question de rubans

[minushabens]

Je parlais l'autre jour avec un chimiste du ruban de Möbius, et de la façon d'en fabriquer un modèle à partir d'un rectangle de papier.

Il m'a fait remarquer qu'il y avait donc deux rubans de Möbius, selon qu'on faisait subir un demi-tour à gauche ou à droite à la bande de papier (les chimistes aiment bien les questions de chiralité comme ils disent). Or je sais bien qu'il n'y en a qu'un. Et d'ailleurs dans la formalisation de cette construction, on part du carré [0,1]x[0,1] qu'on triangule et dont on identifie deux côtés opposés en respectant les orientations, et il n'est pas question de droite ou de gauche.

Je lui ai répondu qu'il s'agissait de deux plongements du même objet topologique. Cette réponse a eu le mérite de lui clouer le bec, mais en fait elle est erronée. D'abord, des plongements il y en a beaucoup: il suffit de déplacer un peu le ruban et on a un autre plongement. Ensuite je me suis rendu compte qu'on pouvait aussi faire subir au ruban un tour et demi, deux tours et demi, moins un tour et demi, etc. Bref il y a selon cette conception autant de rubans de Möbius que de nombres dans Z (enfin je me comprends).

Ma question est: quel est la structure qui permet de distinguer tous ces rubans, mais qui ne fasse pas de distinction entre deux rubans dont l'un est une petite déformation de l'autre (comme si on déformait la bande de papier)?
Je vois bien que l'homotopie ne convient pas puisqu'elle est moins discriminante que l'homéomorphie (ça se dit?). Est-ce qu'il suffit de quotienter par les déformations sans auto-intersection?
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[Dlzlogic]

Bonjour,
Voici mon avis : un ruban de Möbius n'existe pas. On peut fabriquer un tel ruban avec de la colle, il aura l'aspect d'un ruban de Möbius, mais ce ne sera qu'on montage.
Imaginons qu'on veuille en fabriquer un par tissage. On va prendre un très long fil et on va le tisser pour faire un tel ruban. Le fil est très fin, on ne verra dons pas ses deux extrémités, mais elles existent tout de même.
Dans cet esprit, j'ai calculé un heptagone régulier. C'est une figure constituée de 7 triangles rectangles isocèles liés par leurs petits côtés. On peut la fabriquer avec du carton et pour fermer la figure, on doit utiliser du papier collant. A noter qu'il y a 2 cas possibles, un "rentrant", pas très intéressant, et un suivant le modèle du ruban de Möbius. S'il est bien fabriqué il est déformable.
Le calcul de la position de ses sommets est un problème intéressant.

[leon1789]

Bonjour

*** Procès d'intention ***
D'ailleurs, j'invite qui veut bien à créer concrètement un ruban de Möbius avec une imprimante 3D (http://www.europesolidaire.eu/articl...rticle_id=1474).


Minushabens,
tu voudrais une "fonction" qui donne le nombre de demi-tours d'un ruban, par exemple ?

[Tryss2]

Voici mon avis : un ruban de Möbius n'existe pas.

Vu qu'un ruban de Möbius a une épaisseur nulle, il est évident que ça ne peut pas être un objet physique. De même que tout les objets géométriques sans exceptions. C'est donc, à mon humble avis, une remarque sans intérêt.


Pour minushabens, voici une idée :

On paramètre le bord du ruban avec un parametrage à vitesse constante, de telle sorte que M(t) = M(t+2) (il faut un temps T=2 pour faire le tour du ruban)

On considère les points A(t) = M(t), B(t) = M(t+1), et phi(t) l'angle que fait AB avec l'horizontale (construite de telle sorte que phi soit continue ).

Alors phi(1)-phi(0) = 2k pi + pi et caractérise le nombre de tours du ruban

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

Minushabens,
tu voudrais une "fonction" qui donne le nombre de demi-tours d'un ruban, par exemple ?

non ce n'est pas ça. Je me demande quel est le "niveau de description" (je ne trouve pas le terme approprié) qui distingue les rubans de Möbius ayant des nombres de tours différents.

- à homéomorphisme près il n'y a qu'un ruban de Möbius

- à (?) près il y a autant de rubans de möbius que de nombres de tours (positifs ou négatifs).

je cherche le nom de ce "niveau de description".

[CM63]

Bonjour,

- à (?) près il y a autant de rubans de möbius que de nombres de tours (positifs ou négatifs).

Ou plutôt : de nombre de demi-tours, selon qu'il soit pair où impair. (si on fait un demi-tour, on a un ruban de Mobius, si on fait un tour, non).

[minushabens]

Oui, mais remarque que pour les nombres pairs de demi-tours on a aussi des rubans non équivalents à mon sens.

La situation est comparable à celle des noeuds: un noeud est homéomorphe à un simple cercle mais divers noeuds ne peuvent être déformés les uns dans les autres. Il me semble que dans le cas des noeuds on regarde l'homotopie du complémentaire du noeud, et je pense que ça ne marche pas pour les rubans (?)

[Resartus]

Il existe pour les surfaces en 3D la notion de torsion (en gros : la dérivée du vecteur perpendiculaire au déplacement).
Son intégrale sur la boucle va donner le nombre de tours et il me semble que c'est un invariant*

*mais comme c'est une notion métrique, pas sûr que cela marche pour toutes les déformations possibles. Je n'ai pas réussi à trouver de référence sur internet. Il faudrait trouver de vieux livres...

[minushabens]

Merci. Ca m'a l'air d'être la bonne approche. Elle relève plutôt de la géométrie différentielle alors que je pensais qu'il y avait peut-être une notion plus proche de la topologie (comme pour les noeuds).

[azizovsky]

je dirais (loin du domaine )à un difféomorphisme près (convexe ou inverse...), c'est le domaine des chirurgies, collages,....

[invite02232301]

Bonjour,
Tu peux regarder la notion d'isotopie de plongements.

[minushabens]

Je vais regarder, merci. Je reviendrai poser des questions sans-doute...