Pourquoi mes calculs de surface et volume sont-ils faux ?

[knass591]

Bonjour

je m'amuse (si, si, c'est possible) à redémontrer les formules de surface et de volume de la sphère.

J'ai plusieurs méthodes de calcul (plusieurs façons d'intégrer) et certaines aboutissent au bon résultat, et d'autres donnent des résultats faux.

Mon problème est que je ne vois pas pourquoi les méthodes de calcul aboutissant à un mauvais résultat sont fausses.

Quelqu'un peut il m'aider ?

Bon, je pense que quand on va me donner la réponse, je vais me dire "mais oui, quel #$£%§! je suis, c'est évident que ce calcul n'est pas le bon" et je vais etre hyper frustré de ne pas avoir vu l'erreur moi même mais tant pis.

Aidez moi SVP


Calcul de la surface en sommant les anneaux de rayon r et de hauteur dl


Ce résultat est correct

Calcul de la surface en sommant les anneaux de rayon r et de hauteur dz


ce qui est totalement faux



Calcul de la surface en sommant des pavés de largeurs et


ce qui est totalement faux




Calcul du volume en sommant des sphères d'épaisseur dr

ce qui est correct



Calcul du volume en sommant des disques de rayon r et d'épaisseur dz


Il est étonnant de voir qu'avec cette méthode en dz, on obtient un résultat correct pour le volume mais pas pour la surface
Pourquoi ? mystère !!!!




ce qui est faux


Calcul du volume en sommant des disques de rayon r et d'épaisseur dl


ce qui est faux

Là aussi étonnant que cette méthode donne un résultat faux pour le volume alors qu'elle donne un résultat correct pour la surface
Pourquoi ? mystère !!!!

Calcul du volume en sommant des secteurs de largeur et d'épaisseur


ce qui est faux

Bon comme vous le voyez, des fois j'ai bon des fois je n'ai pas bon. Mon problème est que je ne sais pas expliquer pourquoi
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[Resartus]

Bonjour,
Dans le second cas, pour le calcul de la surface de l'anneau, on ne peut pas multiplier la longueur par dz, car l'anneau est incliné. Il faudrait donc diviser votre terme dz par le cosinus de l'angle pour avoir la largeur de l'anneau (on retrouve alors la formule de l'intégration avec dl...).
Dans le troisième cas, la largeur des petits pavés n'est pas constante. Elle vaut R*R*dtheta*dphi*cos(theta).
Dans le quatrième cas, erreur inverse du second. L'épaisseur de la galette n'est pas dl mais dz. Il faut multiplier par cos(theta)
Dans le cinquième cas, le rayon de la galette n'est pas toujours R mais il vaut Rcos(theta)

Au total, vous devriez toujours arriver pour les surfaces à une intégrale de type cos(theta)dtheta qui donne 2, et pour les volumes à du cos^3(theta)dtheta qui donne du 4/3, ce qui multiplié par l'intégration sur phi (2pi) donne bien les coefficients 4pi et 4/3pi

[knass591]

Merci de cette réponse
Effectivement, pour le pavé ou le secteur, j’ai pris un mauvais angle theta. Si j’avais fait un beau dessin rigoureux, j’aurais pu le voir. Néanmoins, ce n’est, à mon avis, pas que la largeur du pavé n’est pas constante, c’est que l’angle est pris sur un plan horizontal dont la cote z varie, donc le r associé varie aussi. Selon moi, le pavé fait toujours la même surface.

En revanche, pour le reste, je ne suis pas convaincu : pourquoi travailler en dz fonctionne pour le volume et pas sur la surface et à l’inverse, travailler en dtheta fonctionne pour la surface mais pas pour le volume.

[Deedee81]

Salut,

Bienvenue sur Futura.

En revanche, pour le reste, je ne suis pas convaincu : pourquoi travailler en dz fonctionne pour le volume et pas sur la surface et à l’inverse, travailler en dtheta fonctionne pour la surface mais pas pour le volume.

Pour dz par exemple : par ce que dans un cas tu sommes de surfaces d'anneau et dans l'autre des volumes de disques. Or l'inclinaison (qui a été négligée dans le calcul) influe sur la surface de l'anneau, mais n'a que peu d'influence sur le volume du disque (une variation infinitésimale du second ordre). Si tu tiens compte de l'inclinaison pour ta somme des anneaux, ça marche aussi.
La question n'est donc pas "pourquoi ça marche dans un cas et pas dans l'autre" mais "comment faire le calcul correctement" (le plus simple ici étant parfois de faire un cht'tit dessin, ça aide à visualiser et voir comment faire le calcul correctement).

[A voir en vidéo sur Futura]