Valeurs propres réelles / complexes

[inviteed436f76]

Bonjour,

Quand on parle d'un endomorphisme d'un R-espace vectoriel, je sais que ses valeurs propres sont par définition forcément réelles (même si son polynôme caractéristique est par exemple , on ne dit pas que i et -i sont valeurs propres).

Par contre, j'ai l'impression qu'on se gène un peu moins pour dire qu'une matrice de admet des valeurs propres non réelles, sans préciser dans quel espace vectoriel on travaille... Sommes-nous d'accords qu'il s'agit d'un manque de rigueur et que, pour parler de valeurs propres non réelles, il faudrait préciser qu'on ne considère plus notre matrice comme un élément de mais comme un élément de ?
Et d'ailleurs, même là, pour moi ça reste incomplet : il faudrait préciser que notre matrice est un élément de considéré comme un C-ev (car peut aussi être vu comme un R-ev, et dans ce cas ses éléments ne peuvent pas admettre de valeurs propres non réelles) !


Et si ce que je dis est exact, pourquoi dans la littérature quand on parle d'endomorphismes on prend toujours le soin de préciser le corps sur lequel on travaille (on précise que u est un endomorphisme de R-ev ou de C-ev), alors qu'on le fait rarement pour les matrices (on devrait toujours dire, il me semble, "soit M une matrice du R-ev / C-ev ") ? Est-ce parce qu'il est plus "immédiat" de switcher entre les points de vue R-ev / C-ev pour les matrices que pour les endomorphismes ?


Et à ce sujet, êtes-vous aussi d'accord que cela n'a pas de sens de demander de montrer qu'un matrice de est diagonalisable si on ne précise pas si on considère comme un R-ev ou comme un C-ev ? (si son polynôme caractéristique est (X-i)(X+i), la réponse sera négative dans le premier cas, positive dans le 2e)


Je ne demande pas tout ça pour ennuyer tout le monde avec trop de rigueur, c'est surtout pour m'assurer que je ne fais pas d'erreur de compréhension....
Merci d'avance pour vos éclaircissements
Bonne journée
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[invite47ecce17]

Bonjour,
Tes questions sont importantes, et tu as raison sur a peu pres toutes les distinctions que tu fais (a quelques imprecisions prés).
Pour une matrice, ce qui compte, c'est dans quel corps (ici R ou C) on voit ses coefficients. Autrement dit, se demander si une matrice M à coeffcient dans R est diagonalisable dans R, c'est se demander s'il existe P dans GL(n,R) tel que M=PDP^{-1} ou D est diagonale; se demander si elle diagonalisable dans C, c'est demander s'il existe P dans GL(n,c) tel que M=PDP^{-1} avec D diagonale. C'est pas tellement le fait de considerer M_n(C) comme C-ev ou R-ev... ce sont juste des questions différentes (mais tu as bien compris la distinction).

On peut totalement transposer ces considérations aux cas d'endomorphismes, mais en general on ne le voit pas sous cette angle là, car la construction est plus compliquée à presenter aux etudiants.

Si V est un espace vectoriel sur R, de dimension finie disons, alors tu peux construire un espace vectoriel V_C, qui est le "meme espace vectoriel, mais avec des scalaires complexes au lieu de réel). Tu peux le construire de la manière suivante: tu sais que V est canoniquement identifié à Hom_R(V^*, R), le dual du dual, tu peux alors poser V_C=Hom_R(V^*, C). les applications R-linéaires de V^* dans C. Ceci est naturellement un C espace vectoriel, et tu peux vérifier aisément que si f:V->V' est R-linéaire alors tu as une application associée toujours notée f:V_C->V'_C, qui soit C-linéaire.

De plus si tu as une R-base de V, alors la meme famille (comme une application R-linéaie de V* dans R est a fortiori une application R-linéaire de V^* dans C, tu peux voir V=Hom_R(V^*,R) comme un sous R-espace de Hom_R(V^*,C)=V_C, de sorte que les elements de V te donnent des elements de V_C) est une C-base de V_C, et la matrice de f dans la R-base ou de f (vu de V_C dans V'_C) dans la C-base sont les memes, ce qui correspond à l'operation vues sur les matrices plus haut.

Bien sur si V=R^n, alors V_C=C^n.