L'infini dans l'algèbre

Hachem · 02/04/2006 - 23h26

Salut. Je me demande comment gérer l'infini algébriquement. Par exemple, si je divise 1 par l'infini, vais-je obtenir un nombre infiniment petit ou zéro? Aussi, si je divise l'infini par l'infini, le résultat est-il 1?

Merci d'avance,
Hachem

brixx · 02/04/2006 - 23h40

voila comment on peut définir l'infini, en introduisant la droite numérique achevée Rbarre : on appelle Rbarre la réunion R union {+infini,-infini}, et on prolonge l'ordre classique sur R à Rbarre en posant pour x et y dans Rbarre,
x<=y <==> x<=y dans R si x,y sont dans R ou x=-infini ou y=+infini.
On peut dire que 1/+infini=0, par contre l'infini divisé par l'infini ne fait pas 1 : tu prends par exemple x et 2x quand x vaut l'infini : 2x/x=2 et non pas 1. Tu peux également prendre x et x² : x²/x=x=+infini. On dit que +infini/+infini est une forme indéterminée

Hachem · 02/04/2006 - 23h54

Ah d'accord, je comprends

Merci bien.

space-kro · 03/04/2006 - 00h02

Bonjour,

Sinon il existe aussi l'analyse non standart. C'est pas de l'algèbre, mais je pense que ça permet d'avoir une bonne approche de l'infini grand et de l'infiniment petit.

Concrêtement (je suis vraiment pas un expert), on rajoute des axiomes à l'axiomatique de base afin de supposer l'existence de nombre non standart, des nombres infiniment grand et des nombres infiniment petit.

Il parait que ça simplifie énormément les démonstrations où l'ont doit "couper les epsilons en quatre" (enfin je sais pas si tu me comprend...) afin de calculer des limites.

brixx · 03/04/2006 - 00h08

voici un lieu si tu veux quelques détails sur l'analyse non standard:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_non_standard

GuYem · 04/04/2006 - 10h26

Wahou ça fait peur l'analyse non standard !

Mais ça a aussi l'air super intéressant

fderwelt · 04/04/2006 - 10h44

Envoyé par GuYem

Wahou ça fait peur l'analyse non standard !

Bonjour,

Ya pourtant pas de quoi... En fait ça se dégonfle assez vite dès qu'on fait abstraction du vocabulaire un peu folklo, style "la partie standard de l'ombre est égale à l'ombre de la partie standard" (là je dis n'importe quoi de mémoire, c'est probablement faux).
On s'en accomode très bien si on considère que c'est une manière astucieuse d'empaqueter tous les $\forall \varepsilon \, \exists \alpha$ une bonne fois pour toutes.

-- françois

invite986312212 · 04/04/2006 - 11h11

j'avais suivi un cours d'analyse non standard en DEA et ce que j'en avais retenu c'est que c'est intéressant pour l'enseignement mais en tant qu'outil ça n'apporte pas énormément. Le prof avait eu quelque difficulté selon ses dires, à trouver un théorème non trivial qui ait été démontré pour la première fois à l'aide de l'analyse non standard (un théorème d'analyse fonctionnelle je crois). Et encore il avait été redémontré depuis avec des méthodes traditionnelles. Bon, ça date d'il y a vingt ans...

martini_bird · 04/04/2006 - 13h30

Salut,

il faut dire que l'ANS souffre aussi du peu de monde qui l'utilise et la diffuse.

Le jour où en effet l'ANS se révèlera indispensable pour démontrer certains théorèmes, alors on pourra peut-être oublier un peu l'analyse de Newton et Leibniz. Quoique...

P'tite question en passant : l'ANS contient l'analyse classique mais ne lui est pas équivalente, n'est-ce pas ?

Cordialement.

fderwelt · 04/04/2006 - 13h36

Envoyé par martini_bird

P'tite question en passant : l'ANS contient l'analyse classique mais ne lui est pas équivalente, n'est-ce pas ?

Bonjour,

"Contient"... si on veut! Dans la mesure où tout énoncé classique est un énoncé ANS valable, mais que la réciproque n'est pas vraie (à cause du prédicat "standard" qui vient en plus)...

C'est un peu de l'arnaque

. Et j'avoue que, si j'ai souvent vu des démonstrations (assez) grandement simplifiées par l'usage de l'ANS, je n'ai rien vu (du moins jusqu'ici) de vraiment convaincant qui ne soit pas démontrable autrement.

Mais je reconnais volontiers que c'est souvent plus intuitif, surtout quand comme moi on rechigne à manipuler les epsilon et autres majorations.

-- françois

matthias · 04/04/2006 - 14h07

Envoyé par martini_bird

Le jour où en effet l'ANS se révèlera indispensable pour démontrer certains théorèmes, alors on pourra peut-être oublier un peu l'analyse de Newton et Leibniz. Quoique...

En même temps il me semble que tous les résultats standards démontrables avec ANS sont démontrables avec ZFC (je crois qu'on dit qu'IST est une "extension conservative" de ZFC). Il y aurait même un algorithme (du à Nelson) qui transforme une démonstration non standard d'un résultat exprimable de manière standard en une démonstration interne à ZFC.

Si quelqu'un peut confirmer ...

fderwelt · 04/04/2006 - 14h19

Envoyé par matthias

En même temps il me semble que tous les résultats standards démontrables avec ANS sont démontrables avec ZFC (je crois qu'on dit qu'IST est une "extension conservative" de ZFC). Il y aurait même un algorithme (du à Nelson) qui transforme une démonstration non standard d'un résultat exprimable de manière standard en une démonstration interne à ZFC.

Si quelqu'un peut confirmer ...

Exact. C'est dit (mais pas démontré) dans "Analyse Non-Standard", de F.Diener & G.Reeb, chez Hermann:

Pour tout résultat démontré à l'aide des principes de IST ou de leurs conséquences, qui peut s'exprimer en termes classiques, il existe une preuve ne faisant pas usage des nouveaux principes.

(citation un peu abrégée)

Ça confirme que, tant qu'on ne s'intéresse qu'à des résultats classiques, l'ANS ne peut proposer mieux que des "raccourcis". Parfois spectaculaires, certes.

-- françois