"Qui a lu les éléments d'Euclide ?"

[LELONG-BONNARIC]

Bonsoir

"Que signifie la définition "Un point est ce dont la partie est nulle."

merci
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[CM63]

Bonjour,

Cela signifie que si tu prends un point et que tu essaies d'en prendre une partie, tu n'obtiens rien.

[LELONG-BONNARIC]

Bonsoir @CM63

Certes oui !

" ce dont " impliquerait il une partie pouvant être différenciée ?

l'article " la" de "partie", désigne aussi un nombre unique. Cela signerait il que c'est un tout null ? en impliquant la complémentarité de non nul .


Merci

Cordialement

[Tryss2]

Ça veut "juste" dire que le point est un élément primitif que l'on ne peut pas décomposer, découper, etc... Le point est un truc que l'on est forcé de manipuler d'un bloc

De façon générale, les Éléments d'Euclide n'a pas la rigueur des textes mathématiques modernes, et il faut avoir un peu de souplesse dans l'interprétation. Chercher la petite bête me parait contreproductif

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Le début du texte d'Euclide est une tentative de dire ce dont il veut parler. maintenant, on dirait "point" est une notion primitive, c'est à dire qu'on ne définit ce dont il s'agit que par les relations qu'ont les notions primitives entre elles. C'est d'ailleurs ce qui est fait ensuite, genre "par deux points distincts, passe une droite et une seule".

Sinon, reprocher ce texte à Euclide est sans utilité, il est mort depuis environ 2300 ans. Et le texte d'Euclide n'a plus maintenant qu'un intérêt purement historique, même les mathématiciens savent qu'il est faible logiquement.

Cordialement.

[Médiat]

maintenant, on dirait "point" est une notion primitive,

Et Hilbert les appellerait "verre de bière", "chaise" ou "table"

[CM63]

Bonjour,

Un point est ce dont la partie est nulle.

En fait, on pourrait reformuler cela en langage mathématique moderne en disant:

Un point est un ensemble dont l'ensemble des parties est constitué de deux éléments : lui-même et l'ensemble vide

C'est-à-dire le minimum syndical (là ce n'est plus du langage mathématique moderne ).

Je ne sais si cette définition est suffisante.

A plus.

[LELONG-BONNARIC]

Je vous remercie pour vos interventions. vos remarques sont juste, c'est pour ma compréhension.
Je mets en forme divers travaux, dont le point euclidien est lié.

Comment dois-je définir , le plan euclidien et un point ?

Cordialement

[gg0]

En termes modernes, le plan est un ensemble de points (axiomes de Hilbert) ou un espace vectoriel de dimension 2 dont les élément sont appelés points.
Par contre, le plan euclidien est une notion mathématique, donc si tes travaux sont mathématiques, il faut étudier la géométrie; s'ils ne sont pas mathématiques, l'idée intuitive devrait suffire, celle qu'on a quand on est passé par le collège.

Cordialement.

[Médiat]

La meilleure définition d'un point que je connaisse est "élément d'un modèle vérifiant les axiomes d'un point)

[LELONG-BONNARIC]

La discussion m'apporte une bonne base pour pouvoir mettre en forme un ensemble de travaux offrant quelques résultats .

J'observe que même avec l'esprit collège mon analyse, relevant une forme implicite , n’était pas infondée. https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert

Merci

[LELONG-BONNARIC]

Bonjour

J'ai lu avec la plus grande attention le site sur lequel est le renvoi : https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiomes_de_Hilbert

A la partie :Géométries non euclidiennes , est énoncé

Mais lorsque Hilbert axiomatise la géométrie euclidienne, on sait déjà qu'il y a des géométries qui ne respectent pas le 5e postulat. Dans son programme d'Erlangen, Felix Klein ordonne les différentes géométries : les espaces de Nikolaï Lobatchevski et Bernhard Riemann ne vérifient pas le 5e postulat.

D'autres cas sont connus : Klein a construit un espace, celui de la figure qui respecte le cinquième postulat, mais qui n'est pas orientable. Dire qu'un espace est « orientable » signifie que la droite et la gauche existent. Dans un espace euclidien, une main droite et une main gauche ne sont jamais superposables, il est impossible de les faire coïncider sans utiliser une symétrie, c’est-à-dire une transformation équivalente à celle d'un miroir. La figure du paragraphe montre que cet état de fait n'est pas vrai dans toutes les géométries. Ainsi, la règle de la figure, jaune sous le plan et rouge au-dessus, par un mouvement continu devient rouge sous le plan et jaune au-dessus. Ce qui est impossible dans un plan euclidien.

il y a des scientifiques et des Mathématiciens qui ont fait de recherche dans le cadre ou le postulat du 5 élément d'Euclide serait un théorème. Certes il est sur et quasi certain que cela apporte une autre géométrie , suffit à observer la figure animée relative à la géometrie non euclidienne, et imaginer celle ci décrivant un plan euclidien pour comprendre que c'est la géometrie de mouvement .

Ma question est la suivante, une telle géometrie changerait elle la perception que l'on a de la mathématique ?

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

"il y a des scientifiques et des Mathématiciens qui ont fait de recherche dans le cadre ou le postulat du 5 élément d'Euclide serait un théorème. " ta phrase n'est pas compréhensible. Tout axiome (un postulat est un axiome) peut être théorème dans une autre théorie parlant du même sujet. mais le postulat d'Euclide ne peut pas être un théorème de la théorie d'Euclide, une conséquence des autres axiomes. Cela a été démontré au dix-neuvième siècle.

Sinon, les différentes surfaces et volumes ont des géométries naturelles qui sont variables, notre espace-temps lui-même a une géométrie qui n'est pas celle d'Euclide. Mais parler de ces notions sans avoir la formation mathématique correspondante c'est parler dans le vide. Pourquoi ne pas étudier le livre de géométrie de Marcel Berger, par exemple ?
Et si ça ne changera pas la conception des maths qu'ont les matheux et scientifique, il est vrai que ça changerait ta conception des maths (par contre, la perception de "on" ?? Qui est-ce ?).

[LELONG-BONNARIC]

@gg0

les mots sont peut être mal choisi c'est sur , https://fr.wikipedia.org/wiki/Perception citation :" la perception est aussi liée aux mécanismes de cognition par l'abstraction inhérent à l'idée et aux notions apprises dans la pensée. le "on" me qualifie ou qualifie toutes personnes pouvant penser que la mathématique ne serait pas absolue. Excusez mon incompétence , j'ai suivi vos conseils et simplement lu l'article cité , et osé imaginer que des Mathématiciens ou des Physiciens auraient pu admettre comme base de travaux l’hypothèse que V postulat d'Euclide soit un théorème . A défaut de cela, l'avoir conjecturé.

La réponse apportée je vous cite " Sinon, les différentes surfaces et volumes ont des géométries naturelles qui sont variables, notre espace-temps lui-même a une géométrie qui n'est pas celle d'Euclide " est d'autant plus intéressante, qu'elle ne peut que m'interroger encore plus. En effet, il est écrit dans l'article : Klein a construit un espace, celui de la figure qui respecte le cinquième postulat et complété de qui n'est pas orientable . cela laisse supposer de la part du rédacteur, qu'un espace analogue complété, ce que l'auteur nomme orientation, serait un théorème ! Et par là même, l'espace serait alors défini euclidien . Si je dois comprendre l'auteur.

"Notre espace temps à une géometrie qui n'est pas celle d'Euclide" .

En serait il de même si l'espace construit suivant le V élément était une conjecture vrai ?

je reprends la citation de l'auteur , lequel précise : ajouter, l'orientation , ( le plan construit suivant le V élément est euclidien)
D'où ma première question : cela pourrait il remette en question la base de la mathématique ?

Science et Mathématique ne sont pas ma profession. Étant à la retraite j'ai tout loisirs de pouvoir progresser. Même si j'ai déjà pu lire de nombreux auteurs anciens en tant que emprunteur extérieur à l' IREM entre 1992 et 2004. Ma culture est plus XVII XIX siècle que actuelle.

En peu de mots je n'ai pas la forme pour le dire toutefois je parviens à comprendre assez vite tous les niveaux ; et c'est toujours agréable d'apprendre.

Cordialement

[Médiat]

Bonjour,

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est la notion de proposition indécidable dans une théorie (c'est à dire une proposition qu'on ne peut pas démontrer ni réfuter dans cette théorie), c'est le cas du postulat des parallèles dans le cadre de la géométrie, on peut donc ajouter cet axiome où une proposition que le nie ; on obtient 3 géométries assez facilement (vous les avez citées), mais rien ne dit que l'une ou l'autre des théories ainsi obtenues est complète (sans indécidable), l'orientabilité montre que les géométries planes obtenues avec le postulat des parallèles ne sont pas complètes et que l'on peut ajouter encore un axiome (et ce n'est sans doute pas fini)

[LELONG-BONNARIC]

Bonjour,

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est la notion de proposition indécidable dans une théorie (c'est à dire une proposition qu'on ne peut pas démontrer ni réfuter dans cette théorie), c'est le cas du postulat des parallèles dans le cadre de la géométrie, on peut donc ajouter cet axiome où une proposition que le nie ; on obtient 3 géométries assez facilement (vous les avez citées), mais rien ne dit que l'une ou l'autre des théories ainsi obtenues est complète (sans indécidable), l'orientabilité montre que les géométries planes obtenues avec le postulat des parallèles ne sont pas complètes et que l'on peut ajouter encore un axiome (et ce n'est sans doute pas fini)

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est la notion de proposition indécidable dans une théorie (c'est à dire une proposition qu'on ne peut pas démontrer ni réfuter dans cette théorie), c'est le cas du postulat des parallèles dans le cadre de la géométrie, on peut donc ajouter cet axiome où une proposition que le nie ;

Jusque là, c'est compréhensible. Toutefois contrairement à toute construction mathématique, la géométrie présent un caractère visuel. Il suffit à voir les constructions présentées sur le site https://fr.wikipedia.org/wiki/ ( qui au passage est un excellent renvoi pour l'explication de texte et les visuels) .

La propriété qualificative d’indécidable peut elle être opposée, à la construction géométrique et visuelle ?


Cordialement

[LELONG-BONNARIC]

l'orientabilité montre que les géométries planes obtenues avec le postulat des parallèles ne sont pas complètes et que l'on peut ajouter encore un axiome (et ce n'est sans doute pas fini)


C'est cette partie qui m'interroge le plus. Vers quels auteurs ou lecture de cours , puis je aller pour comprendre cette base ajoutée d’axiomes ?

Laquelle des géométries serait complète ?

Merci pour cette avancée

Cordialement

[gg0]

" imaginer que des Mathématiciens ou des Physiciens auraient pu admettre comme base de travaux l’hypothèse que V postulat d'Euclide soit un théorème"
Je ne comprends toujours pas ! Dans de nombreux travaux sur les bases de la géométrie, en particulier à la renaissance, le théorème d'unicité des parallèles est un théorème, le postulat d'Euclide étant remplacé par un autre axiome (=postulat) considéré comme "plus naturel". Mais ce nouvel axiome n'est pas plus démontrable avec les axiomes d'Euclide (moins le cinquième postulat). Et dans les présentations actuelles de la géométrie affine, le théorème "par un point du plan il ne passe qu'une parallèle à une droite donnée" est une conséquence immédiate des définitions de base.

Donc après ma mise au point du message #13 je ne peux que te redire que axiome ou théorème n'est pas une question de nature des propriétés, mais de choix des axiomes d'une théorie. Tu devrais regarder un exemple plus simple, par exemple les axiomes de l'arithmétique par Peano versus la construction des entiers par les ordinaux. Tous les axiomes de Peano sont des théorèmes de l'autre théorie.

Quant à l'espace temps, je parlais évidemment de celui des physiciens, de la théorie de la relativité, il n'a rien à voir avec le cinquième postulat, puisqu'il a 4 dimensions dont l'une (le temps) se comporte très différemment des autres.

Cordialement.

[LELONG-BONNARIC]

J'ai saisi. Ma question était mal posée , j'ai mis trop en avant l’argument pour poser la question . @Médiat a recadré et j'ai pu exprimer que la géometrie est faisable suivant les critère posés par l'article.

Reste à savoir si malgré la réalisation visuelle , la géometrie réalisée, est opposable de la propriété qualificative d’indécidable. Je recherche https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie.

Programme d'Erlangen
Dans la conception de Felix Klein (auteur du programme d'Erlangen), la géométrie est l'étude des espaces de points sur lesquels opèrent des groupes de transformations (appelées aussi symétries) et des quantités et des propriétés qui sont invariantes pour ces groupes.

Parmi les transformations les plus connues, on retrouve les isométries, les similitudes, les rotations, les réflexions, les translations et les homothéties.

Il ne s'agit donc pas d'une discipline mais d'un important travail de synthèse qui a permis une vision claire des particularités de chaque géométrie. Ce programme caractérise donc plus la géométrie qu'il ne la fonde. Il eut un rôle médiateur dans le débat sur la nature des géométries non-euclidiennes et la controverse entre géométries analytique et synthétique.


Cette partie me parait totalement adaptée à la construction géométrique, dont je cherche à approfondir les axiomes de base et les caractéristiques, notamment pour la variété 3 qui correspond à la géometrie réalisée.

Cordialement

[LELONG-BONNARIC]

Je lis sur le site https://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9om%C3%A9trie.

Voir l'axiomatique de Hilbert ou les Éléments d'Euclide pour des énoncés plus complet de la géométrie euclidienne. (Cela a été fait renvoi par @Médiat)

La réfutation de ce postulat a conduit à l'élaboration de deux géométries non euclidiennes : la géométrie hyperbolique par Gauss, Lobatchevski, Bolyai et la géométrie elliptique par Riemann.

Le mot réfutation exprime bien le fait de rejet de ce postulat, par Gauss, Lobatchevski, Bolyai et la géométrie elliptique par Riemann ! D'où la question du sujet en cours ) indépendamment de toutes constructions.



Cordialement

[azizovsky]

Ce n'est pas le réfutation du postulat qui a conduit au autres géométries, mais l'impossibilité de la démonstration, par exemple Saccheri (1733), H.Lambert,..., le problème est résolu par N.Lobatchevsky avec sa 'géométrie imaginaire', enfin l'idée de Klein( a exposé cette idée dans un discours inaugural à l'occasion de sa nomination à la chaire d'Erlangen en 1878), de considérer les différentes géométries comme les théories des invariants des groupes appropriés.
-groupes projectifs
-groupes des automorphismes
-groupe affine
-groupe affine unimodulaire
-groupe orthogonal...

[LELONG-BONNARIC]

Ce n'est pas le réfutation du postulat qui a conduit au autres géométries, mais l'impossibilité de la démonstration, par exemple Saccheri (1733), H.Lambert,..., le problème est résolu par N.Lobatchevsky avec sa 'géométrie imaginaire', enfin l'idée de Klein( a exposé cette idée dans un discours inaugural à l'occasion de sa nomination à la chaire d'Erlangen en 1878), de considérer les différentes géométries comme les théories des invariants des groupes appropriés.
-groupes projectifs
-groupes des automorphismes
-groupe affine
-groupe affine unimodulaire
-groupe orthogonal...

Alors cela m'apparait plus clair, que faut il à une géometrie , "construite" pour passer à sa démonstration ? c'est la suite logique !

Dans le principe du brevet d'invention (j'en ai déposé 2 et primé deux fois dont une fois à l'international), c'est la construction matérielle par tout homme de l'Art du descriptif détaillé). Ici , je parle de la géometrie, j’écarte du sujet les conséquences générées, aux quelles faisaient référence mes précédentes questions . Étant évident pour moi, qu'il serait absurde de démontrer par une ou des conséquences ce qui serait une cause .

Quels sont les seuls éléments de bases à prendre en considération . Le Tracer ? Des équations de points suivant l'axiomatique de Hilbert ? Des équations de mouvement ? Alignement de points et la projection de continuités ?

Cordialement

[azizovsky]

Quels sont les seuls éléments de bases à prendre en considération . Le Tracer ? Des équations de points suivant l'axiomatique de Hilbert ? Des équations de mouvement ? Alignement de points et la projection de continuités ?

Cordialement

c'est des questions générales, pour cerner le problème, il y'a par exemple: Géométrie supérieure de N.Efimov.

ps:- si un énoncé est indécidable dans modèle ou univers d'une théorie, il suffit de l'ajouter ou sa négation pour construire une autre théorie.
-puisque tu parle des brevets, si une pièce est resté un plus dans un jeu de composition des pièces, on peut l'ajouter pour construire un autre jeu...

[Médiat]

si un énoncé est indécidable dans modèle ou univers d'une théorie, il suffit de l'ajouter ou sa négation pour construire une autre théorie.

Aïe : il n'y a pas d'indécidable dans les modèles.

[azizovsky]

Aïe : il n'y a pas d'indécidable dans les modèles.

, je savais que j'ai dit quelque chose qui n'est pas logique, mais j'analyse les choses d'un point purement physique...., et merci cher Médiat pour avoir mis la main sur ce qui me chiffonnait .
ps :

j'en ai déposé 2 et primé deux fois dont une fois à l'international

et moi, je tiré le tapis au dessous des pieds des grands ...

[LELONG-BONNARIC]

Je viens de fouiller sur l'Internet :https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...ts_d%27Euclide

Notions ordinaires du livre I1 :
1 Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles.
2 Si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales.
3 Si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales.
4 Des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, sont égales entre elles.
5 Le tout est plus grand que la partie.

Le tout plus grand que la partie, complète le postulat sur le point.

A partir du postulat sur la définition du point et cette notion 5 du livre 1, j'ai eu la réponse à ce que je recherché. Merci à vous et vos connaissances qui m'ont renvoyé vers les bonnes sources. Je n'avais pas eu l'occasion de lire cela. Pour exprimer une recherche , j'ai émis pour axiome, : la partie non mesurable (le point euclidien) l'immatérialité, est contenant du tout mesurable le tracer matérialisé. Et ai construit la géometrie.

Je vois à présent que je peux me référer au plan euclidien sans apporter une axiomatisation personnelle.

" Un choix parmi plusieurs descriptions de possibilités (non exhaustives)" serait il une forme démonstrative acceptée par la communauté scientifique ?


Cordialement

[CM63]

Bonjour,

Le tout est plus grand que la partie.

Ça c'est sûr, mais ce qu'il l'est moins:

Le tout est plus grand (ou plus petit) que la réunion des parties.

[LELONG-BONNARIC]

@ CM63

Oups !!! Cela demande une explication qui in fine aboutit à une figure géométrique et une table arithmétique confirmant la figure .

Cordialement

[CM63]

Bonjour,

Cas où c'est plus petit:
- le noyau d'un atome a une masse au repos inférieure à la somme des masses des particules qui le cosntituent. La différence est appelés "défaut de masse". Zut, c'est un exemple en physique et non pas en math.

Cas où c'est plus grand:
- ben je cherche

[LELONG-BONNARIC]

Bonsoir

moi aussi

Pour réfléchir

Cdt