Deduire un equivalent

[Xardas54]

Bonsoir, je n'arrive pas à faire la 7) c) ii), j'ai essayé de multiplier la somme par x^2 puis diviser par x^2 en espérant que ça soit éqiivalent à la somme de zeta de 2, pour ensuite diviser par x^2 de chaque côté mais j'obtient la somme des 1 / k^3..
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[OllyH]

Bonsoir.
Je ne vois pas la question 7. Peux tu l'écrire?

[Xardas54]

1) On pose pour tout n € N* et x>_0, la suite (un) tel que un(x) = 1/[n* (1 + nx^2 ) ]

a) etudier convergence simple, uniforme et normale de la somme. On pose S(x) = somme de 1 à l'infini de un(x).

b) montrer que S est C1 sur R+*
c) i) determiner lim x->oo S(x)
ii) justifier l'égalité lim x->00 [somme de 1 à 00] un(x) = 0 puis en déduire l'équivalence S(x) ~ pi^2 / 6x^2 ( c'est là où je bloque )

Merci d'avance

PS : Avec la photo c'est mieux ! X)

[OllyH]

Ah, enfin je peux ouvrir ta pièce jointe !
Car dans ce que tu m'as dit pour ta question c)ii) est différent de ce qui est écrit sur ton sujet ! (c'est et non )

Bref, qu'as tu trouvé pour la question c)i) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Xardas54]

Ah oui je me disais bien que c'était bizarre ! ( je ne comprends toujours pas la question d) i) si on calcul la limite dans le c) i) ).

En appliquant le theoreme de la double limite j'ai trouvé 0

[OllyH]

D'accord !
En effet pour la d, c'est surement une erreur d'énoncé et on on doit te demander la limite quand x tend vers 0.

Pour la c) (ii)

Tu reconnais que l'équivalent demandé correspond à


Il faut dont montrer
(Cette ligne n'est pas vraiment utile mais c'est pour se repérer un peu)

Donc que


ça t'aide ou ça tu avais déjà deviné?

[Xardas54]

J'avais ce résultat, le probleme est que lorsque je multiplie par x^2, puis divise le numerateur et le denominateur par x^2, et après faire tendre x vers l'infini, il ne reste au dénominateur que le terme en n^3

[OllyH]

Atention ici on parle de S(x) et pas de la fonction à côté. le degré dominant sur les termes en n est 2 et non 3.

[OllyH]

Tu peux également passer par des intégrales en notant que est décroissante donc tu peux avoir un encadrement de S(x) par des intégrales de . (Encadrement séries-intégrales)

Je n'ai pas exploré la piste mais en multipliant par tu peux extraire de l'arctan en faisant une IPP, et les et les arctan sont assez copains.. Mais je le redis, je n'ai pas exploré la piste mais parfois c'est cette méthode qui fonctionne pour trouver un équivalent d'une série de fonctions !

[Xardas54]

Ah oui en effet, merci beaucoup ! Mais alors je ne comprends pas l'intérêt de faire calculer la limite de la somme avec le facteur n en trop

[OllyH]

Je ne comprends pas trop non, je suis actuellement en pleine recherche!