Existe t-il un sous ensemble de matrices 2x2 qui soit un corps quand on le considère avec l'addition et la multiplication matricielle?
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21/05/2016, 12h39
#2
Médiat
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Re : Corps de matrices
Bonjour,
Je suppose que vous parlez de matrices réelles, la réponse est oui, il est facile de trouver un sous ensemble qui soit isomorphe au corps R, et il en existe un bien connu qui est isomorphe à C
Dernière modification par Médiat ; 21/05/2016 à 18h02.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
21/05/2016, 12h48
#3
gg0
Animateur Mathématiques
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Re : Corps de matrices
Bonjour.
Il en existe plusieurs, comme par exemple l'ensemble des matrices pour k variant dans , sous corps de l'ensemble, pour a et b variant dans des matrices de la forme qui est un corps qui sert souvent de définition pour .
Je n'ai aucune idée s'il en existe d'autres.
Cordialement.
21/05/2016, 12h50
#4
gg0
Animateur Mathématiques
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Re : Corps de matrices
Désolé, Médiat,
j'ai répondu avant de voir ton message (je tape lentement ), et j'ai défloré les indications que tu donnais.
Cordialement.
Aujourd'hui
A voir en vidéo sur Futura
21/05/2016, 12h50
#5
God's Breath
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Re : Corps de matrices
La réponse précédente vise, me semble-t-il, des sous-anneaux de qui sont des corps.
On peut trouver des sous-ensembles de qui sont des corps pour les lois induites sans être pour autant des sous-anneaux.
Par exemple l'ensemble des matrices de la forme lorsque décrit .
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
21/05/2016, 18h22
#6
zaskzask
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Re : Corps de matrices
Envoyé par God's Breath
La réponse précédente vise, me semble-t-il, des sous-anneaux de qui sont des corps.
On peut trouver des sous-ensembles de qui sont des corps pour les lois induites sans être pour autant des sous-anneaux.
Par exemple l'ensemble des matrices de la forme lorsque décrit .
Et les éléments de ce corps devraient être inversible (c'est le cas même si le déterminant vaut 0?)
21/05/2016, 18h33
#7
God's Breath
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Re : Corps de matrices
Je note : et, pour toute matrice non nulle : .
Alors :
ce qui établit que est l'élément unité de ce corps, et que est inversible d'inverse .
J'ai bien précisé que j'obtenais un corps pour les lois induites par celles de , mais que ce corps n'était pas un sous-anneau de : il n'y a donc aucune raison que les règles usuelles pour inverser les matrices soient conservées.
Dernière modification par God's Breath ; 21/05/2016 à 18h35.
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
21/05/2016, 19h37
#8
minushabens
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Re : Corps de matrices
joli cet exemple! je ne connaissais pas du tout.
21/05/2016, 20h10
#9
gg0
Animateur Mathématiques
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Re : Corps de matrices
Effectivement,
on prend une matrice non nulle M qui vérifie M²=M (et joue le rôle de l'unité), et l'ensemble des kM pour k réel quelconque. Bien vu !
Cordialement.
22/05/2016, 18h53
#10
joel_5632
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Re : Corps de matrices
bonsoir
Intéressant cet exemple de GB, j'ignorais qu'on pouvait trouver une partie d'un anneau qui se comporte comme un anneau (ici un corps) mais avec un élément unité (et donc des inverses) différent de celui de l'anneau englobant.
22/05/2016, 19h00
#11
Médiat
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Re : Corps de matrices
Bonsoir,
C'est un très bel exemple, généralisable à toutes les algèbres sur un corps ayant des éléments idempotents non triviaux.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
23/05/2016, 07h30
#12
stefjm
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Localisation
Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
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Re : Corps de matrices
Bluffant!
Cela donne envie de voir ce qu'on peut faire avec cet exemple pour
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».