Problème sur des variables aléatoires

[kasmurdanto]

Bonjour, dans un exercice de proba que j'essaie de résoudre , j'arrive à une conclusion fausse sans bien comprendre où se situe mon erreur , et je viens donc vous demander de l'aide. Voici le problème :

Un archer tire sur une cible avec une probabilité p de toucher la cible à chacun de ses tirs . Il effectue une série de tirs consécutifs , et on note pour tout i supérieur ou égal à 1, la variable aléatoire qui correspond au nombre de tirs nécessaire pour toucher i fois la cible . on me demande d'abord de calculer la probabilité de l’événement
avec M supérieur ou égal à 1 et k supérieur ou égal à M . La je pense avoir juste je vous expose quand même mon raisonnement parce qu'il compte pour la suite, désolé d'avance pour le manque de formalisation, c'est pas mon fort les probas :

l'expérience consiste en une série indépendante les unes des autres de k expériences de Bernoulli . On serait tenté de dire alors que la variable suit une loi binomiale de paramètre (k,p) mais ce serait oublié que le problème impose que le dernier tir soit toujours réussi , et que l'on ait réussi avant M-1 tirs, cette fois selon n'importe quel combinaisons . l’événement est alors égal à l'intersection de deux événements indépendants, l'archer touche M-1 fois la cible en k-1 essais et l'archer touche la cible en 1 essai supplémentaire .

On va tenter un peu de formalisation, dites moi si je fais ça correctement : On introduit la variable aléatoire Q qui compte le nombre de fois que l'archer touche la cible sur k-1 essais, ainsi que l'événement A "l'archer touche la cible à l'essai k" . on a alors Cette fois la variable Q suit bien une loi Binomiale de paramètre (k-1,p) et comme les événements (Q=M-1) et A sont indépendants on a


Voila ça je pense que c'est correct . Maintenant la seconde question qui me torture : on introduit la variable et on me demande de montrer l'indépendance des variables ainsi que de donner explicitement leurs loi (qui est la même pour toute ces variables d'après l'énoncé) . J'ai commencer par essayer de trouver cette loi ainsi :

comme Il s'agit de variable aléatoires à valeur discrète il "suffit" pour décrire la loi de donner la probabilité que les variables prennent chaque valeurs qu'elles peuvent prendre . En l’occurrence décrit la différence de flèche pour toucher i+1 fois la cible par rapport au nombre de flèches pour toucher i fois la cible, soit peut prendre toute valeurs k supérieur ou égal à 1 .
C'est la que j'ai un gros doute en prétendant que : pour tout j supérieur ou égal à i .
En supposant que c'est juste ça implique que
est donc une probabilité conditionnelle et on peut le traduire par "quel est la probabilité de toucher i+1 en k+j essai fois la cible sachant qu'elle a été touché j fois en i essais ?" , autrement dit .
On sait alors calculer

étant donné que c'est vrai pour tout j supérieur ou égal à i, ça l'est en particulier pour j=i, donc :

Je me suis vite aperçu que mon raisonnement était faux quelque part parce qu'on obtient des valeurs différentes si l'on prends des j différents mais que l'on garde k et p . Je me suis alors demandé si en fait on avait pas plutôt mais je n'arrive pas à le justifier et ça ne me parait pas "naturel" .

Voila je ne vois pas ce qui m'échappe et j'attends patiemment (le "patiemment" c'est juste pour la formule ) vos précieux conseils !
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[kasmurdanto]

mince je sais pas ce qui s'affiche pour vous mais en plein milieu de mon message est apparu un gros cadre rouge bien moche à la place d'un truc écrit en Latex . Si vous voyez ce cadre rouge sachez que je n'avais fait que copier coller la probabilité conditionnelle sur la ligne juste au dessus que je retente de taper (en espérant ne pas réveiller la fureur du Grand Cadre Rouge, Pourrisseur de Latex, Inhibiteur de discussion, Haut Destructeur de Patience) :

[minushabens]

salut,

j'ai un peu la flemme de lire ton long texte, mais la loi de Ti est la loi binomiale négative de paramètres i et p.

[kasmurdanto]

Bonsoir MinusHaben, merci de ta réponse .

Je ne suis pas sur qu'il s'agisse d'une loi binomiale négative que suit Ti . Je t'explique pourquoi : si Ti suit une loi binomiale négative alors :



et moi je prétend que :



alors peut être que je n'ai vraiment pas compris mais pour faire un calcul à la main par exemple de Ti=4 avec i=2, je trace un arbre sur quatre niveaux se ramifiant en deux branche (une succès, une échec) à chaque niveau et je ne garde que les chemins qui donnent deux succès dont un de ces succès tout à la fin (sinon ça signifierait que l'archer à touché la cible bien 2 fois mais en moins de quatre coup ) , soit trois chemins (oui, c'est la mort du formalisme) . autrement dit je trouve :


ce qui correspond à ce que j'ai trouvé, c'est à dire une loi binomiale dont le coefficient binomiale est "décalé", mais pas à la loi binomiale négative. Maintenant Peut être que même mon petit calcul sur un exemple simple est faux dans ce cas je suis très , mais alors très blasé .

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

....et moi je prétend que :


.

je trouve la même chose, en l'écrivant au départ:


soit un tir juste imposé ( quel soit le rang imposé : 1, n ou k )
et exactement (i-1) tirs réussis parmi les (k-1) restant.


mais ton développement est très lourd pour dire cela.
Cdt

[kasmurdanto]

Merci Ansset ça me rassure un peu, j'ai pas tout rien compris .

Concernant la lourdeur de mon développement je te l'accorde volontiers , seulement c'est la première année que je fais vraiment des probas (bon en terminale et première aussi mais j’étais pas très sérieux) et je trouve que c'est très difficile de rédiger , j'ai toujours l'impression de faire dans l'argument d'autorité, alors j'en rajoute une couche .
C'est aussi une façon pour moi d'essayer de manier un peu tout ce formalisme que je trouve difficile à intégrer des fois .

Mais bon , quand je vois comment tu l'écris , c'est vrai que c'est bien plus concis et clair et que c'est tout aussi juste, peut être faut il juste préciser l'indépendance des événements l'archer fait un tir juste imposé et l'archer touche exactement i-1 fois la cible en k-1 tirs .

[minushabens]

Bonsoir MinusHaben, merci de ta réponse .

Je ne suis pas sur qu'il s'agisse d'une loi binomiale négative que suit Ti . Je t'explique pourquoi : si Ti suit une loi binomiale négative alors :

tu as raison, dans la loi binomiale négative on ne compte que les échecs, je m'ai gourré. Donc c'est Ti - i qui suit la loi binomiale négative.

[mike.p]

Bonjour,

à propos du début :
et en construisant la matrice d'une chaine de Markov ?

2 éventualités unitaires, probabilité de toucher 1 fois p, de ne pas toucher, matrice 2x2, vecteur initial et calcul de la matrice appliquée n fois ... C'est une piste.

[kasmurdanto]

Bonjour,

oui j'imagine que c'est possible de ce que j'en ai lu sur wiki même si je ne m'y attaquerai pas parce que c'est la première fois que j'en entends parler . Par contre cet extrait me laisse penser que ce n'est pas l'outil le plus approprié :

A series of independent events (for example, a series of coin flips) satisfies the formal definition of a Markov chain. However, the theory is usually applied only when the probability distribution of the next step depends non-trivially on the current state.

pour les non anglophones :

Une série d’événements indépendants (par exemple, une série de pile-ou-face) satisfait la définition formelle d'une chaine de markov . Cependant, la théories est habituellement appliqué seulement quand la distribution de probabilités de l'étape suivante ne dépends pas de façon trivial de l'état actuel .

[ansset]

Mais bon , quand je vois comment tu l'écris , c'est vrai que c'est bien plus concis et clair et que c'est tout aussi juste, peut être faut il juste préciser l'indépendance des événements l'archer fait un tir juste imposé et l'archer touche exactement i-1 fois la cible en k-1 tirs .

le ET répond à ta question non ?
l'autre formulation serait :
il tire exactement i fois la cible dont une fois au rang k.
( ce serait la même proba à un autre rang )

[kasmurdanto]

le ET répond à ta question non ?

Oui si on veut, encore une fois c'est pour moi le soucis de savoir quand quelque chose est assez trivial pour pouvoir se contenter d'être implicite , que je retrouve dans d'autre disciplines mais jamais autant qu'en proba, sûrement parce qu'à ce niveau ça repose encore sur une bonne dose d'intuition .