Théorème de Noether et groupes de Lie

[plaxtor]

Bonjour à tous!!

Je rédige un petit document sur l'utilité de la géométrie symplectique en physique.

Le théorème de Noether affirme de manière informelle qu'une symétrie infinitésimale dans les causes implique l'existence d'une intégrale première du mouvement (conservation de l'énergie, moment cinétique, etc). Cette symétrie infinitésimale est représentée par l'invariance du lagrangien sous l'action du flot d'un champ de vecteur.

La question que je me pose est la suivante :

Dans mon livre on parle de réduction d'une variété symplectique sous l'action d'un groupe de Lie. Est-ce que ce chapitre généralise le théorème de Noether, ou est-ce une autre facette de la géométrie symplectique ?

Merci de vos réponses!!
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[plaxtor]

Personne ?

[0577]

Bonjour,

une incarnation symplectique du théorème de Noether est la notion d'application moment, définie par les fonctions hamiltoniennes engendrant l'action infinitésimale d'un groupe de Lie agissant de manière symplectique sur une variété symplectique. Si cette action est une "symétrie dynamique", i.e. commute avec l'hamiltonien définissant la dynamique, alors ces fonctions sont conservées au cours du mouvement (ce sont des "intégrales premières" dans une terminologie classique). L'idée de la réduction symplectique est d'essayer d'utiliser ces quantités conservées pour définir une nouvelle dynamique dans une variété symplectique de dimension plus petite (on essaye d'éliminer des variables). Cela fonctionne si l'action résiduelle du groupe de Lie sur les fibres de l'application moment n'est pas trop "mauvaise", on obtient alors une nouvelle variété symplectique en quotientant une fibre de l'application moment (i.e. une "surface de niveau" pour les quantités conservées) par cette action.

[invite90034748]

0577, avez vous des références qui détaillent tout ce que vous avez dit ? Merci d'avance !

[A voir en vidéo sur Futura]