Bonsoir a tous, svp j'ai bésoin d'aide pour une démonstration sur laquelle je bloque depuis 2h. voici l'énoncé:
démontrer que si f est de classe Cn sur [a,b] admet n+1 racines sur [a,b] alors la dérivée n-ième de f admet au moins une racine sur [a,b]
Bonjour.
Par récurrence, avec le théorème de Rolle, c'est immédiat (j'ai supposé que c'est n racines distinctes, mais on peut raffiner au cas de racines multiples).
Cordialement.
Bonjour voici ce que j'ai fais:
soit k élément de [0,n]
Pour k=0 on a f^(0)=f admet n+1 racines sur [a,b].
posons a=Xo et b= X1
pour k élément de [0,n-1], supposons que f^(k) admet au moins une racine sur [a,b].
comme f est de classe Cn sur [a,b] donc pour tout i élément de [0,k], f^(k) est continue sur [Xi,Xi+1] et derivable sur l'intervalle ouvert Xi,Xi+1 avec
f^(k) (Xi)= f^(k) (Xi+1) =0 . en appliquant le théorème de rolle a f^(k) sur [Xi,Xi+1] on obtient que pour tout i élément de [0,k]
il existe Yi élément de l'intervalle ouvert Xi,Xi+1 tel que f^(k+1) (Yi) = 0
je conclure que pour tout k élément de [0,n] f^(k) admet au moins n-k+1 racine sur l'intervalle ouvert a,b
pour k=n, f^(n) admet au moins 1 racine sur a,b
Bonjour.
une preuve par récurrence est une forme de preuve que tu dois respecter. ici, on en est loin !
Quelle est exactement la propriété à démontrer ? (elle dépend d'une variable entière).
Initialisation (La propriété est vraie pour une valeur de cet entier) : Preuve
Hérédité : preuve que si la propriété est vraie pour une valeur, elle est vraie pour la valeur suivante (1 de plus)
Conclusion : la propriété est vraie pour toute valeur ce cette variable.
Je n'ai pas compris pourquoi tu utilises une lettre k qui n'a rien à faire ici. Tu parles de [Xi,Xi+1] alors que tu n'as défini que X0 et X1 (en fait même Xo, pas X0 !!).
Je soupçonne que tu as une idée de ce qu'il faut faire, mais que faute d'habitude technique, tu t'es embarqué dans des écritures pas maîtrisées. Applique-toi à faire fonctionner les preuves par récurrence en commençant par bien écrire la propriété à prouver. ici, tu verras que la récurrence se fait sur n (c'est la seule variable entière de l'énoncé).
Bon travail !
NB : Attention à ne pas confondre ta conviction personnelles ("je conclure que pour tout k élément ...") avec le "donc" mathématique, qui est l'application d'une règle, définition ou théorème, ou une simple redite de ce qui a été fait précédemment en des termes autres.
