Règle de l'Hopital, erreur Wikipédia ?

[UknownStudent]

Bonjour/Bonsoir

Alors je recherchais la règle de l'Hopital sur Wikipédia quand je suis tombé sur un truc qui m'a paru étrange dans la partie démonstration (règle smple) : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A...27H%C3%B4pital

En effet ca dit : "Comme f et g sont dérivables en a et que le quotient f'(a)/g'(a) est défini, on peut affirmer que :

g' (a) est non nul ..."

Sauf que, pour dire que le quotient est défini n'a-t-on pas d'abord justement besoin que g'(a) soit non nul ??? Ca revient à utiliser le résultat qu'on veut prouver dans l'hypothèse de départ ca n'a aucun sens -.- ...

Non ?
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[greedig]

Bonsoir,

Le fait que f'(a)/g'(a) soit défini fait parti des hypothèses du théorème ("Si f et g sont deux fonctions définies sur [a, b], dérivables en a, s'annulant en a et telles que le quotient f'(a)/g'(a) soit défini, ..."). On précise juste dans la démonstration que si cette hypothèse est vérifiée, cela implique que g'(a) est non nul.

[UknownStudent]

Ca n'implique rien, pour que ce quotient soit défini il faut que g'(a) soit non, donc g'(a) étant non nul fait partie de l'hyothèse de départ, je trouve que ca n'a pas de sens de présenter les choses comme ça et que ça peut porter à confusion ...

M'enfin c'est peut etre plus une histoire de manière de voir la chose et de rigueur, je sais pas ...

Merci en tout cas

[gg0]

Bonsoir.

Tu le dis toi-même : le fait que le quotient soit défini veut dire que g'(a) est non nul. Pourquoi voudrais-tu qu'il y ait un ordre entre deux phrases équivalentes ? Parce que tu as toujours pris cet ordre là ? Un peu se souplesse d'esprit ne serait pas de trop !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Resartus]

Bonjour,
Le fait que la limite du quotient f'(x)/g'(x) soit définie quand x tend vers a n'implique pas que g'(a) soit non nul.

La rédaction de wikipedia est donc bien fausse sur ce point. Une démonstration plus rigoureuse du théorème figure dans le document ci-joint.
http://iecl.univ-lorraine.fr/~Gerard...ARTICLE/AJ.pdf

On voit qu'il prend la peine de parler de "voisinage épointé", c'est à dire excluant le point a.

D'ailleurs, si g'(a) et f'(a) valent zero, on peut pousser un cran plus loin et montrer que lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x)=lim f"(x)/g"(x) quand x tend vers a (à condition que cette limite de quotients soit définie...)

[Médiat]

Bonjour

Le fait que la limite du quotient f'(x)/g'(x) soit définie quand x tend vers a n'implique pas que g'(a) soit non nul.

C'est exact, mais ce n'est pas ce qui est écrit dans le premier post :

le quotient f'(a)/g'(a) est défini

ce qui implique bien que g'(a) soit non nul

[Resartus]

Bonjour,

En effet, et c'est en cela que wikipedia est faux (ou plus précisément, il pose des conditions inutilement restrictives) , dont le "vrai" théorème n'a pas besoin...

Ceci dit peut-être que c'est la démonstration originale de bernouilli, et que c'est seulement plus tard qu'elle a été améliorée...

[Médiat]

Je viens de regarder l'article de wikipedia, cette formulation (dite simple) est présentée comme celle de Michel de l'Hôpital.