pourquoi les faisceaux ?

[syborgg]

Je ne sais pas si je suis sur le bon forum pour poser ce genre de question... j'essaye, vous me direz !

Je suis en train d'etudier un peu de geometrie algebrique, et je me demande : pourquoi la notion de faisceau structural (d'une variete ou d'un schema) est elle si importante ?
quelle en est la ou les raisons profondes ?
que peut on faire avec le faisceau structural qu'on ne peut pas faire sans, ou plus difficilement ?
que cela simplifie t il d'introduire cet objet ?

Idem pour le faisceau des fonctions d'une variete differentielle, ou d'une variete analytique complexe, ou simplement d'un espace topologique ?

Merci d'avance d'eclairer ma comprehension de ces choses.
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[invite02232301]

Bonjour,
Deja la notion de faisceau est unificatrice. Elle permet de bien mieux comprendre ce qu'est la cohomologie d'un espace, en topologie, mais aussi en geometrie.

Ensuite pourquoi le faisceau structural est important, ben parce que sans lui, on peut pas définir l'objet deja. Sur une varietété topologiques ou differentiables, je suppose que tu realise a quel point on ne peut se passer de parler de fonctions continues/differentiables. Autrement dit on a besoin du faisceau.

En geometrie differentiable ou en topologie, on peut "occuter" le faisceau, parce que les faisceaux sont "mous" (i.e il existe des partitions de l'unité) autrement dit, la donnée des fonctions differentiable suffit (mais dans la pratique c'est tres utile d'utiliser des fonctions differentiables définies uniquement sur un petit ouvert). En geometrie algébrique ou en geometrie complexe les faisceaux sont rigides. Sur une surface de Riemann compacte tu n'a pas de fonctions holomorphe non constante. ON est donc obligé d'utiliser la donnée totale du faisceau.

En geometrie algébrique, il y a d'autres raisons encore (par exemple, il y a plusieurs variétés dont l'espace topologique sous jacent est reduit a un point, c'est le faisceau dessus qui les determine).

[syborgg]

je comprends que les fonctions continues sont importantes, mais d'ici a former l'objet formel " faisceau des fonction continues " je ne vois pas bien encore... concretement, que peut on faire avec la notion de faisceau qu'on ne peut faire sans ?
Quand tu dis que le faisceau permet de mieux comprendre les differentes cohomologies que veut tu dire ? peut tu developper ce point stp ?

[invite02232301]

je comprends que les fonctions continues sont importantes, mais d'ici a former l'objet formel " faisceau des fonction continues " je ne vois pas bien encore... concretement, que peut on faire avec la notion de faisceau qu'on ne peut faire sans ?

Ca depend un peu de ce que tu connais, y a plein de choses qu'on pourrait pas faire sans, effectivement, ou en tout cas bien plus difficilement.
Par contre effectivement en topologie, on peut s'en passer (disons jusqu'a un certain point, mais plein de choses sont des faisceaux "sans le dire").

Mais prenons les choses dans l'autre sens, comment definierais tu une variété algébrique sans user de la notion de faisceau (et la notion de morphismes entre celles ci).

Quand tu dis que le faisceau permet de mieux comprendre les differentes cohomologies que veut tu dire ? peut tu developper ce point stp ?

Par exemple, pourquoi la cohomologie singulière (à coefficient dans R) et la cohomologie de De Rahm, calculent la "meme chose"? La raison profonde est faisceautique.

En fait toutes les theories cohomologiques "classiques" en geometrie, sont des cas particulier de cohomologie des faisceaux (e.g la cohomologie à coefficients locaux). Le point de vue faisceautique permet de tout comprendre "d'un meme front" (je peux donner plus de details si tu veux).

[A voir en vidéo sur Futura]

[syborgg]

oui je suis preneur de plus de details sur les cohomologies
mais j'avais cru comprendre que la notion de motif a ete introduite justement pour tenter de comprendre les relations des differentes cohomologies entre elles n'est ce pas ? cela a t il un rapport avec ce que dont tu parles a propos de faisceaux/cohomologie ?

definir une variete algebrique sans la notion de faisceau ? l'idee naive consisterait a la definir comme un espace topologique qui est un recollement d'ensembles algebriques affines (avec la topologie de Zariski), dont les fonctions de transition ont telle ou telle propriete... jusque la pas de faisceau...

[invite02232301]

oui je suis preneur de plus de details sur les cohomologies
mais j'avais cru comprendre que la notion de motif a ete introduite justement pour tenter de comprendre les relations des differentes cohomologies entre elles n'est ce pas ? cela a t il un rapport avec ce que dont tu parles a propos de faisceaux/cohomologie ?

Ca a un rapport, mais ce dont je parle est bien plus élémentaire.
La notion de motif a été élaboré (entre autres) pour essayer de comprendre le lien entre les cohomologies p-adiques, qui sont deja des cohomologies un peu particulieres. Elles sont construites comme des cohomologie de faisceaux, mais pas des faisceaux pour la topologie de Zariski.

Je pensais plutot a differente facon de calculer la cohomologie "classique" d'une variété (disons reelle differentiable, orientée).

Tu as bien sur la cohomologie singulière qui te permet de calculer la cohomologie, mais aussi celle de De Rahm, le fait est que l'isomorphisme entre les deux provient du fait que ce que l'on calcule c'est la cohomologie à coefficient dans le faisceau constant R.

Plus generalement Grothendieck a compris que les calculs de cohomologie étaient en fait des cas particulier de qqch de tres simple, et tres general, les foncteurs dérivés. Et pour appliquer la amchinerie des foncteur dérivés, il faut une catégorie abélienne, c'est ce que fournit la catégorie des faisceaux (de groupe abéliens). Dans ce cadre tres simple on peut démontrer tout un tas de choses, qui ont ensuite plein d'applications.

Par exemple, la suite spectrale de Serre ou de Leray peuvent se démontrer tres simplement comme cas particulier de la suite spectrale de Grothendieck, plus simple à démontrer, parce que dans un contexte épuré.

Le theoreme de Riemann-Roch est un autre exemple. C'est le theoreme le plus fondamental pour comprendre les courbe algébrique (ou les surfaces) et la aussi il se démontre tres simplement en langage faisceautique (surtout pour les courbes).

l'idee naive consisterait a la definir comme un espace topologique qui est un recollement d'ensembles algebriques affines (avec la topologie de Zariski), dont les fonctions de transition ont telle ou telle propriete... jusque la pas de faisceau...

Justement quelles sont les propriétés de fonctions de transitions? Si tu veux ecrire qqch de propre et rigoureux, c'est un peu casse gueule (mais faisable), mais bien moins simple qu'avec la notion de faisceau. Si tu tu place sur un autre corps que C.... tu vas voir a quel point c'est merdique.
Mais meme sans ca, un ensemble algébrique c'est trop pauvre pour caracterister une variété algébrique. Par exemple, les courbes algébriques affines (planes) définies par (f(x,y))^2=0 et f(x,y)=0, donnerait la meme chose (elles ont les meme points, meme sur un corps algébriquement clos), or on ne veut pas ca. C'est le faisceau qui permet de faire la difference entre les deux.

Ensuite, ce qui est interessant, c'est pas simplement le faisceau structural en lui meme. Ce qui est important, c'est toute la machinerie faisceautique qui va avec. Et cette machinerie faisceautique permet de retrouver tout un tas d'invariant (topologiques ou géométriques) associés aux variétés, et d'en definir de nouveaux. Par exemple si tu prend un courbe algébrique (propre et lisse mais peu importe) sur C, alors son genre est simplement le rang du H^1(X,O_X).

[invite02232301]

Je reviens la dessus,

l'idee naive consisterait a la definir comme un espace topologique qui est un recollement d'ensembles algebriques affines (avec la topologie de Zariski), dont les fonctions de transition ont telle ou telle propriete... jusque la pas de faisceau...

Quel est l'interet en fait d'une telle définition en géométrie diff... Bah c'est que ca permet de donner un sens à la notion de fonction differentiable. Autrement dit de définir le faisceaux des fonctions "regulières". Il est bien plus économique de se donner directement la notion de fonctions régulières i.e de se donner un faisceau structural.

[invite52487760]

Bonjour,

Je me permets d'apporter ma pierre à l'édifice, et pour me rafraîchir la mémoire aussi :
Je me rends compte qu'il y'a plusieurs question à traiter dans ce fil :
Je commence donc, par la première question, et je laisse les autres questions pour après si j'aurai assez de motivation.

Une variété algébrique affine est un couple tel que l'espace sous-jacent est entièrement déterminé par , l'anneau des coordonnés, dans la mesure où : s’identifie à l'ensemble via le morphisme d'évaluation : défini par : .
en réalité : n'est autre que le couple : avec : est le faisceau structural de . D'où : est entièrement déterminé par : d'après ce qui précède.
Bref, on retient don l'existence d'une adjonction de type : , c'est à dire que : et sont adjoint l'un par rapport à l'autre.
en général : et sont adjoint si . Donc, c'est ainsi qu'il faut voir : et .
La même chose se passe lorsqu'on passe de , et on se restreint à un de ses ouverts , on a l'adjonction : . Donc, est aussi entièrement déterminé par : .
Si est un ouvert quelconque, ( i.e : ), alors : . Donc, est aussi entièrement déterminé par : .
Donc, on voit finalement, que : ou en général est entièrement déterminé par son faisceau structural . Donc, sans faisceau structural , on ne peut pas déterminer la variété algébrique affine . D'où l'importance des faisceaux dans la définition des variété algébrique affines ou de ses extensions les schémas.

Cordialement.

[syborgg]

MiPaMa : tes commentaires m'ont ete utiles, je commence a y voir un peu plus clair.
Je comprends un peu mieux en quoi la notion de faisceau est unificatrice (relation entre certaines cohomologies), et aussi qu'elle encode differentes notions de nature geometriques en permettant de retrouver des invariants qui n'ont a priori pas de rapport direct c'est bien ca ?

mais ton exemple de f^2 et f ne me satisfait qu'a moitie en terme d'argument en faveur des faisceaux : en effet, meme si l'ensemble des points est le meme et que je suis d'accord qu'il manque une information cruciale, il me semble que l'anneau des fonctions (qui n'est autre que les sections globales du faisceau strutural si je ne me trompe) suffit pour encoder cette information manquante : pas besoin des autres sections du faisceau dans ce cas non ?..

[syborgg]

Chentouf : peu etre que quelque chose m'a echappe dans ton argumentaire, mais tu conclus : " X est determine par son faisceau strutural, donc on ne peut pas definir X sans ce dernier" ... cela me parait un argument faible, car ce n'est pas partecqu'un objet A est determine par un autre objet B qu'on ne peut pas le definir A sans se referrer a B...

[invite02232301]

MiPaMa : tes commentaires m'ont ete utiles, je commence a y voir un peu plus clair.
Je comprends un peu mieux en quoi la notion de faisceau est unificatrice (relation entre certaines cohomologies), et aussi qu'elle encode differentes notions de nature geometriques en permettant de retrouver des invariants qui n'ont a priori pas de rapport direct c'est bien ca ?

Oui c'est ca.

mais ton exemple de f^2 et f ne me satisfait qu'a moitie en terme d'argument en faveur des faisceaux : en effet, meme si l'ensemble des points est le meme et que je suis d'accord qu'il manque une information cruciale, il me semble que l'anneau des fonctions (qui n'est autre que les sections globales du faisceau strutural si je ne me trompe) suffit pour encoder cette information manquante : pas besoin des autres sections du faisceau dans ce cas non ?..

Ici c'est le cas parce que la variété est affine, et dans ce cas effectivement on peut regarder uniquement les sections globales puisque tu as une anti equivalence de catgéorie entre les schemas affines et les anneaux donné justement par le foncteur des sections globales. Mais si ta variété est projective, alors ca ne sera plus du tout le cas.
Si X est une variété projective alors (sous des hypotheses fort peu restricitives) alors les sections globales de son faisceau structural i.e les fonctions régulières seront simplement les constantes.
Par exemple si X est une surface de Riemann compacte connexe (i.e une courbe connexe propre et lisse sur C si tu preferes), alors \Gamma(X,O_X)=C, pour tout surface de Riemann compacte connexe X (ce que tu peux deja voir, si tu restes dans le cadre holomorphe à l'aide du principe du mximum)!!

Globalement tu as envie de considerer des fonctions regulières définies simplement sur un ouvert, et qui ne soient pas définies sur ta variété tout entière (que tu fasses de la geometrie algébrique ou differentielle) donc c'est bien tout le faisceau que tu as envie de considerer. C'est encore plus dramatique en geometrie algébrique, car pour les objets compacts, comme je l'ai dit plus haut, les seuls fonctions regulières sur toute la variété sont les constantes!

D'ailleurs les variétés affines et compactes, sont moralement deux catégories qui s'excluent mutuellement, si une variété est affine et compacte alors, c'est une reunion finie de points.

Les variétés compactes sont bien sur les plus interessantes.

[invite02232301]

Au passage, quand je parlais de difference entre la variété définie par X={f(x,y)=0} et Y={(f(x,y))^2=0}, c'etait pas tellement pour illustrer pourquoi c'est le faisceau (et pas ses sections globales) qui encodent la géométrie, mais pour illustrer que ta définition

definir une variete algebrique sans la notion de faisceau ? l'idee naive consisterait a la definir comme un espace topologique qui est un recollement d'ensembles algebriques affines (avec la topologie de Zariski), dont les fonctions de transition ont telle ou telle propriete... jusque la pas de faisceau...

ne pouvait etre satisfaisante, puisqu'il manquait qqch permettant de distinguer entre les deux courbes X et Y, justement.

Tu peux dire, ce que je rajoute, c'est la donnnée des fonctions regulières, mais ca, ca ne marche que pour les variétés affines, ca ne discrimine pas entre les variétés plus generales.

Alors tu peux dire, ce que je rajoute, c'est la donnée des fonctions regulières pour touts les ouverts affines que je recolle dans ma définition... et ça, c'est exactement se donner le faisceau structural.

[invite02232301]

Je rajoute ca, je ne sais pas si ca te parlera, m'enfin, peut etre en seconde lecture.

Pour les courbes (propres et lisses, et connexe) tu peux aussi te passer du faisceau structural (c'est d'ailleurs comme ca que les "anciens" etudiaient les courbes), au lieu de te donner le faisceau des fonctions regulières, tu peux te donner l'anneau (c'est un corps en fait) des fonctions meromorphes/rationelles (bon, qui sont quand meme définies comme sections globales d'un faisceau, mais on peut en donner une definition ad hoc e.g, fonctions regulières définie sauf en un nombre fini de points par exemple), cela suffit à carracteriser totalement ta courbe (du moment qu'elle est propre et lisse) et tu peux travailler directement sur le corps des fonctions meromorphes. Malheureusement ceci echoue (de peu) pour les surfaces. Par exemple si tu eclates un point dans une surface lisse, tu obtiens une autre surface lisse, differente, mais qui a le meme corps des fonctions meromorphes. Mais ce sont essentiellement les seules choses que l'on peut faire, et on a des surfaces "minimales", qui sont déterminés par leur corps de fonctions méromorphes.

Par contre la situation est bien plus compliqué en dimension superieure (meme si on a quand meme des resultats, du genre theoreme de factorisation faible).

[syborgg]

ok j'y vois bien plus clair merci, ca va me motiver pour continuer a etudier la geom alg.
tu as des references biblio pour cette histoire de lien entre certaines cohomologies que les faisceaux explique ?

les topos sont aussi definis a partir de la notion de faisceau, mais apparemment de faisceaux dans les ensembles sans structure : cela a t il un lien direct avec les faisceaux en anneaux qu'on trouve par ailleurs associes aux objets geometriques (varietes diff, algebriques, etc..) ?

[invite02232301]

ok j'y vois bien plus clair merci, ca va me motiver pour continuer a etudier la geom alg.
tu as des references biblio pour cette histoire de lien entre certaines cohomologies que les faisceaux explique ?

Ce doit etre fait dans le bouquin de Voisin (theorie de Hodge) et peut etre dans celui de Godement (je ne me rappelle plus le titre, genre "theorie des faisceaux"). Globalement, prend un bouquin qui explique la cohomologie des faisceaux (i.e pas Hartshorne), et il y sera normalement expliqué le theoreme de De Rahm, et pourquoi la cohomologie singulière calcule la cohomologie à coefficient dans Z. Bien sur dans le tohoku de Grothendieck, on doit trouver beaucoup de choses aussi.

les topos sont aussi definis a partir de la notion de faisceau, mais apparemment de faisceaux dans les ensembles sans structure : cela a t il un lien direct avec les faisceaux en anneaux qu'on trouve par ailleurs associes aux objets geometriques (varietes diff, algebriques, etc..) ?

C'est encore autre chose. Le fait est que la catégorie des faisceaux d'ensemble sur un espace determine l'espace a isomorphisme pres (c'est deja ce que dit Yoneda, avec les pre-faisceaux d'ensembles). Du coup, on peut définir un espace (pour une notion tres generale d'espace) non pas en lui meme, mais par la donnée de la catégorie des faisceaux d'ensemble dessus, un topos c'est essentiellement ca (sans entre dans les details, je suis de toute façon loin d'etre specialiste de ces questions là).

[syborgg]

ok donc c'est surprenant de voir que la notion de faisceau est multi-forme et sert dans des cadres de nature assez differentes, pour des raisons differentes...

[invite02232301]

Oui, ce sont des objets tres naturels et importants.

Pour la petite histoire, je crois que Serre (ou Dieudonné) aurait dit "Esperons qu'un jour dans le secondaire on définira une fonction, comme une section du faisceau des fonctions". ^^

[invite52487760]

Chentouf : peu etre que quelque chose m'a echappe dans ton argumentaire, mais tu conclus : " X est determine par son faisceau strutural, donc on ne peut pas definir X sans ce dernier" ... cela me parait un argument faible, car ce n'est pas partecqu'un objet A est determine par un autre objet B qu'on ne peut pas le definir A sans se referrer a B...

On ne peux déterminer sans , dans la mesure où si on enlève du schéma : , il devient un simple espace topologique sans grande importance ... C'est vrai qu'on peut définir certaines propriétés sur seul, par exemple compacité, séparation ... etc, mais il existe une grande famille de propriétés qu'on ne peut définir sur seul que si on ne passe pas par le biais de , par exemple : Noetherianité, réduction, intégrabilité, normalisation, régularité, lissité, ... etc, toutes ces notions ne peuvent être saisi mentalement que par le biais de .
On considère donc, le faisceau : qui fait correspondre à chaque ouvert de la variété où de schéma, un anneau : . souvent, on préfère noter abstraitement par en toute abstraction. est un objet de nature algébrique ( un anneau ) qui possède des propriétés algébriques, et ces propriétés algébriques qui à priori ne sont pas de nature topologique ( i.e : qui ne font pas partie de la nature de , puisque c'est un espace topologique et non algébrique, on le note parfois par : pour discerner un schéma de son espace sous - jacent , qui n'est qu'un espace topologique sans structure algébrique. ). Bref, ce est riche de propriétés algébriques notamment au niveau de l'ensemble de ses idéaux, surtout les idéaux maximaux ( qu'on regroupe dans qui définissent la notion de variété algébrique affine, et les idéaux premiers ( qu'on regroupe dans ) qui définissent la notion de schéma affine.
Pour transmettre les propriétés algébriques de au schéma , on utilise le Nullstellensatz qui affirme qu'il existe une correspondance bijective entre les sous variétés , et les idéaux , regarde ce qu'est le Nullstellensatz dans wikipedia pour te faire une idée de cette correspondance.
Dans la pratique, on traite surtout le cas : avec : est l'idéal qui correspond à la sous variété par le Nullstellensatz.
Le Nullstellesats affirme que et sont adjoint dans la mesure où : et avec : un idéal abstrait et une sous variété. Donc, , et donc, et sont adjoint l'un par rapport à l'autre, et donc, il y'a correspondance biunivoque ( i.e : bijective ) entre les idéaux abstraits de , et les sous variétés dans un schéma ou variété ... Donc, à travers cette correspondance, on transfert les propriétés algébriques de , à l'espace topologique : , et on l'appelle ainsi un schéma ou variété outre la nomenclature : espace topologique.

[invite90034748]

Chentouf : être noetherien est une propriété topologique.

[invite52487760]

Chentouf : être noetherien est une propriété topologique.

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi petrifie :
Qui dit notion de noethérianité, dit notion de dimension.
Comment calcule -t-on la dimension d'une variété algébrique en pratique ? On compte la longueur maximale de ces sous chaines de sous espaces topologiques ? je ne sais pas, ça peut réussir. Dans la pratique, ça ne marche pas il me semble, on passe à son analogue algébrique dans son anneau des cordonnées correspondant, et donc, la dimension est la sa dimension de Krull, c'est à dire la longueur d'une chaîne maximale d'idéaux premiers correspondant qui est un notion purement algébrique. non ?

[invite90034748]

Un espace topologique est dit noethérien si toute suite décroissante de fermé est stationnaire. Pas de dimension.

[invite52487760]

On ne définit la dimension d'un espace topologique que si l'espace topologique est noethérien, non ?

[syborgg]

Le livre de Godement date du milieu des annees 50 : est il date maintenant, ou reste t il encore aujourd'hui une reference sur les faisceaux ?

[invite52487760]

Je te conseille de ne pas perdre ton temps à lire tout un volume qui compte plus de 400 pages, juste pour aborder une idée simple qui peut se résumer à quelques cinquantaine de pages ou moins. Les maths c'est très vaste, et il ne suffit pas une vie pour tout apprendre, il faut apprendre à être concis dans la vie. Le cours suivant suffit pour connaître les éléments essentiels de la théorie : rgug.ch/medias/math/geometrie_algebrique.pdf , Il y'a pleins d'autres cours qu'il faut aussi apprendre en parallèle, souvent un volume sert de référence pour les chercheurs uniquement sur certains point sur quels on revient suivant la demande, et non pas tous. Pour apprendre une théorie, il faut choisir son cours avec beaucoup de finesse et d'intelligence, et non pas se jeter au moindre référence qu'on nous propose ailleurs. Choisis ton cours le plus concis possible, sinon tu perds beaucoup de temps et d’énergie, alors, qu'il y'a beaucoup d'autres choses qui restent à découvrir. Il faut apprendre ce qui est nécessaire et suffisant, et non pas tout apprendre

[syborgg]

J'en suis bien convaincu depuis longtemps, c'est pour ca que je posais la question avant de me jeter dans la premiere reference venue merci pour ton lien sur le cours, j'y jetterai un oeil.

[syborgg]

Ceci dit, je modulerai en ajoutant que bien ce que tu dises sur comment apprendre les maths est globalement vrai, il ne faut pas non plus tomber dans l'exes : par exemple parler de la cohomologie des faisceaux en introduisant le strict necessaire pour aller au plus vite a certains resultats qui l'utilisent comme outil, pour un auditoire qui n'est pas sense avoir aucune notion des cohomologies classiques, ne me semble pas tres bon : bien sur, ca donne une idee du domaine, mais c'est souvent plus payant d'investir du temps et de l'energie a comprendre plus que le strictement necessaire, car alors l'outil qu'on manipule et les demonstrations techniques sont plus facilement "digerables".. en tout cas c'est mon point de vue... c'est une question d'equiibre, pas toujours facile a maintenir !

Je viens de regarder le cours, ca a l'air tres bien, mais apparemment ce n'est pas dans ce cours ou je vais trouver les raisons profondes de l'utilisation des faisceaux en geom alg.

[invite52487760]

Pour s'initier à la théorie des faisceaux, il suffit de lire le cours que je t'ai suggéré.
Si tu cherches à savoir l'utilité des faisceaux, il faut passer à un autre cours sur la cohomologie des faisceaux et suites spectrales. C'est souvent là qu'on comprend l'utilité profonde des faisceaux. Mais, un cours concis suffit, ceci dit, tu n'as pas besoin d'un ouvrage de 500 pages pour comprendre son utilité. Par exemple, le cours, geometria complexa de Kauffman Saccheto suffit, le cours compte moins de 70 pages. Ou bien, il y'a un autre cours : Hodge theory, de Fouad el Zein, eduardo cattani, tous disponible sur le net. Ce dernier compte moins de 70 page si je ne m'abuse.

[invite02232301]

Le livre de Godement date du milieu des annees 50 : est il date maintenant, ou reste t il encore aujourd'hui une reference sur les faisceaux ?

Le livre de Godement reste l'une des meilleures refrences sur la théorie des faisceaux. Mais le livre de Voisin est excellent aussi.

[syborgg]

Merci a vous Chentouf et MiPaMa, vos commentaires m'ont ete tres utiles, ainsi que vos references biblio ! je m'y mets des a present, super motive .
Chentouf, le cours en bresilien semble tres bien, mais je ne sais pas si je vais piger le bresilien (je parle espagnol j'espere que je pourrai m'en sortir avec ca...).