exercice homéomorphisme

[slivoc]

Bonjour à tous,

Ceci étant mon premier message sur le forum, je précise que je suis actuellement en L2 de maths ( à l' université) et à partir de septembre en L3.
Après quelques brèves lectures personnelles, exercices et discussions avec un enseignant de TD, je me suis un peu intéressé aux homéomorphismes (qui seront aux programmes de l' an prochain). On m' a donc conseillé un livre: "Topology Now!" de Robert Messer & Philip Straffin. J' en viens à la difficulté que j'ai rencontré: les auteurs se proposent de démontrer que le tore ( abrégé T²) et la sphère ( abrégé S²) ne sont pas homéomorphes. Ils procèdent par l' absurde en supposant qu il en existe un appelé h: T² -> S², puis par le théorème de Jordan on a que S²\h(c) possède 2 composantes connexes, où c est une courbe simple fermé qui ne sépare pas T² en 2 composantes connexes. Là il reprenne h et le restreigne à T²\c, on a donc h|{T²\c} : (T²\c) -> (S²\h(c)) qui serait encore un homéomorphisme et là est la contradiction car T²\c possède 1 composante connexe et S²\c en possède 2. Mon problème se situe à l' endroit où ils restreignent h à T²\c et qu ils appellent cette application un homémorphisme, en restreignant l' homéomorphisme est on sure de pouvoir continuer à parler de continuité pour les applications restreintes dans les 2 sens( h et h^(-1)) ? par analogie supposons f:[0;1] -> [22;34] un homéomorphisme, on restreint f à [0;1]\]0;1[ et donc peut-on encore parler de continuité pour f|{[0;1]\]0;1[ : [0;1]\]0;1[ -> [22;34]\f]0;1[ et donc d' homéomorphisme ( je n'y crois pas trop)? La clef se situe elle dans le fait que T²\c est dense dans T² , ce qui me semble être la bonne réponse mais je n' en suis pas sûre.

Merci beaucoup et bonne journée !
-----

[minushabens]

La restriction à un sous-ensemble ne produit pas de difficulté puisque les ouverts du sous-espace topologique F de E sont les intersections des ouverts de E avec F. Et comme l'image réciproque commute avec l'intersection tout se passe bien. Il faut l'écrire quand-même une fois pour s'en convaincre.

[slivoc]

J' ai essayé de l' écrire et voila ce que j' obtiens:
on cherche à montrer que pour tout ouvert V de S²\h(c), h|{t²\c} ^(-1) (V) est un ouvert de de t²\c
on s' en donne donc un, V, et puisque V est un ouvert de S²\h(c), il existe U ouvert de S² tq V= U n S²\h(c).
Donc h|{t²\c}^(-1) (V)= h|{t²\c}^(-1)(U n S²\h(c)) = h|{t²\c}^(-1) (U) n h|{t²\c}^(-1) ( S²\h(c)) = h|{t²\c}^(-1) (U) n h^(-1)(S²\h(c)) mais là je bloque car je ce qui m' arrangerait serait de trouver un U ouvert de S² ne contenant pas h(c) afin d' avoir h|{t²\c}^(-1) (U)= h^(-1) (U) ,et pouvoir conclure avec la continuité de h, mais je ne vois pas pourquoi il existerait ... Où alors je me suis totalement gouré et je voudrai bien une ou deux indications en plus .

[Gian_Marco]

Bonjour Sylvoc,

Je simplifie un peu les notations du problème : je suppose que h est une bijection de E dans F, que A est une partie de E et B=h(A).

On restreint h à A et B et on appelle g cette restriction (on restreint à la fois l'espace de départ et l'espace d'arrivée).

Il me semble que tu peux montrer simplement, et directement, c'est à dire en utilisant seulement les définitions des images réciproques de parties, que pour toute partie U de F, on a l'égalité :
(comment fait-on le signe "inter sur ce traitement de texte???)


g^{-1}(U inter B) = h^{-1}(U) inter A,

ce qui résoudrait ton problème, je crois.

En tout cas je trouve que tu te poses de bonnes questions de détail pour rédiger juste!

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Gian_Marco.

(comment fait-on le signe "inter sur ce traitement de texte???)

Comme on a la possibilité d'écrire en LaTeX, on le fait :


Cordialement.

[slivoc]

Bonjour Gian_Marco,
En reprenant vos notations j' obtiens que :

g^(-1) ( U inter B)={x € A, g(x) € U} inter {x € A, g(x) € B} = {x € A, g(x) € U} inter A( car g(A)=h(A)=B par déf.) = [{x € A, g(x) € U} inter A] union [{x € E\A, h(x) € U} inter A] = [{x € A, g(x) € U} union{x € E\A, h(x) € U}] inter A = { x € E, h(x) € U } inter A= h^(-1)(U) inter A.

En effet, si je ne me suis pas trompé, en reprenant mes notations du message 3, on obtient que:

h|{t²\c}^(-1) (V)= h|{t²\c}^(-1)(U n S²\h(c)) = h^(-1)(U) inter T²\c qui est par définition des ouverts de T²\c, un ouvert de T²\c ( car h continue et U ouvert de S²) et donc h|{T²\c} est bien continue.

J' aurai aimé savoir si, supposons que l' on arrive à montrer que T²\c est dense dans T², cela suffirait- il pour en déduire la continuité de h|{t²\c} ?

Merci et bonne soirée !

[Gian_Marco]

Bonjour Sylvoc,


Sur ta deuxième question, je ne comprends plus bien ton problème. A partir du moment où tu démontres la continuité d'une restriction dans tous les cas, l'hypothèse supplémentaire de densité n'intervenant pas, il n'y a pas de preuve alternative à chercher par la densité. Peut-être cherdher à simplifier la preuve dans ce cas? Il semble difficile d'espérer une simplification ici.

Je reviens sur ta première question. J'insiste il faut restreindre des deux côtés, car c'est bien cette double restriction qui sera l'homéomorphisme cherché et pas h|A seulement. Il y a une ambiguïté à écrire alors que si on prend la double restriction g à la place de n'a plus de sens. C'est vraiment du pinaillage, mais puisque tu cherches la précision...

Personnellement, pour ce genre d'égalités, je préfère raisonner par équivalences (voire double implication) que par égalités d'ensembles un peu lourdes à traîner. c'est pareil mais plus facile à lire :
(Enfin je reconnais c'est affaire de goût)
etc.

Je remercie ggo de son aide mais avec moi visiblement cela ne marche pas, il y a un truc évident que je n'ai pas compris sans doute. (Existence et pas unicité bien sûr).

[slivoc]

Bonjour,

Ce qui m intéressait pour h|A n'était que de montrer la continuité. En effet, je pensais que si on ne restreignait pas l'ensemble d arrivé, on avait que h|A restait injective, et donc bijective sur son image, et on avait donc qu'elle était continue et bijective si on restreignait à la fois à l arrivé et au départ.
Je ne comprends pas bien, si écrire h|A^{-1}(U inter B)=h|A^{-1}(U) inter h|A^{-1}(B) est ambiguë et que g^{-1}(U) n'a pas de sens, que dois-je ecrire ?

Concernant l argument de densité, mon idée était de faire comme ce que j ai l habitude de faire en TD pour des fonctions définies sur des Espaces Vectoriels Normés, c est à dire prendre des suites convergentes de T^2\c et montrer que leur image converge encore dans S^2\h(c).Mais si cela n'a pas de sens, il vaut mieux que je me concentre sur la preuve déjà commencée !

Bonne journée.

[Gian_Marco]

Oui je comprends mieux l'idée de la restriction d'un seul côté. Mais il me semble qu'il reste une objection : tu considères que si h|A est continue, alors en restreignant ensuite à l'espace B à droite cela reste continu, que cela n'a pas besoin de justification. Et je ne sens pas bien en quoi c'est plus évident que la continuité se conserve quand on restreint l'espace d'arrivée que quand on restreint l'espace de départ.

Voici la preuve que j'écrirais : les lignes suivantes sont équivalentes :

x \in g^{-1}(U inter B)
g(x) \in U et g(x) \in B et x\in A
h(x) \in U et h(x) \in B et x \in A (h et g sont distinctes, mais pour tout x de A, g(x)=h(x) par déf d'une restriction).
x\in h^{-1}(U) et x \in A
x \in h^{-1}(U) inter A

Bon, mais il peut y avoir d'autres types de rédaction correcte.

J'espère que cela peut t'aider et encore une fois je trouve cela très bien de se poser ce type de question, cela fait progresser même si à partir d'un certain moment on doit pouvoir considérer que le résultat est "évident", comme on dit souvent dans les livres, alors que ce n'est pas évident pour tout le monde...

Bonne journée, bon travail...