Convergence Lp et Lq

[greedig]

Bonsoir à tous,

Voilà, je bloque sur un exo sur les espaces Lp. On me donne p et q dans [1,+oo] et une suite de fonctions (fn) qui converge en norme Lp vers une fonction f et en norme Lq vers une fonction g. Je dois montrer que f=g presque partout. J'ai d'abord essayé d'utiliser le fais que si (fn) converge en norme Lp, alors il existe une sous-suite de (fn) telle que (fn) tend vers f presque partout, mais ça n'a pas vraiment abouti... Si jamais vous avez des idées, je suis preneur !

Merci !
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[invite52487760]

Bonjour,

Tu fais un bon début. Regarde ici : https://www.math.ens.fr/~bourrigan/int1/td07.corr.pdf, page : , exercices : , Application du théorème du graphe fermé.

Cordialement.

[Tryss2]

L'astuce, c'est que ta sous suite qui converge pp vers f, elle converge aussi en Lq. Et donc de cette sous suite, tu peux extraire de nouveau une sous(sous) suite qui converge presque partout vers g (et elle converge aussi pp vers f). Ensuite suppose que mu( f != g) = c > 0, et tu va arriver à une contradiction