Espace Vectoriel

[mc222]

Bonjour,

J'aimerais savoir si l'on peut considérer que l'ensemble des deux valeurs 0 et 1 (Algèbre de Bool) peut constituer un corps.

Ensuite, si des vecteurs sur ce corps pourraient constituer un espace vectoriel.
Il y a une condition à remplir pour parler d'EV que j'ai du mal à satisfaire, c'est la suivante :

u + u' = E0

u : vecteur quelconque de EV
u' : symétrique de u
E0 : élément neutre de l'addition

Puis-je considerer que (0,1,0) + (1,0,1) = (1,1,1)=(0,0,0)=E0 ?
Cela revient à considerer qu'on a deux éléments neutres, ici (1,1,1) et (0,0,0)

De plus, chaque vecteur aurait ainsi plusieurs symétriques :

(0,1,0) + (1,0,1) = (1,1,1)=(0,0,0)
(0,1,0) + (1,1,1) = (1,1,1)=(0,0,0)

Ici (1,0,1) et (1,1,1) sont tous deux symétriques de (0,1,0).

Peut-on parler d'EV dans ce cas ?

Merci d'avance !
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[Médiat]

Bonsoir,

Oui {0, 1} muni des opérations usuelles de Z/2Z est un corps, donc, sur lequel on peut construire des ev.

Certes (0,1,0) + (1,0,1) = (1,1,1), mais cela n'a aucune raison d'être égale à (0,0,0)
et
(0,1,0) + (1,1,1) = (1,0,1), puisque ce ne sont pas les lois de Boole

[mc222]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.
J'ai cherché des infos sur Z/2Z mais je n'ai pas trouvé de quoi avancer

Enfait, j'avais supposé que (0,0,0) = (1,1,1) pour pouvoir construire le symétrique d'un vecteur quelconque en utilisant que les valeurs 0 et 1 (sans utiliser -1).
Si comme vous le dites, (0,0,0) n'est pas égal à (1,1,1), le seul élement neutre de la loi interne est le vecteur (0,0,0).
En ces conditions, comment construire le symétrique d'un vecteur quelconque sans utiliser -1?

Par exemple, quel est le symétrique de (0,1,0) ?

Cordialement,

Maxime

[gg0]

Bonjour.

dans ton corps, 1+1=0, donc 1 est le symétrique de 1.
De ce fait, le symétrique de (0,1,0) est (0,1,0).
C'est d'ailleurs le cas général, dans les espaces vectoriels sur Z/2Z, le symétrique de (a,b,c, ...) est (a,b,c, ...).

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[mc222]

Ok, je vois.
Par contre j'aurais vraiment besoin des lois suivantes :

1 + 1 = 1
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
0 + 0 = 0

Et

1 * 1 = 1
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
0 * 0 = 0

Vous pensez que c'est possible ?
Merci

[Tryss2]

Ça n'est pas un corps (ni un anneau) : 1 n'a pas d'opposé

[mc222]

Ha, voila ce que j'attendais!
Du coup je peux pas construire d'Ev ?

[Médiat]

Bonjour,

Vous pouvez regarder du côté des treillis et des algèbres de Boole (qui sont des treillis particuliers).

Si on note B l'algèbre de Boole {0,1}? Il est possible d'appeler "Vecteur" les éléments de B^n munis des opérations terme à terme, mais cela ne ressemble pas beaucoup à des ev.

[mc222]

Ok,

Je pense que je vais rester sur des EV du coup.

Si on récapitule :

1 + 1 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
0 + 0 = 0

Et

1 * 1 = 1
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
0 * 0 = 0

forment un groupe ? Ici, l'élement neutre de l'addition a bien un symétrique (lui même).
Je peux construire des EV avec du coup ?

Cordialement,

Maxime

[Médiat]

Bonsoir,

Oui, comme sur tous corps (on peut faire à peu près la même chose sur des anneaux, mais cela ne s'appelle plus ev)

[mc222]

D'accord, très bien.

Maintenant, si je traduis mon problèmes en maths ça donnerait ça :

Je vais placer un certain nombre de vecteurs dans cet espace vectoriel.
Il vont se répartir dans différents sous espaces vectoriels.
Certains vecteurs appartiendrons à plusieurs sev, d'autre à un seul.
Il faudrait que je trouve le plus petit ensemble de sev (le nombre le plus petit de sev) qui contienne tous mes vecteurs.

Est-ce possible de trouver cela facilement ?

J'espère que je ne dis pas d'aberration, merci d'avance.

[Médiat]

Bonjour,

Je vais placer un certain nombre de vecteurs dans cet espace vectoriel.

Vous voulez dire choisir un certain nombre de vecteurs dans cet espace vectoriel.

Il vont se répartir dans différents sous espaces vectoriels.

Cette phrase n'a pas pas beaucoup de sens, voulez-vous dire des sev définis à l'avance ?

Certains vecteurs appartiendrons à plusieurs sev, d'autre à un seul.

Si mon hypothèse est la bonne cela peut-être 0

Il faudrait que je trouve le plus petit ensemble de sev (le nombre le plus petit de sev) qui contienne tous mes vecteurs.

Si mon hypothèse est la bonne c'est un problème d'optimisation combinatoire

[mc222]

Bonsoir,

Oui, vous avez bien compris ce que je voulais dire.
Du coup, je pense aussi qu'il s'agit d'un problème d'optimisation combinatoire.

En fait, on peut aussi aborder la question par la topologie.
Mes vecteurs choisis sont des noeuds et mes sev choisis sont des hyperarètes (théorie des hypergraphes).
En dressant la matrice d'incidence de cet hypergraphe, il faudra que je détermine le plus petit ensemble d'hyperaretes couvrant mon hypergraphe.

Et c'est dans le traitement de cette matrice qu'interviendra l'optimisation combinatoire, je pense.

Cordialement,

Maxime

[mc222]

Par contre, dans mon cas (qui est peut être plus particulier que j'ai pu le laisser entendre jusque la), tous les vecteurs appartiennent à un sev (c'est ce que me dit mon intuition en tous cas).