équation non-linéaire avec factorielle

[DavianThule95]

Bonjour,

Comment résoudre l'équation a*x! + b*x + c = 0, avec a, b, et c non-nul ?
Ici, le x! représente la fonction factorielle ou gamma.

Merci d'avance.
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[minushabens]

Je suppose que a,b,c sont des entiers. Tu peux écrire x(a(x-1)!+b) = -c et donc x divise c. Si c n'est pas trop grand il suffit de le factoriser et de tester tous ses diviseurs.

[DavianThule95]

bonjour,

Ici, je parle bien de fonction factorielle ou gamma, a, b, c, et x peuvent être des nombres décimaux.

[God's Breath]

Bonjour,

Les signes de a, b et c sont-ils connus ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[DavianThule95]

oui, +ax! + bx - c = 0
(enfin, a et b sont positifs réels, c est négatif réel)

[God's Breath]

Comme la fonction est concave, l'équation a au plus deux racines dans , et plus précisément dans .

Sauf cas très particulier, il est hors de question d'exprimer ces racines en utilisant les fonctions usuelles, mais on doit pouvoir écrire facilement un algorithme performant pour en obtenir des valeurs approchées.

[mike.p]

bonjour,

Ici, je parle bien de fonction factorielle ou gamma, a, b, c, et x peuvent être des nombres décimaux.

Bonjour,

comment calculez vous la factorielle d'un décimal ?

Sinon, la formule de Moivre ( ou sa variante l'approximation de Stirling ) peut aider à transformer l'équation pour des x entiers pas trop petits, en présumant que les petits et ceux trouvés grace à l'approximation sont discriminés par un crible numérique.

Dans la pratique, c apporte une si forte contrainte sur x avec a > 0 et b > 0 , que x devrait être facile à déterminer en plongeant dans des tables de factorielles. Mais ce n'est pas trivial car x pourrait être très gros et les outils adaptés n'ont pas été developpés, par exemple la fonction réciproque de la factorielle manque alors qu'elle n'est pas plus compliquée à calculer qu'une racine de puissance. Avec cette réciproque et a,b,c connus et a>0,b>0 , on pourrait encadrer x et cribler une très petite liste de x candidats ( environ 2 ? ).

Pour a, b et c tirés au hasard, on prend peu de risques en affirmant qu'il n'y a pas de solution.

[stefjm]

comment calculez vous la factorielle d'un décimal ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma

[mike.p]

Salut Stefjm

comme pour l'approximation de Stirling ... Mais je ne sais pas en tirer des outils pour une solution analytique ...

Selon le paragraphe Caractérisation du wiki en français, c'est "tant que x est positif" pour les réels. Je pense que ça prête à confusion.
Ca ne vaut que pour les entiers >=1. La règle construit gamma en partant de 1 et ne donne accès qu'aux gamma d'entiers. Autant alors dire "tant que supérieur à 1", plutôt que "positif". Il est remarquable que le minimum de gamma pour x>0 est x=1.5 ou 0.5 pour son équivalent factorielle au lieu de 1 pour factorielle.

Donc la question est comment résoudre exactement
a gamma(x+1) + bx = c

Disposant de la réciproque de gamma, comment construire analytiquement une suite commençant avec la racine gamma de c/a et convergeant vers x+1 ? après tout, c'est une définition valable d'un réel.

Il faudrait voir si la récurrence basée sur ce mécanisme converge et pour toutes les valeurs possibles de x :
on part de gamma(x+1) + bx/a = c/a. Nous savons que gamma croit très vite et que bx/a a de fortes chances d'être peanuts.

Avec r_gamma la réciproque de gamma , on fait une première évaluation de x par r_gamma(c/a)-1 + C , C pouvant être 0 ou un indice contextuel

on remplace x par la valeur de la suite précédente, puis on reporte la valeur dans la partie bx l'équation initiale

gamma(x+1) = c-b ( r_gamma(c/a)-1)/a
et x = r_gamma(c-b ( r_gamma(c/a)-1)/a)-1
et rebelote

Il doit être possible de montrer que ça converge pour la plupart des x > 0 et voir s'il n'y a pas d'exceptions ... Il y a surement mieux mais ça peut être une piste

[mike.p]

je me suis un peu emmêlé avec x et x+1 et la récurrence n'est pas posée mais l'idée reste valable, faute de mieux bien sûr