Analyse numérique

[jules345]

Bonjour, je viens vers vous car j'aimerai comprendre quelque chose, voila lorsqu'on a une EDO du style y' = y et y(0) = 1 on peut la résoudre numériquement en écrivant grace à euler explicite par exemple que y'(x(i)) = (y(x(i+1))-y(x(i)))/(x(i+1)-x(i)) et du coup écrire l'équation comme ceci y(x(i+1)) = y(x(i))*(x(i+1)-x(i))+y(x(i)) et du coup on voit bien comment résoudre cela avec un ordinateur on fait une boucle for pour résumer. Ma question porte sur les EDP lorsqu'on a plusieurs variables comment fait on pour faire les itérations ? j'imagine qu'on fait une double boucle for mais c'est encore flou pour moi...connaissez-vous des ouvrages expliquant ceci ? ou bien alors pourriez-vous m'expliquez la méthode ?

Merci à vous
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[God's Breath]

Ce que tu envisages porte le joli nom de "méthode des éléments finis".

Il te suffit de faire une recherche sur la toile pour trouver des tas de site qui expliquent comment cela fonctionne avec une bonne bibliographie en annexe.

[jules345]

Merci de votre réponse,

je connais la méthode des éléments finis mais elle diffère de ce que je cherche car dans la méthode des éléments finis en gros ça revient à inverser un système linéaire du type AX =B. En fait ce qui m'intéresse c'est les différences finies pour les edp mais je ne vois pas comment faire l'itération ?

Merci encore

[obi76]

Bonjour,

En fait c'est la méthode d'avancée en temps qui vous dérange : comment faire une méthode d'Euler lorsqu'on a plusieurs variables. Pour l'itération à plusieurs variables, vous stoquez l'évolution temporelle (en d/dt) de chaque variable, vous les calculez pour chaque variable, et ensuite vous faites l'avancée en temps pour tout le monde d'un coup. Ce que je viens de vous dire est une méthode dite explicite (Euler, Runge-Kutta, prédicteur correcteur, etc).

Vous pouvez aussi faire un avancement en temps par une méthode dite "implicite", ce qui revient à inverser une matrice à chaque pas de temps. Vous n'avez plus le soucis de stabilité (dite condition CFL) que vous avez avec les méthodes explicites, mais vous avez d'autres soucis (une matrice à inverser, c'est pas si simple, surtout quand on a des vecteurs propres proches).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

En anglais, un petit truc (wikipedia) :

https://en.wikipedia.org/wiki/Finite..._heat_equation

[jules345]

Merci je comprends mieux,

parce qu'en fait je me suis déjà amusez à programmer des méthodes de résolution numériques en C++ via Euler implicite, explicite et centré. Et là je me suis donné pour objectif de résoudre l'équation de la chaleur en coordonnées cylindrique en considérant que ma solution est invariante par rotation autour de l'axe (Oz) mon EDP est donc la suivante :



je n'ai pas encore réfléchit aux conditions initiales et aux conditions de bords enfin je vais prendre des conditions aux bords de type Dirichlet déjà après je verrai quand aux valeurs numériques.

Mais ce que j'aimerai savoir c'est quel méthode vous parait optimale pour résoudre cette EDP ? (quand je dis optimale je sous-entends avoir une bonne approximation et que ce soit assez facile pour la programmez, j'ai par le passé résolu l'équation de Poisson stationnaire avec une méthode de Galerkin Discontinue en 1D en C++ et c'est assez difficile car il faut créer pas mal de fonctions pour pouvoir calculer des intégrales, des dérivées et il faut que C++ comprenne tout ça c'est pourquoi j'aimerai savoir ce que vous en pensez ?)

[God's Breath]

Voir cette page

[azizovsky]

considérant que ma solution est invariante par rotation autour de l'axe (Oz)

ton équation se simplifie en :

[jules345]

Merci,

j'aurais une dernière question: comment fait-on une discrétisation en coordonnées cylindrique ? ça marche comme en coordonnées cartésiennes ou faut-il ajouter des termes en plus ?

Merci encore

[azizovsky]

il y'a la réponse dans la formule (13) mais il faut savoir le pourquoi des choses .(le pain sur la planche )

http://perso.crans.org/marmin/M2/rapport_mn.pdf

[jules345]

En fait c'est pour les coordonnées sphériques mais moi je voudrais pour les coordonnées cylindriques

[azizovsky]

en coordonnées sphériques:

en coordonnées cylindriques:

[jules345]

D'accord et enfin l'ultime question pour discrétiser l'équation dont je vous parle c'est à dire :



J'ai écris ceci :





Et pour le terme du milieu j'ai écris que

Donc on peut écrire les discrétisations suivantes :

Ainsi que :

Je précise que dans tous les cas je prendrai un pas uniforme, i représente r, j représente z et n le temps. Qu'en pensez-vous ?

Merci