Problème d'équivalence entre cartésien et polaire

[T-richelieu]

Bonjour,

J'ai quelques soucis pour l'intégration en repère cartésien et en repère polaire, je vais essayer d'exposer ça dans un problème simple.

On a un disque de rayon R sur lequel on applique un champ vectoriel constant :


Lorsqu'on intègre ce vecteur sur le domaine on a donc :


Une deuxième méthode serait de faire un changement de base dans un repère polaire :


Mais cette fois-ci, si on intègre sur le domaine :



On trouve que , puisqu'on intègre cos et sin entre 0 et 2pi.

Est-ce que vous avez une idée d'où vient cette différence, et comment il faut faire pour rectifier l'erreur?

Merci
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[gg0]

Bonjour.

Ça ne te paraît pas bizarre que ton vecteur constant soit devenu variable ? ne dépend pas de , ni de r d'ailleurs.

Cordialement

[T-richelieu]

Bonjour gg0,

La norme de Tcyl est bien constante. Pour moi, le théta intervient car le repère polaire a une orientation qui varie par rapport au cartésien. Je me trompe?

[gg0]

Norme constante ne dit pas vecteur constant.
Le repère polaire ne varie pas par rapport au repère cartésien, il donne les coordonnées autrement.

Prenons le cas où est le vecteur unitaire de l'axe des x (le demi axe des x positif est commun aux deux repères). les coordonnées polaires de sont . Elles sont bien fixes.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[T-richelieu]

Merci,

Du coup, que faudrait-il faire pour intégrer le vecteur en coordonnées cylindrique? A moins que ça n'est pas de sens de le changer de base.

Cordialement

[gg0]

Ben ... pour mon exemple, tu intègres
sur le domaine, ce qui te donne qui est bien le bon résultat. Dans le cas général, tu exprimes ton vecteur constant en coordonnées polaires : et tu intègres, ce qui le multiplie par .

Bon calcul !

NB : Il s'agit là de coordonnées polaires, pas cylindriques. mais en cylindriques, c'est la même idée.