A propos de dépendances entre variables dans des équations trigonométriques

[bendesarts]

Bonjour,

A la suite de calculs de fermeture géométrique, j'obtiens le système d'équations trigonométriques suivant :



Ma question est la suivante : peux-t-on dire que ce système d'équations est équivalent au système d'équation suivant :



La réponse est, je crois, normalement non car les paramètres alpha(t) et beta(t) sont en fait liés.

En effet, de la dernière équation du système d'équations , on peut tirer que

Ensuite, avec les deux premières équations du système d'équations, est connu par son cos et son sin et il est donc entièrement connu.

En d'autres termes, si l'on choisit, alors

Donc, je précise la question du dessus, pourriez vous m'aider à mieux comprendre pourquoi les deux systèmes mentionnées (celui avec les 3 équations) et celui avec la relation des tangentes ne sont pas équivalents?

Ce qui me gène, c'est qu'il me semble que peu importe le choix que je fais de ma valeur de , j'ai la relation avec les tangentes car cos beta0 = 1 ou -1 mais les signes se compensent. Il y a donc quelque chose qu'il m'échappe.

Dans ce système, les variables en alpha et beta sont découplés d'où mon soucis car j'ai perdu la dépendance entre les variables en alpha et en beta

Merci d'avance pour vos retours
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[gg0]

Bonsoir.

peux-t-on dire que ce système d'équations est équivalent au système d'équation suivant ...

A priori, non, mais sous certaines conditions, le deuxième système en est une conséquence, donc les solutions du premier sont des solutions du deuxième.

Les conditions sont bien sûr que les cos ne soient pas nuls :

Pour pouvoir diviser et simplifier.

De façon très générale, de


On déduit immédiatement (signification de =) :

mais tu sais depuis longtemps que l'égalité de deux fractions ne dit pas que les numérateurs sont égaux. Donc pas d'équivalence.

Ne perds pas trop de temps là dessus, puisque tu sais résoudre (en partie, ta preuve pose problème lorsque les cos sont nuls - mais tu as peut-être des infos sur les valeurs et propriétés de tes fonctions).

Cordialement.

[Resartus]

Vous avez déjà presque répondu à votre question :
Avec la relation sur les sinus, on peut avoir deux familles de betai, ceux qui sont égaux à beta0 et ceux qui valent pi-beta0.
Dans le premier cas, avec les deux équations, la famille des beta0 va donner des alpha égaux à alpha0, et la famille de pi-beta0 va donner des alpha égaux à pi+alpha0
Par contre, en ne connaissant que tan (second système) et sous réserve que tan existe, les alphai peuvent valoir soit alpha0 soit pi+alpha0, indépendemment de la valeur des beta. Il y aura 4 familles de solutions

[bendesarts]

Super tu m'aides à clarifier mon propos et ma question

Avec la relation sur les sinus, on peut avoir deux familles de betai, ceux qui sont égaux à beta0 et ceux qui valent pi-beta0.
Dans le premier cas, avec les deux équations, la famille des beta0 va donner des alpha égaux à alpha0, et la famille de pi-beta0 va donner des alpha égaux à pi+alpha0

--> complètement d'accord

Par contre, en ne connaissant que tan (second système) et sous réserve que tan existe, les alphai peuvent valoir soit alpha0 soit pi+alpha0, indépendemment de la valeur des beta. Il y aura 4 familles de solutions

--> complètement d'accord

Donc, ma question est alors la suivante, si je veux écrire le deuxième système celui avec la tangente, quelle équation supplémentaire est-ce que je dois écrire pour qu'il reste équivalent au premier système d'équations (celui qui me donne 2 familles de solutions)? En d'autres termes, comment est-ce que je peux écrire le deuxième système d'équations celui avec les tan tout en préservant uniquement 2 familles de solutions ?

Je n'arrive toujours pas à voir, mis à part, le fait que les cos ne doivent pas être nuls, où j'ai perdu une information (équation) lors de la création du deuxième système.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour que deux fractions égales aient mêmes numérateurs et mêmes dénominateurs, il faut au moins l'égalité des numérateurs, ou l'égalité des dénominateurs. Donc au moins conserver une des deux premières équations.

Attention toujours aux nuls, et rappel :
ne donne pas mais , le pouvant être nécessaire même si on prend a et b entre 0 et .

Cordialement.

[Resartus]

Il y a bien une solution pour avoir une seule équation en alpha : passer à l'angle moitié.
On peut écrire par exemple :
tan(alphai/2).cos(betai)=tan(alpha0/2).cos(beta0)

Mais cela va rajouter des cas particuliers (ici le cas beta0=90°)