Déterminer si une suite de nombres est aléatoire

[Juzo]

Avec la nouvelle configuration, si une décimale d'indice impair est impaire, alors la suivante est nécessairement impaire aussi. Alors oui, les variables aléatoires ne me paraissent ni indépendantes, ni identiquement distribuées(pas la même loi de probabilité pour la décimale d'indice pair et d'indice impair).

De plus on ne peut pas dire qu'une telle suite ne possède aucune régularité « exceptionnelle et effectivement testable » (Martin-Löf 1966)

De toute façon on sait que le théorème central limite dans sa formulation n'est pas une équivalence : obtenir une gaussienne ne signifie pas qu'on a ajouté des variables aléatoires indépendantes de même loi.

je re-précise que je suis très loin d'être expert en la matière, au cas où je dirais une énormité
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[minushabens]

d'une manière générale, un test basé sur la distribution empirique d'une suite de variables aléatoires ne peut rien dire sur l'indépendance desdites variables. Pour cela il faut regarder la fonction d'autocorrélation, ou encore les longueurs des sous-suites monotones (le test des "runs up and down" que j'ai déjà cité).

[miatz]

qui repend à ma question il dépasse Riemann et Euler avec leurs équations de zita et pi.

c'est une suite de nombres à trouver la relation entre eux :
77 203 221 329 437 473 527 581 671 689 707 779 833 851 869 923 1067 1121 1139 1157 1211 1247 1337 1463 1517 1589
mais pas la relation linéaire Un=18n-13 qui compris ces nombres, car elle compris tous les nombres en ces nombres qui figurent das cette séries.

cordialement

[minushabens]

la relation est évidente, non?

[gg0]

Message #33 : Doublon de http://forums.futura-sciences.com/ma...e-vecteur.html, et totalement incompréhensible !

[miatz]

je demande si vous pouvez me donner la relation car j'ai pas arrivé.
merci

[gg0]

Tu as eu des réponses, tu reviens avec des questions incompréhensibles, que veux-tu qu'on en fasse ?
Si tu as du mal à t'exprimer en français, fais des phrases courtes. Mais tu as eu une relation, on ne t'en donnera pas 2.

[Juzo]

d'une manière générale, un test basé sur la distribution empirique d'une suite de variables aléatoires ne peut rien dire sur l'indépendance desdites variables. Pour cela il faut regarder la fonction d'autocorrélation, ou encore les longueurs des sous-suites monotones (le test des "runs up and down" que j'ai déjà cité).

Pour revenir à sujet de ce post, j'ai fait les tests suggérés par minushabens sur les 800 premières décimales de Pi, et quelques uns en plus. Sans surprise, l'hypothèse nulle (la suite de nombre est aléatoire) ne peut être exclue dans chaque cas.

Tests de fréquences

- Test de Kolmogorov-Smirnov :
Je trouve D+ = D- = 0,01125 ce qui est inférieur à la valeur de la table : 1,358/racine(800) env.= 0,048

- Test du Khi 2 :
Khi^2 = 4,45 < 16,9 (valeur de la table pour 5% d'erreur)

Test fréquence Pi.jpg

Runs test (runs up and down) :
529 runs. ce qui donne une valeur centrée réduite : Z₀= - 0,39 ce qui est inférieur en valeur absolue à 1,96 (valeur de la table pour alpha = 0.025)

Quand il y avait un run de valeurs égales je ne le comptais pas. Par exemple sur l'exemple suivant : 1537548886, il y a 6 runs : 3 up et 3 down (la suite de 8 n'est pas comptée comme un run).

Apparemment ce run test n'est pas suffisant, il faut faire un run test autour de la médiane (4,5) pour savoir si l'on peut écarter l'hypothèse nulle ou pas.
Ce 2ème run test sur la médiane a donné 425 runs, soit Z₀ env.= 1,71 < 1,96. (On compte les runs de valeurs situées au-dessus et au-dessous de la médiane.



Test pour l'auto-corrélation :
J'ai calculé E(X_i - M)*E(X_i+k - M)/E(Xi-M)^2 pour plusieurs "pas" de k, mais je crois que seul le pas de 1 est intéressant pour ce test.
Pour un pas de 1 on trouve environ -0,05 ce qui est très proche de 0. Là je n'ai pas de notion du pourcentage d'erreur avec lequel ne peut pas écarter l'hypothèse nulle.

Un calcul de variable centrée réduite avec la méthode ci-dessous donne une valeur très proche de 0 (9*10^-5) donc inférieure à 1,96.
Test auto corrélation.jpg

Je donne toutes ces précisions sur ma méthode pour que vous puissiez corriger mes erreurs de méthode éventuelles si vous le voulez bien.

J'ai trouvé aussi le gap test, mais il ne semble pas bien différent du test de Kolmogorov-Smirnov.

Merci bien.

Je vous mets en lien la page d'un "chercheur indépendant" qui m'a beaucoup interpellé, sur l'ordre de première apparition des nombres dans les décimales de Pi, de Phi, de la constante d'Euler etc. (je n'ai pas vérifié ses calculs de probabilité)

http://jean-yves.boulay.pagesperso-o...fr/pi/pifr.pdf

Ca m'intéresserait d'avoir votre avis là-dessus

Cordialement,

[minushabens]

Bonjour,

je pense que tu ne devrais pas appeler ton hypothèse nulle "la suite est aléatoire" mais plutôt "la suite des chiffres est indépendante et identiquement équirépartie". C'est bien sûr quelque peu du pinaillage, mais "aléatoire" a un sens plus large en probabilités.

quant au texte de Boulay, il est un peu long. Et de plus le début n'incite pas à lire la suite (la remarque que 45=27+18 ne me semble pas d'une profondeur abismale).

[Médiat]

Bonjour

quant au texte de Boulay, il est un peu long. Et de plus le début n'incite pas à lire la suite (la remarque que 45=27+18 ne me semble pas d'une profondeur abismale).

C'est de la numérologie !

[Amanuensis]

je pense que tu ne devrais pas appeler ton hypothèse nulle "la suite est aléatoire" mais plutôt "la suite des chiffres est indépendante et identiquement équirépartie". C'est bien sûr quelque peu du pinaillage, mais "aléatoire" a un sens plus large en probabilités.

Pas vraiment du pinaillage! "aléatoire" n'a jamais un sens clair autrement que dans des usages spécifiquement définis en mathématiques, et cela n'inclut pas un sens équivalent à iid.

La confusion entre iid et aléatoire me semble d'ailleurs à la fois courante et source de méprise.

[Juzo]

C'est de la numérologie !

J'étais sûr que vous alliez parler de numérologie ! D'ailleurs j'ai failli tomber dedans en regardant les décimales de Pi...

Je résume ce que dit ce papier (ou plutôt le début). On regarde les dix chiffres dans l'ordre de leur première apparition dans les décimales des nombres. Ex : Pi = 3,1415926535 8979323846 2643383279 50
On obtient dans l'ordre : 1 4 5 9 2 6 3 8 7 0

Pour différentes constantes et leurs inverses, la somme des 6 premiers chiffres (6 = 3 cinquièmes de 10) est égale à 27 (27 = 3 cinquièmes 45), 45 étant la somme des 10 chiffres.

On obtient ce résultat pour Pi, son inverse, Phi et bien entendu soin inverse, pour la fonction Zêta, pour la constante d'euler, de Lansau-Ramanujan, et bien d'autres nombres encore...
Voici quelques exemples :


Selon lui cette configuration a une chance sur 11,66 d'apparaître pour un nombre, et une chance sur 210 pour un nombre et son inverse. Je n'ai pas vérifié ces calculs. Ce n'est que le début du papier, je n'ai pas lu la suite, mais c'est sûrement encore de la "numérologie".

L'avantage de la numérologie théoriquement c'est que c'est facile à démonter, mais l'argument ne me saute pas aux yeux. Pouvez-vous expliquer en quoi son raisonnement est faux ? Je vous fais confiance pour cela ! (Son argument est que cette même configuration dans toutes ces constantes remarquables ne peut pas être due au hasard)

ton hypothèse nulle "la suite est aléatoire" mais plutôt "la suite des chiffres est indépendante et identiquement équirépartie"

C'est vrai que l'uniformité et l'indépendance semblent être les propriétés les plus importantes à tester, mais pas les seules. Quelles autres propriétés peut-on tester selon vous ? Avez vous un exemple de suite non aléatoire qui passerait tous les tests que j'ai fait plus haut ? Je vais continuer les recherches de mon côté. Merci.

[Médiat]

Selon lui cette configuration a une chance sur 11,66 d'apparaître pour un nombre, et une chance sur 210 pour un nombre et son inverse. Je n'ai pas vérifié ces calculs.

Commencez par là, de façon convaincante !


Vous pouvez aussi regarder là : http://www.blueman.name/YG_LeCodeSecretDeLaBible.php

Vous pouvez aussi vous demander pourquoi racine de 5 et pas racine de 2 ou de 3, pourquoi zeta(5) ets pas zeta(2) ou de 3 ? etc.

Qu'est-ce qui se passe en base 2, 3 ou 16 ?

[Juzo]

Je promets de faire le calcul quand j'aurai un moment.

Je voulais juste ajouter que évidemment si on prend toutes les "propriétés particulières" imaginables, il y en a bien une qui sera partagée par tous ces nombres, et que de plus il n'a choisi que certains nombres. C'est ce que vous semblez sous-entendre d'ailleurs. Même si Pi, e et Phi ne me semblent pas être n'importe quels nombres...

[Médiat]

Il suffit de faire la démarche inverse : choisir 3 nombres particuliers, trouver une similarité, puis chercher cette similarité parmi les millions de constantes connues.

[Juzo]

Très juste... Des millions de xonstantes connues ?
Le calcul de 1/11,66 est juste. Il y a 18 séries de 4 chiffres dont la somme fait 18, soit 18*24 = 432 combinaisons sur 5040 combinaisons de 4 chiffres possibles au total. Par contre je ne sais pas où il pêche 1/210... Intuitivement il est possible que ce ne soit pas (1/11,6)^2...

[stefjm]

210=2.3.5.7

[Juzo]

Erratum, je pensais qu'il avait calculé 1 chance sur 210 qu'un nombre et son inverse aient cette configuration. En fait il a trouvé 1/23,3 = 1/(11,66*2) ce qui paraît aberrant. 1/(11,66^2) me paraît plus correct, encore que.

[Juzo]

En fait, 210 correspond à 18*11,666... Il y a 18 séries de chiffres possibles, donc une chance sur 18 que les 2 séries soient les mêmes

[Juzo]

Ps : stefjm c'est pas gentil de se moquer de la numérologie...

[gg0]

Juzo,

c'est normal de se moquer de la numérologie. Ce qui ne serait pas gentil c'est de se moquer des gens qui "croient" à la numérologie, même si ce n'est pas une preuve de grande intelligence. Enfin il est normal de dénoncer les numérologues, qui sont une variété de charlatans qui vivent de la crédulité d'autrui (en vendant leurs bouquins par exemple).

Cordialement.

[stefjm]

Honnêtement, je n'ai pas lu le document, mais j'ai les mêmes questions que Médiat a déjà posées.

210 est le produit des 4 premiers nombres premiers, je l'ai juste signalé comme cela, sans méchanceté.

https://oeis.org/search?q=2%2C6%2C30...lish&go=Search

[Juzo]

Ah, je pensais que c'était une manière habile de me remettre en place stefjm
D'accord avec gg0, il ne faut pas considérer la numérologie mais inutile de se moquer de ceux qui en font.
Pour les questions de Médiat, j'ai répondu à la première en vérifiant les calculs. L'un d'eux me paraît grossièrement faux même si ça ne remet pas en cause "l'argument" principal du papier.

Vous pouvez aussi vous demander pourquoi racine de 5 et pas racine de 2 ou de 3, pourquoi zeta(5) ets pas zeta(2) ou de 3 ? etc.

Qu'est-ce qui se passe en base 2, 3 ou 16 ?

D'accord, mais même si ces nombres ne sont pas concernés ça ne prouve pas qu'il n'y a pas une propriété sous-jacente à cette configuration sur les nombres qui nous intéressent.
De plus les nombres choisis se veulent avoir une certaine logique géométrique. (j'ajoute que 2^(1/4) a aussi cette configuration ! )

Il suffit de faire la démarche inverse : choisir 3 nombres particuliers, trouver une similarité, puis chercher cette similarité parmi les millions de constantes connues.

Bien vu ça paraît évident, mais j'aurais trouvé plus satisfaisant qu'on donne une réponse plus explicite mathématiquement à son argument "ça ne peut pas être aléatoire".
Pourquoi ne peut-on pas exclure l'hypothèse nulle ? Parce qu'il existe un très grand nombre de propriétés qui ont une très faible probabilité d'être partagées par les principales constantes ?

[minushabens]

En fait le paradigme des tests de pure significativité, tel que posé par Fisher est le suivant:
- le chercheur formule une hypothèse (biologique par exemple).
- il élabore un protocole qui concerne aussi bien le recueil des données que leur analyse.
- il met en oeuvre ce protocole et conclut.

Le point important c'est qu'on ne peut pas tester une hypothèse (ici : que l'ordre de première apparition des chiffres décimaux respecte une certaine régularité), à l'aide des mêmes données qui l'ont suggérée.

Il faudrait prendre des données nouvelles. Mais bien sûr il n'y a qu'un "pi" et qu'un "e". On n'est donc pas du tout dans le cadre d'application des tests de significativité.

[Médiat]

Parce qu'il existe un très grand nombre de propriétés qui ont une très faible probabilité d'être partagées par les principales constantes ?

Avez-vous regardé le lien que j'ai donné dans un message précédent ?

[stefjm]

Ah, je pensais que c'était une manière habile de me remettre en place stefjm

Je ne me permettrais pas, étant moi même un grand fan du genre :


ou plus difficile

qui vaut presque 0 (fraction continue [0, 1111, 11, ... ]
https://www.wolframalpha.com/input/?i=20-%28e^pi-pi%29

Ou si vous aimez la base 10 :
de fraction continue [3, 7, 15, 1, 271, ...] très proche de pi = [3, 7, 15, 1, 292, ...]

Pour les questions de Médiat, j'ai répondu à la première en vérifiant les calculs. L'un d'eux me paraît grossièrement faux même si ça ne remet pas en cause "l'argument" principal du papier.

Mais pourquoi la base 10?

Les grecs aimaient bien : https://en.wikipedia.org/wiki/Tetractys
10=1+2+3+4=(1+2)+(3+4)=3+7=2*5

[ansset]

ouais , bon,
on s'amuse comme on veut avec les chiffres.
surtout, avec le mot "presque" .......
l'ésotérisme n'est pas si loin dans l'esprit.

[stefjm]

Non, pas ésotérique, récréatif ou passionnant.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_presque_entier
https://fr.wikipedia.org/wiki/Math%C...cr%C3%A9atives
https://fr.wikipedia.org/wiki/Co%C3%...h%C3%A9matique

[invite02232301]

Bonjour,
Ce qui est interessant, dans ce cas, c'est pas que le nombre soit presqu'entier. C'est les raisons pour lesquels il l'est qui sont profondes et riches. La difference entre la numérologie et l'arithmétique, se situe là.
Il n'y a malheureusement rien de riche ou d'interessant dans le papier de M.Boulay.

[Juzo]

@ Mediat : j'avoue que je n'avais lu que les premières lignes car il s'agissait visiblement d'un exemple de numérologie, mais c'est chose faite à présent... Et c'est bien un exemple de numérologie ésotérique à souhait ! : )
On peut résumer avec cet extrait d'un autre site : " Derrière l’affaire du « code secret » se cache donc l’erreur classique qui consiste à voir de la structure dans le hasard et à en déduire qu’il s’agit là d’une information. L’origine de cette erreur est simple : nous sommes toujours surpris par l’apparition de formes et de figures lors de processus aléatoires. "
En fait l'erreur commune est de faire un raisonnement à posteriori en calculant la probabilité qu'une telle structure apparaisse, ça rejoins ce que je disais. Je pense qu'on peut arrêter là avec le papier de Mr Boulay.

Les liens sur les maths récréatives sont très intéressants, surtout la partie sur les raisonnements fallacieux ; )