fonction elliptique

[ordage]

Bonjour

Dans un calcul en coordonnées polaires pour calculer une orbite par sa fonction r (phi), en intégrant (j'ai utilisé mathematica pour cela) une équation différentielle, j'obtiens : Phi = K. EllipticF[ArcSin [ g(r), A], A et K sont des constantes. Comme c'est r(phi) qui m'intéresse je vais devoir inverser la fonction et je suppose alors que j'aurai: g(r), A = EllipticF Sin [phi] ce qui va me donner deux expressions. Mes notions sur les fonctions elliptiques sont rudimentaires, j'ai lu quelques documents sur internet à leur sujet mais ce n'est pas évident et si j'ai compris qu'il y a une double périodicit , ce que les expressions dans la fonction montrent , j'aimerai comprendre la relation entre ces deux expressions et les deux périodes.

Merci pour des explications ou une référence qui explique cela;
Cordialement
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[God's Breath]

La fonction EllipticF est définie par :



il faut vérifier dans la documentation quelle est la notation de Mathematica.

On seul intérêt est d'être bijective :



où la fonction am est la fonction "amplitude" de Jacobi ; c'est celle qui donne l'amplitude d'oscillation du pendule pesant en fonction du temps.

Dans ton cas :



Tu peux trouver des renseignements complémentaires ici ou là.

[azizovsky]

il y'a aussi ça de V.Smirnov tome III 2 ème partie .

[ordage]

La fonction EllipticF est définie par :



il faut vérifier dans la documentation quelle est la notation de Mathematica.

On seul intérêt est d'être bijective :



où la fonction am est la fonction "amplitude" de Jacobi ; c'est celle qui donne l'amplitude d'oscillation du pendule pesant en fonction du temps.

Dans ton cas :



Tu peux trouver des renseignements complémentaires ici ou là.

Bonjour

Merci pour vos réponses rapides et précises et les références.

Je vois que vous faites référence à des oscillations de pendule et que la fonction am donne l' amplitude.

Mon calcul et les équations afférentes, déduites d'une forme particulière de la métrique dans cette solution en relativité générale (RG) dont l'intégration a conduit à cette intégrale elliptique, portaient sur l'avance du périhélie de Mercure en RG, où il y a deux (pseudo) périodes: celle de l'orbite annuelle et celle liée à l'avance du périhélie parce que la trajectoire de l'orbite annuelle ne se referme pas en relativité générale (à la différence de la mécanique newtonienne où c'est une ellipse).

Si c'est possible, comment puis-je utiliser la fonction am pour récupérer ces deux périodes?

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

Quelques questions :

Si le phénomène étudié est périodique : quelle est la grandeur périodique ? en fonction de quelle grandeur le phénomène est-il périodique ? où ces grandeurs apparaissent-elles dans la formule mathématique décrivant le phénomène ?

Si le phénomène n'est pas périodique : quelle est la définition des pseudo-périodes ?

[ordage]

Quelques questions :

Si le phénomène étudié est périodique : quelle est la grandeur périodique ? en fonction de quelle grandeur le phénomène est-il périodique ? où ces grandeurs apparaissent-elles dans la formule mathématique décrivant le phénomène ?

Si le phénomène n'est pas périodique : quelle est la définition des pseudo-périodes ?

Bonjour
C'est le problème de la géodésique (orbite) d'une planète autour du Soleil en relativité générale, modélisé comme la géodésique autour d'un corps unique à symétrie sphérique, (on néglige la masse de la planète).
L'équation qui régit cette géodésique est donnée par la métrique (qui est courbe). La géodésique dépend de la masse du corps central (le Soleil) et du moment angulaire relativiste de la planète (constante du mouvement ).
Bien que ce soit un cas réputé simple puisqu'il y a une symétrie sphérique (il est simple si l'orbite est un cercle), dans le cas d'une géodésique elliptique il n'y a pas, à ma connaissance?, de solution analytique exacte.

Dans le cas où le champ gravitationnel est faible, ce qui est le cas dans le système solaire, même pour la planète Mercure dont l'orbite est assez elliptique e = 0,2, il y a des solutions approchées où on considère une ellipse fermée (ce qui définit une première période environ 88 jours pour l'année sur Mercure) et une rotation (très lente) de cette ellipse (on mesure le mouvement du périhélie : 43'' par siècle ce qui ferait une deuxième période de 301 400 ans environ).
Ces méthodes approchées sont connues depuis longtemps (de type "perturbatives") et aujourd'hui on peut aussi faire des résolutions numériques de ces équations en particulier quand l'effet est important.
Mais par curiosité mathématique, l'idée est de voir si on peut déduire analytiquement "exactement" ces valeurs à partir de certaines formes de la métrique qui n'ont pas été utilisées jusqu'à présent.
C'est ce que j'ai fait, et cela donne l'intégrale elliptique que j'essaie d'interpréter (ces deux périodes se déduisent-elles des deux paramètres de la fonction elliptique?).

Cordialement et merci encore pour tes réponses.

[God's Breath]

Je repose ma question différemment : où est le temps dans la formule avec la fonction elliptique ?

[azizovsky]

il peut contourner le problème d'espace-temps en remplaçant les nombres complexes pas les quaternions fondus avec la représentation : avec , donc définir un fonction de quaternion , une période sur le temps et sur l'espace .

[ordage]

Je repose ma question différemment : où est le temps dans la formule avec la fonction elliptique ?

Salut
Le temps n'est pas présent explicitement. Plus généralement le paramètre affin de la géodésique (qui n'est pas le temps en général, en RG) est présent implicitement dans les constantes du mouvement qui sont dans les paramètres de l'équation. Quant au temps (qui est une coordonnée en RG, comme la solution est de type "stationnaire" elle n'en dépend pas). On s'intéresse seulement à la géométrie de la courbe spatiale r(phi) qui décrit la trajectoire spatiale (phi est la variable). C'est cette courbe qui, en RG, au lieu d'être une ellipse décrit un genre de rosace, ce que la solution avec la fonction elliptique devrait décrire.

Cordialement

Cordialement

[God's Breath]

Je ne suis pas physicien : si le temps n'est pas explicitement présent, comment peut-on obtenir une période de 88 jours ?
Il faut bien que le temps soit accessible via la représentation de l'orbite.

[ordage]

Je ne suis pas physicien : si le temps n'est pas explicitement présent, comment peut-on obtenir une période de 88 jours ?
Il faut bien que le temps soit accessible via la représentation de l'orbite.

Bonjour
Je comprends ta remarque. L'équation définit une courbe spatiale, "sans jauge" une "forme" - par exemple une ellipse avec son excentricité (sans échelle donc invariante par une transformation conforme). C'est un problème classique en physique (liberté de jauge) qui a d'ailleurs été bien formalisé par les mathématiciens en particulier par H. Weyl vers 1920 quand il s'est intéressé à la relativité générale (Temps -espace-Matière).
Pour la jauge en gravitation newtonienne, il y a une deuxième équation indépendante (qui traduit la conservation du moment angulaire L, r²(d_phi)/dt = L).
En RG c'est pareil, c'est la constante du mouvement L qui va fournir, par une autre équation, la jauge- sauf qu'en relativité, ce n'est pas le temps qui est le paramètre dynamique, c'est un paramètre fourni par la métrique, qu'on appelle le "temps propre" appellation trompeuse (car c'est en fait un mélange de temps et d'espace) mais de toute façon l'important c'est qu'on puisse relier tout cela à des paramètres physiques qu'on peut mesurer, et cela la métrique le permet.

Mais le problème à résoudre est bien celui des courbes spatiales "conformément équivalentes", d'où la démarche. La jauge, avec ses choix possibles, se traite par ailleurs.

Mais le problème de la jauge que tu soulèves implicitement est toujours très discuté et il me semble que le rêve des physiciens serait d'avoir une théorie indépendante de jauge (classe des CFT- conformal field theory) ce qui semblerait permettre l'élaboration des futures théories unifiées.

Cordialement

[ordage]

il peut contourner le problème d'espace-temps en remplaçant les nombres complexes pas les quaternions fondus avec la représentation : avec , donc définir un fonction de quaternion , une période sur le temps et sur l'espace .

Bonjour
Merci pour ta proposition, mais je ne suis pas très familier avec ce formalisme.
Cordialement

[God's Breath]

C'est bien l) qu'est le problème : tant que l'on ne dispose que de l'équation purement spatiale de la trajectoire, on ne peut pas atteindre la période.

C'est comme sur les photos prises de nuit en pose : on peut reconstituer les trajectoires des véhicules d'après les traces des phares, mais on ne peut pas atteindre leur vitesse, ni le temps de parcours de la trajectoire.

[Médiat]

Bonjour,

Une petite faute de frappe s'est glissée dans le post de azizovsky, ce qui peut compliquer la recherche d'information, il s'agit des quaternions fendus, que l'on appelle aussi :

CoQuaternions
Quaternions de Cockle.
Para-quaternions.
Quaternions hyperbolique de Musès.
Antiquaternions.
Pseudo Quaternions.
Système ex-sphérique.
Quaternions de Gödel.

Quelques références :

An Invitation to Split Quaternionic Analysis
Some Algebraic and Analytical Properties of Coquaternion Algebra
The coquaternion algebra and complex partial differential equations

[ordage]

Bonjour,

Une petite faute de frappe s'est glissée dans le post de azizovsky, ce qui peut compliquer la recherche d'information, il s'agit des quaternions fendus, que l'on appelle aussi :

CoQuaternions
Quaternions de Cockle.
Para-quaternions.
Quaternions hyperbolique de Musès.
Antiquaternions.
Pseudo Quaternions.
Système ex-sphérique.
Quaternions de Gödel.

Quelques références :

An Invitation to Split Quaternionic Analysis
Some Algebraic and Analytical Properties of Coquaternion Algebra
The coquaternion algebra and complex partial differential equations

Salut


Je vais utiliser les informations qui m'ont été fournies (quelques vérifs à faire avec les notations de mathematica, et la fonction am) et je vais voir si je m'en sors.. Merci à tous.

Cordialement

[azizovsky]

je maîtrise la RR à la perfection, et j'ai toujours ce problème de passer de la métrique

à une métrique elliptique.

ps: dans les cordonnées elliptique on peut insérer les fonctions elliptique de Weierstrass...

[azizovsky]

Bonjour, merci Médit pour les précisions, je ne suis pas un spécialiste...., mais j'aime la culture mathématique (avoir une idée..., on sais jamais, un outil ....).

[Médiat]

J'ai oublié une référence pour physiciens : On complexified mechanics and coquaternions

[azizovsky]

Merci encore Médiat, dans la métrique, si on pose: on 'aura:

avec càd :



pour passer à une métrique elliptique, on doit avoir:

avec:

, j'ai du mal à retrouver :



et pour ds²=........, plus de mal à retrouver cette forme .

[azizovsky]

donc, pour les curieux comme moi, on passe de 4D à 6D, chaque dimension à son propre temps, pour avoir une métrique, on doit avoir 7D , et pour la réduction des 3 dimensions à un ....

[azizovsky]

j'ai fait un 'ansatz' pour le laplacien en RR:

avec des VRAIS TEMPS RELATIVISTE et sa marche comme sur des roulettes ...

pour une fonction d'onde

la première est l'onde directe, la deuxième est l'onde inverse .

désolé ordage, j'arrête ...

[ordage]

J'ai oublié une référence pour physiciens : On complexified mechanics and coquaternions

Merci

C'est plus à ma portée.
Cordialement

[ordage]

j'ai fait un 'ansatz' pour le laplacien en RR:

avec des VRAIS TEMPS RELATIVISTE et sa marche comme sur des roulettes ...

pour une fonction d'onde

la première est l'onde directe, la deuxième est l'onde inverse .

désolé ordage, j'arrête ...

Salut

C'est un forum, chacun s'exprime, mais je ne comprends pas pourquoi en RR tu veux passer en coordonnées elliptiques sauf à décrire de manière compliquée quelque chose de simple. En coordonnées hyperboliques je comprendrai puisque la métrique est hyperbolique.
Par ailleurs ds² =0 ne décrit que les géodésiques nulles ( lumière) .

Cordialement

[azizovsky]

Salut

C'est un forum, chacun s'exprime, mais je ne comprends pas pourquoi en RR tu veux passer en coordonnées elliptiques sauf à décrire de manière compliquée quelque chose de simple. En coordonnées hyperboliques je comprendrai puisque la métrique est hyperbolique.
Par ailleurs ds² =0 ne décrit que les géodésiques nulles ( lumière) .

Cordialement

par curiosité, je suppose que l'espace-temps n'est pas isotrope, pour la fonction d'onde, Dirac a décomposé le temps relativiste sous la forme:

pour avoir ses bi-spineurs et moi en:

[azizovsky]

ps: pour le premier cas (Dirac) : bi-spineur coulpés, pour le deuxième cas, ...découplés.(tous est implicite dans le formalisme...).

[azizovsky]

càd, pour le premier cas :



et pour le deuxième cas:

(ah, la forme a changé ) .

[ordage]

par curiosité, je suppose que l'espace-temps n'est pas isotrope, pour la fonction d'onde, Dirac a décomposé le temps relativiste sous la forme:

pour avoir ses bi-spineurs et moi en:

Salut

L'espace-temps de la relativité restreinte est homogène et isotrope: Représenté par une variété à 4 dimensions de symétrie maximale - groupe de Poincaré de10 éléments- dont la courbure de Riemann est la même en tout point, nulle en l’occurrence pour ce cas. Pour info, il existe d'autres espace-temps à symétrie maximale (groupe de symétrie à 10 éléments)- une classe à courbure positive (espace-temps de De Sitter)- une autre à courbure négative (anti- De Sitter)
La mécanique quantique est invariante par toutes les transformations du groupe de Poincaré associé à la RR (Elle est physiquement définie dans l'espace-temps de la RR).
La fonction d'onde est définie dans un espace "opératoire" de Hilbert de nombre infini de dimensions.
Mais on s'écarte du cadre de ce fil. Il vaudrait mieux poursuivre sur une autre discussion

Cordialement

[azizovsky]

Merci, je sais tous ça, tous ce que je voulais dire, c'est que la représentation (formalisme) de l'espace-temps n'est pas complet en commençons par les TLs. .(groupe....)