Le mystère des nombres irrationnels

[Ame_curieuse]

Bonjour à tous.

Les nombres irrationnels sont définis comme suit :

En latin, « ratio » signifie compter. Etymologiquement, un nombre irrationnel est un nombre que l’on ne peut pas compter. On dirait plutôt aujourd’hui, que l’on ne peut pas écrire car le nombre de décimales qui le constitue est infini mais de surcroît ces décimales se suivent sans suite logique.
(http://www.maths-et-tiques.fr/index....s-irrationnels)

La racine carrée de 2 semble le premier nombre irrationnel découvert, en essayant de mesurer la diagonale d'un carré de coté 1 ! Une forme si parfaite, avec des cotés de longueur aussi simple (1)... pour aboutir à une diagonale dont la longueur "ne peut être comptée" !

Cela a bouleversé les mathématiciens qui ont eu à faire ces découvertes. On peut lire à ce sujet :

L'irrationalité éveillait des dangers pour Pythagore, car elle sapait la base de son univers. Pour ajouter l'insulte à la blessure, les Pythagoriciens découvrirent bientôt que le nombre d'or, l'ultime symbole de la beauté et de la rationalité, était un nombre irrationnel. Pour empêcher ces horribles nombres de miner la doctrine, ils furent tenus secrets. Tous les membres de la communauté pythagoricienne avaient déjà l'habitude de tenir leur langue - personne n'avait même le droit de prendre des notes - et l'incommensurabilité de la racine carrée de deux devint le secret le mieux gardé, le mieux enfoui, des Pythagoriciens.
(http://bouddhanar.blogspot.com/2012/...goriciens.html)

On peut aussi lire :

Selon l’historien Diogene Laërce (IIIe siècle), ce sont les pythagoriciens qui, cinq siècles avant J.C., ont découvert l’impossibilité de trouver une solution fractionnaire. Une valeur approchée de la solution ne convenant pas dans la formule de Pythagore, l’usage de la géométrie en arithmétique voit ses limites.
Cette découverte doit rester secrète pour ne pas rompre le fondement même de la Fraternité : "Tout est nombre". "Nombre" au sens d'un entier ou d'une fraction.
Jusqu'à ce qu'un des membres de la Fraternité, Hippase de Métaponte, trahisse le secret.
L’historien et philosophe, Proclus (Ve siècle), déclara à ce sujet :
« On dit que les gens qui ont divulgué les nombres irrationnels ont péri dans un naufrage jusqu’au dernier, car l’inexprimable, l’informe, doit être absolument tenu secret ; ceux qui l’ont divulgué et ont touché à cette image de la vie ont instantanément péri et doivent rester éternellement ballottés par les vagues. »
(http://www.maths-et-tiques.fr/index....s-irrationnels)

Qu'en est-il aujourd'hui?

A-t-on fait la paix avec les nombres irrationnels ? A-t-on une explication au fait que des formes aussi simples (telle un carré) ont un coté ou une diagonale impossible à mesurer avec précision?

A-t-on percé ce mystère?

Merci d'avance
-----

[Tryss2]

A-t-on fait la paix avec les nombres irrationnels ?

Oui, vu que presque tout les nombres sont irrationnels (et même transcendants)

Les mathématiciens ont fait la paix avec à peu près tout. Voila ce qu'en dit un des grands mathématiciens du XXème siècle : "En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue " Von Neumann

[Ame_curieuse]

Cela veut dire qu'on ne comprend toujours pas, on n'a toujours pas d'explication.

Mais on l'accepte... parce que c'est comme ça.

Merci

[Tryss2]

Je pense qu'il faut d'abord se demander : qu'est ce que c'est que comprendre?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ame_curieuse]

Je dirais que c'est "trouver du sens" à une découverte.

Pour les nombres irrationnels, cela n'a pas été le cas... Si bien que l'on a exécuté les membres qui ont divulgué ce "non-sens mathématique"

[Tryss2]

Oui, mais trouver du sens, c'est quoi? Si c'est arriver à en faire une interprétation qui nous paraisse naturelle, alors s'habituer à un concept lui donne du sens...

[gg0]

eSi bien que l'on a exécuté les membres qui ont divulgué ce "non-sens mathématique" " ??? Anecdote peu solide, raconté par des gens qui n'y étaient pas ...

Il ne faut pas croire tout ce que l'on raconte sur les nombres, et prendre, pour l'histoire des sciences grecques, des auteurs sérieux. Sinon, on fait de l'histoire magique et de la numérologie.

Il n'y a rien de particuliers pour un nombre à être irrationnel, seuls ceux qui prennent bêtement le nom au sens commun (non mathématique) y trouvent du mystère.

On est ici sur un forum de maths.

[GrisBleu]

Pour les nombres irrationnels, cela n'a pas été le cas...

Salut
La question est en quoi les irrationnels (cad qui ne sont pas un ratio d'entiers) ne te semblent pas "naturel" ? Le fait qu'ils apparaissent dans des formes simples indiquent bien qu'ils sont nécessaires à leur description
Cdlt

[stefjm]

Il n'y a plus grand mystères, des nombres irrationnels sortent régulièrement en physique
et en électricité sont tout à fait courant.
Le nombre d'or est le plus irrationnel (selon un certain sens) car sa fraction continue est [1,1,1,1,1,...]. Les réduites sont obtenues à partir de la suite de Fibonacci.
Celle de est [1,2,2,2,2,...] et celle de est [1,1,2,1,2,1,2....]
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?m...er/contfrac.en

Celle de e est aussi bien connues.
Par contre, pour celle de pi, Mystère!...

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) en électricité sont tout à fait courant.

Ce qui est un peu normal, non ?!!

[Dynamix]

Si bien que l'on a exécuté les membres qui ont divulgué ce "non-sens mathématique"

Sans doutes une légende .
Mais les nombres irrationnels n' étaient pas admis par exemple par les romains .
Ils considéraient que les grands architectes , qui ne construisent que des choses parfaites , ne pouvaient s' être servis que de nombres rationnels .
Voila pourquoi le calendrier julien comportait 365 J + 1/4 , alors que les romains avaient les moyens de savoir que c' était faux .

[Tryss2]

Tu m'expliques comment tu fais un calendrier qui a un nombre non rationnel de jours par années? Je suis curieux

[gg0]

Heu ... les romains, pour les théories scientifiques ??? Ils utilisaient des intellectuels grecs (souvent des esclaves éduqués) et se consacraient à des activités plus nobles, la politique et la guerre.
Ce qui n'interdisait pas des travaux architecturaux grandioses. Mais les constructeurs des cathédrales gothiques non plus ne connaissaient pas les irrationnels.

Cordialement.

[Médiat]

A-t-on une explication au fait que des formes aussi simples (telle un carré) ont un coté ou une diagonale impossible à mesurer avec précision?

A-t-on percé ce mystère?

Si jamais il y avait là un mystère, il n'aurait rien à voir avec les mathématiques (quand on parle de "mesurer", quelques (et vraiment pas beaucoup du point de vue du mathématicien) nombres entiers positifs suffisent).

[gg0]

A noter : En industrie, on mesure les diagonales avec autant de précision que les côtés.

C'est toujours un défaut de vouloir transformer les notions théoriques des mathématiques en choses concrètes : On passe à côté de la simplicité formelle et on raconte des histoires, avec autant de rapport avec les maths que les contes de fées.

[Ame_curieuse]

Merci à tous ceux qui ont répondu (même à celui qui, d'une certaine manière, trouve que la question fait appel à la magie et à la numérologie pour je ne sais quelle raison)

J'aimerais juste préciser néanmoins que mes attentes derrière cette question sont d'un ordre strictement scientifique ! Et ne sont motivée que par ma curiosité, scientifique elle aussi.

Je m'explique davantage :

Citer "la légende" qui dit que les pythagoriciens ont exécuté les membres de la fraternité qui a divulgué l'existence des nombres irrationnels, au fond, n'a qu'un seul intérêt : c'est de simplement attirer l'attention sur le fait que la découverte de ces nombres a du être une "mauvaise surprise" pour les mathématiciens de cette époque. Ils ont du voir dans ces nombres quelque chose de... d'inattendu, d'incompréhensible, de dérangeant ! Et je les comprends ! (tant pis si cela me donne l'air de réfléchir comme les Hommes d'il y a plus de 20 siècles )

Pourquoi ?

Prenons l'exemple d'un carré parfait : je place les points de ce carré en me servant d'une règle graduée. Si le coté fait 1m, je positionnerais le premier point sur la graduation "0.0000", le second sur la graduation 1.000 : très simple, très précis. Pareil pour le coté vertical. Maintenant si je dois poser (au crayon) les points qui délimitent la diagonale, si le premier est aisément posé sur la graduation "0.0000...", je ne saurais où poser le second point avec extrême précision ! Imaginons que le diamètre de mon crayon est infiniment petit (et que les graduations de ma règle vont à l'infini elles aussi : dans le sens où entre toutes les deux graduations, il existe 10 "sous-graduations" et ainsi de suite). J'aurais tendance à poser le second point de la diagonale sur 1, mais je vois que c'est plus de 1.000, plutôt 1.4 ; mais c'est un peu plus de 1.4, et moins de 1.5... je rectifie donc le tir, et je suis tentée de le poser sur 1.41, mais c'est un peu plus que 1.41000, et moins de 1.42, je tâche alors d'être plus précise, je mets le point sur 1.414... Mais je ne peux pas si je veux être précise, ce n'est pas sur 1.414000, mais un peu plus, alors 1.4142... Mais pas tout à fait... Etc !

Et ainsi de suite ! Et ça n'en finit pas. Je ne saurais poser ce point avec précision extrême... Même si cela a été possible avec les cotés.

Où poser ce point ?

Pourtant, il est là ! Il est à l'intersection de deux cotés perpendiculaires. SI je commence par les cotés, il sera posé là il devrait. Mais le poser avant les cotés est impossible si je veux être "infiniment précise".

Autre chose : on voit bien que la diagonale a un rapport direct avec le coté (proportionnelle) ! Mais mathématiquement, la diagonale n'est pas le rapport du coté sur un autre entier, ni le rapport d'aucun entier sur un autre. Tout comme pi par rapport au diamètre ! On aurait tendance à s'attendre au contraire, mais non : il n'y a pas de rapport (dans le sens ratio)

Après, oui, certes les irrationnels existent et sont probablement bien plus nombreux que les rationnels... sans doute. Mais ce sont ces aspects là (sus-cités) qui ont du déranger mes ancêtres, et moi par la même.

[minushabens]

attirer l'attention sur le fait que la découverte de ces nombres a du être une "mauvaise surprise" pour les mathématiciens de cette époque. Ils ont du voir dans ces nombres quelque chose de... d'inattendu, d'incompréhensible, de dérangeant !

ça on n'en sait rien. Peut-être que ça a été une mauvaise surprise mais peut-être qu'au contraire ils se sont passionnés pour ces nouveaux nombres. Aujourd'hui c'est comme ça que réagissent les scientifiques quand un nouveau domaine s'ouvre à eux, et rien ne permet de penser que ça n'était pas le cas des mathématiciens grecs.

[Médiat]

Bonjour,

Vous ne pouvez pas plus placer votre premier point (à 1.0000) avec une absolue précision que les suivants !

D'après vous depuis combien de temps le 0 (rationnel bien connu) est-il connu et depuis combien de temps 1 (rationnel bien connu) est-il considéré comme un nombre ?

[gg0]

la découverte des irrationnels a été une mauvaise surprise non pas pour les mathématiciens, mais pour les pythagoriciens, qui avaient une religion basée sur 'tout est nombre (entier)'. Ils étaient justement non scientifiques, non mathématiciens, puisqu'ils avaient décidé à priori comment doit être la réalité.

Là où les incommensurables (pas les irrationnels) ont posé des soucis aux mathématiciens grecs, c'est qu'ils avaient à voir avec l'infini actuel (réalisé), pas seulement avec l'infini potentiel (Après tout, ils savaient bien qu'un intervalle peut se couper en deux autant de fois qu'on veut). Et il n'avaient aucun problème avec la diagonale d'un carré (Platon l'utilise d'ailleurs pour construire un carré d'aire double). Pour voir comment ils ont évité l'infini réalisé, lire les éléments d'Euclide.

Maintenant, une unité de longueur ayant été choisie, tracer un segment de longueur racine(2) irrationnelle ne pose aucun problème, on sait faire depuis 2500 ans : On trace un carré de côté 1 et on prend la diagonale. On peut aussi utiliser une méthode moderne, avec la valeur approchée 1.4142135623730950488016887242 096980785696718753769 qui permettra toute précision de tracé voulue. Et il me paraît tout aussi difficile de tracer un segment de longueur 58754874521254/254789519 Pourtant 58754874521254/254789519 est un rationnel.

D'ailleurs, dans un tracé réel, on n'emploie en fait que des entiers simples. L'épaisseur du trait est toujours trop grosse.

Cordialement.

Quel dommage que ce fil ait un titre à la "Ici Paris".

[Schrodies-cat]

Si jamais il y avait là un mystère, il n'aurait rien à voir avec les mathématiques (quand on parle de "mesurer", quelques (et vraiment pas beaucoup du point de vue du mathématicien) nombres entiers positifs suffisent).

Oui bon, dans l'absolu, un carré au sens mathématique du terme n'existe pas dans la nature.
Les premières notions mathématiques ont été créées à mon avis dans un processus d'idéalisation de concepts tout à fait concret.
On peu considérer que cela avait été commencé avant les grecs, ceux-ci ayant inventé la notion de démonstration et donc les mathématiques en un sens proche du sens actuel.
Ceci a conduit à des paradoxes : dans la géométrie d'Euclide, on peut ne pas considérer les longueurs comme des nombres, mais en tous cas les rapports de longueurs sont des nombres, et les grecs ont été surpris de constater après démonstration que le rapport entre le coté et la diagonale du carré ne pouvait être un rationnel et n'ont pu trouver de réponse vraiment satisfaisantes.
D'autres difficultés sont apparues par la suite: la duplication du cube, la trisection de l'angle, la quadrature du cercle .
Ceci est maintenant résolu, mais il reste bien entendu d'autres questions, dans d'autres domaines .

[stefjm]

Prenons l'exemple d'un carré parfait : je place les points de ce carré en me servant d'une règle graduée. Si le coté fait 1m, je positionnerais le premier point sur la graduation "0.0000", le second sur la graduation 1.000 : très simple, très précis. Pareil pour le coté vertical. Maintenant si je dois poser (au crayon) les points qui délimitent la diagonale, si le premier est aisément posé sur la graduation "0.0000...", je ne saurais où poser le second point avec extrême précision ! Imaginons que le diamètre de mon crayon est infiniment petit (et que les graduations de ma règle vont à l'infini elles aussi : dans le sens où entre toutes les deux graduations, il existe 10 "sous-graduations" et ainsi de suite). J'aurais tendance à poser le second point de la diagonale sur 1, mais je vois que c'est plus de 1.000, plutôt 1.4 ; mais c'est un peu plus de 1.4, et moins de 1.5... je rectifie donc le tir, et je suis tentée de le poser sur 1.41, mais c'est un peu plus que 1.41000, et moins de 1.42, je tâche alors d'être plus précise, je mets le point sur 1.414... Mais je ne peux pas si je veux être précise, ce n'est pas sur 1.414000, mais un peu plus, alors 1.4142... Mais pas tout à fait... Etc !

Et ainsi de suite ! Et ça n'en finit pas. Je ne saurais poser ce point avec précision extrême... Même si cela a été possible avec les cotés.

Où poser ce point ?

En vous lisant, je dirais que vous faites de la physique (mesure d'un point dans l'espace concret) en utilisant une technique mathématique (dichotomie).
Et comme dans ce cas, le modèle n'est pas adéquat, vous réfutez le modèles.

ça on n'en sait rien. Peut-être que ça a été une mauvaise surprise mais peut-être qu'au contraire ils se sont passionnés pour ces nouveaux nombres. Aujourd'hui c'est comme ça que réagissent les scientifiques quand un nouveau domaine s'ouvre à eux, et rien ne permet de penser que ça n'était pas le cas des mathématiciens grecs.

Est-on sûr qu'ils n'étaient que mathématiciens et pas du tout un peu physiciens?

la découverte des irrationnels a été une mauvaise surprise non pas pour les mathématiciens, mais pour les pythagoriciens, qui avaient une religion basée sur 'tout est nombre (entier)'. Ils étaient justement non scientifiques, non mathématiciens, puisqu'ils avaient décidé à priori comment doit être la réalité.

Je serais plus nuancé.
Je vois les pythagoriciens comme des physiciens, plus que comme mathématiciens.
Ils ont posé leur modèle "Tout est nombre entier" à partir des faits connus et ils l'ont réfuté avec un nouveau fait.
C'est exactement comme cela que fonctionne encore la physique moderne et personne n'a l'air de s'en plaindre.
On ne traite pas les physiciens de non scientifique pour autant.
Certains extrémistes considèrent que ce sont les mathématiciens qui ne sont pas scientifiques, puisque les mathématiques ne sont que de "simples vues de l'esprit".
Ne faut-il pas partir de quelque chose pour abstraire?

Cordialement.

[Schrodies-cat]

La solution habituellement proposée à ce paradoxe fait appel à la notions de nombres réels.
On peut aussi représenter par un algorithme (une méthode de calcul) permettant d'en donner une approximation arbitrairement proche.
La méthode des fractions continue en donne une:

Il n'y a plus grand mystères, des nombres irrationnels sortent régulièrement en physique
et en électricité sont tout à fait courant.
Le nombre d'or est le plus irrationnel (selon un certain sens) car sa fraction continue est [1,1,1,1,1,...]. Les réduites sont obtenues à partir de la suite de Fibonacci.
Celle de est [1,2,2,2,2,...] et celle de est [1,1,2,1,2,1,2....]
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?m...er/contfrac.en

Celle de e est aussi bien connues.
Par contre, pour celle de pi, Mystère!...

Une méthode de descente infinie utilisée par les anciens Grecs pour prouver l'irrationalité de était proche de cette notion de fraction continue (un nombre rationnel a un développement en fraction continue finie, ce qui n'est pas le cas de ).

[gg0]

Stefjm,

parler des pythagoriciens avec les catégories modernes de scientificité a peu de sens. Le peu qu'on sait d'eux (à priori, à partir des textes de ceux qui n'étaient pas pythagoriciens) semble bien confirmer qu'il s'agissait tout autant d'une secte religieuse numérologique que d'un groupe de savants. Le fait qu'ils n'ont pas laissé de texte (même repris en fragments par des successeurs) et qu'ils aient perduré bien au delà de la découverte des incommensurables laisse aussi plutôt songeur. D'autant que les compilateurs grec et gréco-romains adoraient citer des textes des anciens.
Quant à parler de "réfuter", c'est vraiment une vue très moderne. Il semblerait que les pythagoriciens n'auraient pas voulu accepter l'existence d'incommensurables, tout simplement (d'où l'anecdote du découvreur jeté à la mer).

Cordialement.

[Ame_curieuse]

ça on n'en sait rien. Peut-être que ça a été une mauvaise surprise mais peut-être qu'au contraire ils se sont passionnés pour ces nouveaux nombres(...)

Bonne ou mauvaise surprise, qu'ils se soient passionnés ou pas... peu importe. Le fait que je voulais souligner est que c'était "une surprise" ! Inattendue ! C'est qu'il y a dans ces nombres quelque chose qu'on a eu du mal à prévoir (et donc à saisir).

Bonjour,

Vous ne pouvez pas plus placer votre premier point (à 1.0000) avec une absolue précision que les suivants !

D'après vous depuis combien de temps le 0 (rationnel bien connu) est-il connu et depuis combien de temps 1 (rationnel bien connu) est-il considéré comme un nombre ?

Si quand même : si j'ai une pointe de crayon "infiniment fine", je la poserais sur la barre (1.00000000000000...0000). Mais cette même pointe de crayon, je la mettrais où pour définir racine carrée de deux? Personne ne saurait.

Pour les nombres 1 et 0, je ne sais pas. Cependant, j'ai lu quelque part (et je ne sais pas ce que ça vaut) que 1 était l'abstraction faite d'un soldat debout (I). Un soldat couché (ou mort), c'est un soldat en moins, d'où le signe moins (-) (et puis (-) a la forme d'un quelque chose couché

la découverte des irrationnels a été une mauvaise surprise non pas pour les mathématiciens, mais pour les pythagoriciens, qui avaient une religion basée sur 'tout est nombre (entier)'. Ils étaient justement non scientifiques(...)

Là où les incommensurables (pas les irrationnels) ont posé des soucis aux mathématiciens grecs, c'est qu'ils avaient à voir avec l'infini actuel (réalisé), pas seulement avec l'infini potentiel (Après tout, ils savaient bien qu'un intervalle peut se couper en deux autant de fois qu'on veut) (...)

(...)

Quel dommage que ce fil ait un titre à la "Ici Paris".

On passe de "la magie et des des contes de fée" à "ici Paris", un léger mieux quand même ! Ce n'est pas grave, ignorez le premier mot du titre et parlons de nombres irrationnels, parce qu'on les appelle "nombres irrationnels", en français, en anglais (irrational numbers), c'est comme ça que tout le monde les appelle en fait (même si les incommensurables pourrait être une appellation plus pertinente). Je ne sais pas, mais peut être que ceux qui les ont découverts y ont trouvé quelque chose d'irrationnel dedans (au sens littéraire et non métaphysique du terme) : dans le sens où ils échappaient à une approche dichotomique des nombres.

Mais avec vous, j'ai l'impression que rien ne vous surprend, rien ne vous fait réagir ! Tout est si banal ! Les nombres semblent être ce qu'il y a de plus banal, vous les acceptez sans la moindre réaction.... Ne suscitent-ils donc rien en vous ? Pi, le nombre d'euler, le nombre i,... pour vous, des nombres comme d'autres, aucune particularité, aucune beauté. C'est si froid ! Je suis tout l'opposé : chacun de ces nombres a ce quelque chose qui revient sur une partie de notre "réalité physique". Et c'est ça la beauté des mathématiques ! Comme dirait Galilée « L’Univers ne peut se comprendre si l’on n’a préalablement appris à en comprendre la langue… Ce livre est écrit dans la langue mathématique »

Maintenant j'aimerais rebondir sur ce que vous pensez être le souci des Grecs avec les incommensurables : l'infini actuel et potentiel ? J'aimerais bien comprendre ce point.

(...)et les grecs ont été surpris de constater après démonstration que le rapport entre le coté et la diagonale du carré ne pouvait être un rationnel et n'ont pu trouver de réponse vraiment satisfaisantes.

D'autres difficultés sont apparues par la suite: la duplication du cube, la trisection de l'angle, la quadrature du cercle .
Ceci est maintenant résolu, mais il reste bien entendu d'autres questions, dans d'autres domaines .

C'est exactement le sujet de ma question : et aujourd'hui, y a-t-il une réponse satisfaisante à cela ? Au fait que le rapport entre le coté et la diagonale (ou le diamètre et le périmètre) ne peut être rationnel?

Sinon... La quadrature du cercle a été résolue????

En vous lisant, je dirais que vous faites de la physique (mesure d'un point dans l'espace concret) en utilisant une technique mathématique (dichotomie).
Et comme dans ce cas, le modèle n'est pas adéquat, vous réfutez le modèles.

En fait, je fais médecine ! Et je suis passionnée de physique... Et de plus en plus subjuguée par les mathématiques que je retrouve PARTOUT ! Là, je redécouvre les maths que j'ai étudiées sous un nouveau jour, et plus j'en apprends des choses, plus je suis curieuse ! Maintenant cela étant dit, oui, mon problème avec les nombres irrationnels démarre de là, de cette "imprécision" justement, de ce que Shrodies-cat a écrit juste avant vous, et de ce que vous dites juste après, à savoir :

Je vois les pythagoriciens comme des physiciens, plus que comme mathématiciens.
Ils ont posé leur modèle "Tout est nombre entier" à partir des faits connus et ils l'ont réfuté avec un nouveau fait.
C'est exactement comme cela que fonctionne encore la physique moderne et personne n'a l'air de s'en plaindre.
On ne traite pas les physiciens de non scientifique pour autant.
Certains extrémistes considèrent que ce sont les mathématiciens qui ne sont pas scientifiques, puisque les mathématiques ne sont que de "simples vues de l'esprit".
Ne faut-il pas partir de quelque chose pour abstraire?

C'est tout à fait cela (de mon point de vue aussi). Sauf que je pense que pour les pythagoriciens, ils pensaient que "la nature est nombres" (pas forcément nombres entiers) : qu'ils soient entiers, ou une fraction de ces entiers... Mais après ils ont été frappés de plein fouet par les irrationnels, qu'ils n'ont pas su expliquer.

[Médiat]

Si quand même : si j'ai une pointe de crayon "infiniment fine", je la poserais sur la barre (1.00000000000000...0000). Mais cette même pointe de crayon, je la mettrais où pour définir racine carrée de deux? Personne ne saurait.

Déjà vous voulez faire de la physique "idéale" : c'est contrefactuel, il vous faut choisir, physique (et accepter les approximations) ou mathématique (et accepter les idéalisations), dans ce dernier cas, construire racine(2) est enfantin, vous pouvez, à ce sujet, lire le chapitre III.5 du document : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958180

0 : VII^ième siècle aux Indes (Brahmagupta)
1 : XVI-XVII^ième siècle pour son acceptation comme nombre (Simon Stevin)

Au 18^ième siècle, d'Alembert disait de racine(2) : ce n'est point un nombre proprement dit, c'est une quantité qui n'existe point, qu'il est impossible de trouver.

Et je voudrais ajouter qu'il n'y a aucune imprécision dans les irrationnels (même si, parmi eux, les algébrique sont plus faciles à définir que les transcendants)

[stefjm]

C'est tout à fait cela (de mon point de vue aussi). Sauf que je pense que pour les pythagoriciens, ils pensaient que "la nature est nombres" (pas forcément nombres entiers) : qu'ils soient entiers, ou une fraction de ces entiers... Mais après ils ont été frappés de plein fouet par les irrationnels, qu'ils n'ont pas su expliquer.

Aujourd'hui, on dirait : "la nature est modélisables à l'aide d'outils mathématiques".
On ne se gène pas pour le faire en utilisant des structures mathématiques de plus en plus élaborées.
Nombres réels, complexes, structure de groupe, d'anneaux, de corps, pour les nombres.
Vecteurs, tenseurs pour la géométrie.
etc...

[Ame_curieuse]

Merciiii beaucoup !!!! Ce recueil est un peu ce que je cherche merci beaucoup ! J'étais en train de lire, et j'avais trouvé à la page 34 justement cette phrase qui m'a fait sourire

On peut aussi noter que l’accueil des nombres r´eels, mˆeme parmi les math´ematiciens du XVIIIi`eme si`ecle
n’a pas ´et´e imm´ediat :
√
2 n’est point un nombre proprement dit, c’est une quantit´e qui n’existe point, qu’il est impossible de
trouver 20
.

je suis revenue pour la partager, et je vois que vous l'avez rajoutée ! C'est drôle ! Et ça me rassure de voir que même pour les matheux du 18 e siècle, les nombres irrationnels étaient quand même difficiles à cerner. Voilà, ce mathématicien a en quelque sorte exprimé ce que je ressens aujourd'hui, en 2016 (maintenant est-ce flatteur pour moi? Je n'en suis pas si sure )

[Ame_curieuse]

Aujourd'hui, on dirait : "la nature est modélisables à l'aide d'outils mathématiques".
On ne se gène pas pour le faire en utilisant des structures mathématiques de plus en plus élaborées.
Nombres réels, complexes, structure de groupe, d'anneaux, de corps, pour les nombres.
Vecteurs, tenseurs pour la géométrie.
etc...

Tout à fait !

[Médiat]

(maintenant est-ce flatteur pour moi? Je n'en suis pas si sure )

Ce dont je suis sûr, c'est que votre curiosité est flatteuse à votre endroit, surtout gardez-là.

[Ame_curieuse]

Ce dont je suis sûr, c'est que votre curiosité est flatteuse à votre endroit, surtout gardez-là.

Merci. J'avoue ne pas savoir être autrement .

Mais en fait je trouve la citation d'Alembert très profonde ! Le fait de dire " c'est une quantité qui n'existe point, qu'il est impossible de trouver.", c'est un peu comme "ne pas savoir où poser la pointe infiniment fine de son crayon (pour illustrer).