dans quelques jours.
Peut être ma question est elle triviale ou peu claire... Dans ce cas, si vous avez ne serait-ce qu'un document ou un livre à me recommander, je suis preneuse
Merci beaucoup!

[minushabens]

Ca me semble bizarre en effet. déjà f-Dpf n'a pas de sens. Soit il suppose M plongée globalement dans R^n (mais pourquoi?) soit il suppose donnée une carte et il "oublie" de dire que f est en fait composée avec la carte (?)

[aida1807]

C'est bien ce qui me semblait! J'ai beau tourner le problème dans tous les sens, je ne comprends pas.
Peut être en définissant comme une sous variété de , cela fonctionnerait?
Mais alors, est ce que la démonstration tient debout? Cela a-t-il un sens/un interet de construire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

On trouve l'adresse électronique d'Yves Coudène facilement. Tu peux toujours lui demander ce qu'il entend par f-Dpf, sachant que f est à valeurs dans une variété M sur laquelle il n'y a pas a priori d'addition, et Dp à valeurs dans R^n. Je pense qu'il devrait te répondre (c'est ce que je ferais si on me questionnait sur une de mes publis).

[aida1807]

En fait, je n'ose pas trop. Je crains qu'il ne trouve cela déplacé et jusqu'à maintenant, j'étais certaine que cette question était triviale.
Bon, je suis un peu désespérée , là. Cela vaut peut être le coût que je lui écrive. ..
En attendant si quelqu'un a une idée....
Et merci pour ta réponse minushabens

[minushabens]

bah tous les auteurs sont flattés qu'on lise leur travail. Au pire tu risques qu'il ne te réponde pas.

[Universus]

Bonjour,

[...]soit il suppose donnée une carte et il "oublie" de dire que f est en fait composée avec la carte (?)

C'est exactement cela. D'ailleurs, la preuve débute par « On se place dans une carte centrée en p. »

Il est très fréquent en géométrie différentielle lors d'argument de nature essentiellement locale de faire l'abus d'identifier une fonction f avec sa représentation dans des cartes et, ce faisant, de ramener tous les arguments entre ouverts d'espaces .

[aida1807]

Du coup, j'ai pris sur moi et je lui ai écrit...

Merci Universus pour ta réponse.

Si je comprends bien, lorsqu'on utilise f (dans la définition de par exemple ou dans le calcul de , on prend en réalité la fonction avec un homomorphisme qui à un point donné x, associe un voisinage ouvert de M à un ouvert de
Est ce cela?

[Universus]

Bonjour,

De prime abord, . Supposons que nous souhaitons étudier près du point . Pour ce faire, nous considérons une carte où ainsi qu'une carte où ; la fonction est alors représentée par la fonction . Par abus, il est fréquent d'identifier et . Par ailleurs, une fonction se restreint en une fonction sur , de sorte que est une fonction définie localement près de , fonction qui est elle-même identifiée à .

[aida1807]

Bonjour,
Tout d'abord, je suis désolée de ne répondre que maintenant. Je sors d'une éprouvante période d'examens et n'ai guère eu le temps de me connectée si ce n'est pour consulter mes mails.
Ensuite, merci Universus pour ta réponse. J'ai enfin compris, et la prochaine fois que je rencontrerai un problème de ce genre, je saurai comment l'interpréter...
Bonne journée!