Dérivabilité des fonctions f telles que f(s+t)=f(s)f(t)

[shinishi]

Bonjour à tous,

je travaille depuis quelques jours sur un problème qui me résiste et j'aurai voulu savoir si quelqu'un n'avait pas une petite idée.
Voilà je vous explique.

J'écris un document sur les équations différentielles dans lequel il y a un chapitre sur la caractérisation fonctionnelle de l'exponentielle.
Pour cela, on considère les fonctions telles que

On arrive à montrer aisément que est soit la fonction nulle, soit qu'elle vérifie

Un autre propriété de ces fonctions est qu'elles vérifient une équation différentielle du premier ordre a coefficient constant.
Toutefois, la démonstration ne me pose aucun soucis hormis la dérivabilité en 0 de ces fonctions.
En effet, si est dérivable en 0, alors on sait qu'elle est dérivable sur tout :



Je me suis donc intéressé à démontrer ou réfuter la dérivabilité en 0 : j'ai pris plusieurs hypothèses de réflexion qui se sont avérées infructueuses
- f est-elle continue en 0 ? Si elle l'est alors elle l'est sur tout R, et les causes de non-dérivabilité sont la précsence de points anguleux
- si f n'est pas la fonction nulle, on peut peut-être montrer qu'il existe a dans R tel que pour tout t dans R, f(t) = e^(at)
je me suis intéressé à la norme infinie de la différence mais sans succès
- idem mais avec la norme 2 cela nécessite la mesurabilité de la fonction qui semble compliqué à démontrer
- j'ai tenté la définition de la continuité et de la dérivabilité de la limite mais sans succès

La question que je me suis posée alors est peut-être que l'on peut construire une telle fonction qui ne soit pas continue en 0 (elle ne serait pas dérivable en 0).

Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre lecture.

shinishi
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[Seirios]

Bonsoir,

En fait, les fonctions exponentielles ne sont pas les seules solutions de cette équation fonctionnelle. Voir par exemple https://en.wikipedia.org/wiki/Additive_function.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

petite erreur de Serios, tu as juste mal lu l'égalité de la fonction recherchée. Celle-ci n'est pas additive mais respecte la "transformation" somme/multiplication de l'exponentielle.

Sinon, tu peux déjà justifier que . Ensuite . On a envie d'écrire à la place du second facteur... (petite étourderie dans ta réponse, est devenu ).

Cependant, je ne suis pas certain que la continuité et dérivabilité soit intrinsèque au fait que la fonction vérifie cette équation.

[Seirios]

En fait, j'avais bien lu l'égalité, mais pas mon lien Celui-ci sera plus adapté : http://math.mit.edu/~stevenj/exponential.pdf.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Les deux problèmes se ramènent au même, en passant par la transformation intermédiaire de l'exponentiation qui est bijective entre R et R+...
Et il existe des infinités de fonctions additives non continues. Il suffit de penser à R comme un espace vectoriel sur Q. Toutes les transformations linéaires répondent à la question (Mais exhiber une base est une autre histoire!)
Par contre, il n'existe bien comme fonctions additives continues que les multiplications par une constante, ce qui transformé en produit donnent bien une exponentielle à base quelconque

[shinishi]

Bonsoir tout le monde,

merci pour vos réponses.

J'ai trouvé ce que je voulais avec le document de Seirios qui donne la construction de fonctions discontinues vérifiant la propriété.

shinishi