Densité de Q dans R / Densité de R\Q dans R

[Rafaelle55]

Bonjour j'ai trois questions à propos de la densité :

Premièrement, c'était pour savoir si le raisonnement que j'utilise pour prouver l'implication suivante est juste :
"Entre deux réels, il y a un rationnel ==> tout réel est limite d'une suite de rationnel" :
Ma démo :
"Soit a un réel. Soit e>0. a-e est un réel.
Donc il y a un rationnel x0 entre b0=a-e et b1=((a-e)+a)/2.
Puis, on fait la mêle chose pour x1 entre b1 et b2=(b1+a)/2
et on réitère le procédé, la suite converge par théorème des gendarmes (bn tend vers a et a aussi) donc vers a et il n'y a que des rationnels.

Deuxièmement, c'était pour savoir si la réciproque était vraie (je pense que oui, mais je n'arrive pas à le démontrer, et partout ou je cherche, ces deux définitions de la densité semblent liés mais sans preuve"

Et enfin, est-ce qu'on peut prouver la densité de R\Q dans R grâce à la densité de Q dans R ?

Merci beaucoup et désolé si a a l'air bête !
Bonne soirée !
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[Resartus]

Bonjour,

Il y a peut-être plus simple, mais voici une démo :

Si a et b sont deux réels, il existe une suite an et une suite bn de rationnels.
Prenons epsilon = |b-a|/2, alors il existe na tq pour tout n >na |an-a|<epsilon et nb tq pour tout n>nb |bn-b|<epsilon. on prend n0=max(na, nb)
alors les (bn+an)/2 pour n>n0 sont bien des rationnels compris entre a et b*

* quels que soient les signes possibles sous les valeurs absolues.


Pour ce qui est de la densité de R\Q, la densité de Q irait plutôt dans le mauvais sens (plus l'ensemble est dense, moins son complémentaire a de chances de l'être). Mais on peut quand même utiliser votre démonstration précédente..
Pour démontrer que R\Q est dense, il faut revenir aux définitions et exhiber pour tout réel une suite de réels non rationnels qui tend vers ce réel (par exemple, à une suite de rationnels qui tend vers ce réel, ajouter un irrationnel qui tend vers zero...

[Rafaelle55]

Merci pour la démo


Pour montrer que R\Q est dense :
Cette démonstration serait-elle juste ?
Q dense dans R, donc il existe une suite de rationnels (Un) qui converge vers un réel a.
Soit (Vn) définie par :
Pour tout n : Vn=Un+(pi/n)
Les termes Vn sont des irrationnels (car un rationnel + un irrationnel est un irrationnel, je me trompe ?)
Et (Vn) tend vers la limite de (Un) + la limite de (pi/n) donc vers a le réel qu'on voulait.

[minushabens]

La suite a+pi/n suffit (pour a rationnel, mais il suffit de montrer que les rationnels sont dans l'adhérence de R\Q).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Rafaelle55]

Désolé, je ne comprends pas ce que ça veut dire être dans l'adhérence de R\Q ? J'ai cherché sur wikipedia mais je comprends rien

[minushabens]

Tu te demandes si un partie de R est partout dense mais tu ne sais pas ce qu'est l'adhérence d'une partie d'un espace topologique? bizarre...

[gg0]

Minushabens,

on peut voir cette notion de densité sans vraiment avoir fait de la topologie.

Raphaelle55,

c'est simplement le fait que tout intervalle ouvert centré sur un rationnel contient un irrationnel. Plus intuitivement, l'adhérence de R\Q est l'ensemble des limites des suites d'irrationnels (éléments de R\Q); en fait, la notion est plus générale.

Cordialement.

[Rafaelle55]

Ah d'accord merci

Et la preuve que j'avais fourni ne suffit pas si je ne prouve pas que les rationnels sont dans l'adhérence de R\Q ?

[minushabens]

Tu dois donc montrer que tout rationnel est limite d'une suite d'irrationnels. Pour les irrationnels ce n'est pas la peine : tu n'as qu'à considérer la suite constante. Pour un rationnel a, tu considères la suite a+x/n où x est un irrationnel (pi par exemple).

[gg0]

Ta preuve du message #3 est correcte, même si elle est inutilement compliquée : Si tu prends un réel a, soit il est irrationnel et la suite constante (a) convient, soit il est rationnel et (a+pi/n) convient.

Cordialement.

[Rafaelle55]

Ah d'accord, donc pas besoin d'adhérence au final ?

[Tryss2]

A noter qu'il faudrait avoir prouvé que pi est irrationnel, ce qui n'est pas si simple : pourquoi ne pas plutôt utiliser ?


Un autre type de preuve, par cardinalité :

On sait que les réels sont en nombre non dénombrable
On sait aussi que les rationnels sont dénombrable
Ceci entraine que les irrationnels sont en nombre infini non dénombrable.

De plus, il y a un nombre infini non dénombrable de nombres dans un intervalle de la forme ]a,b[

Donc entre deux rationnels, il y a forcément un irrationnel (et même une infinité non dénombrable d'irrationnels), sinon, il y aurait une infinité non dénombrable de rationnels

[gg0]

Ah d'accord, donc pas besoin d'adhérence au final ?

Si tu n'as pas ça dans ta définition de "dense", non. Tu appliques ta définition de dense, c'est tout.

Cordialement.

[Rafaelle55]

Ok merci pour les réponses

[kim khadidja]

salut tout le monde !
j'ai un problème: j'arrive pas a comprendre la densité de Q et R/Q dans R s'il vous plait est-ce-que vous pouvez m'envoyer une petite explication de cette leçon?!
et merci.

[gg0]

Bonjour.

Déjà, tu peux lire ce fil de discussion, puisqu'il parle de ta question. Ensuite, tu peux étudier ton cours (ou un cours sur le sujet). Puis, s'il te reste des questions précises, reviens les poser.
Mais "j'arrive pas a comprendre" ne permet pas de t'aider, et comme on ne sait ni ce que tu as appris, ni ce qui bloque ta compréhension, c'est à toi de faire cet effort.

Cordialement.