Problème de géométrie intéressant.

[Dlzlogic]

Bonjour,

A l'occasion de lectures, j'ai remarqué une question qui mérite l'attention.
Le but est d'évaluer le plus grande pente (direction et valeur) d'une surface à peu près plane de faible dimension : quelques mètres.
A l'aide d'un matériel non précisé, on a mesuré 3 valeurs, comme indiqué çi-dessous
Surface 1
visée L (m) Az (Deg) P (Deg)
1-->2 1,813 76,3 -2,02
2-->3 4,030 133,4 0,6
3-->4 2,184 330,5 -0,4
4-->1 3,660 277,6 1,9

Surface 2
visée L (m) Az (Deg) P (Deg)
1-->2 2,225 332,1 -1,4
2-->3 2,861 58,3 -1,8
3-->4 0,972 288,1 2,6
4-->1 3,755 188,1 2,6

Les azituts dont mesutés par rappor au nord, les pentes sont mesurées en degrés et non en pourcentage, suivant l'horizontale.

J'ouvre ce sujet, non pas pour calculer le résultat, mais pour faire une analyse du problème posé, de la méthode de mesure, des méthodes de calcul qui pourraient être envisagées.

Pour info, il n'y a qu'une petite faute, sans grande conséquence. Naturellement je me suis posé les questions nécessaires et proposerai les réponses. Il y a lieu de considérer ce sujet comme un sujet théorique intéressant, mais pas un problème à résoudre. C'est en ce sens qu'il ne me parait pas utile de préciser ni la source, ni même le contexte. Merci à ceux qui connaissent ces deux informations de rester discrets.
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[Resartus]

Bonjour,
Un fois converti en coordonnées cartesiennes, cela fait seulement 4 points dont on connait les coordonnées

En l'absence d'éléments sur la forme de la surface, il y a des infinités de manières de faire un fit :

Une piste possible est de supposer que l'axe vertical est privilégié (puisque vous parlez de pente), et de choisir les surfaces du second degré les plus simples qui fittent ces quatre points : des courbes de la forme z=c(x-a)²+2d(x-a)(y-b)+e(y-b)². Cela fait 5 variables pour les définir, donc encore une famille à une variable.

Une possibilité qui en vaut une autre serait de choisir dans cette famille le sommet qui donne la courbure "totale" la plus faible (somme des valeurs absolues des deux courbures principales).

Mais je le répète, des infinités d'autres choix seraient possibles, si on n'a pas d'autre élément sur la nature exacte de ces surfaces. Par exemple, ajouter à un plan (3 variables) un paraboloide de revolution dont l'axe fournit la courbure la plus faible possible

Ou encore, si l'axe vertical n'est pas privilégié, on pourrait imaginer aussi l'ensemble des sphères passant par ces 4 points, et chercher celle de rayon le plus grand possible.



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[minushabens]

Si les surfaces sont "à peu près planes" le plus simple est d'ajuster un plan par moindre carrés. Une fois que tu as calculé les coordonnées des quatre points il suffit d'ajuster un modèle linéaire avec l'altitude comme réponse et les deux autres coordonnées comme variables explicatives. Tu pourras ensuite calculer la pente de la surface (i.e. la plus grande pente d'une droite tracée sur la surface).

[Resartus]

Oups, écrit trop vite. Il n'y a qu'une seule sphère passant exactement par ces quatre points. C'est peut-être la piste que vous avez retenue?

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

au plus une sphère.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Merci pour vos réponses.
La première méthode de calcul qui vient à l'esprit est naturellement la recherche d'un plan par la méthode des moindres carrés.
Mais préalablement au calcul, fournir de tels résultats vous parait-il correct ? la surface définie par les 4 points, en tout cas pour la première, est beaucoup trop longiforme.
D'autre part, pour définir une surface presque plane, c'est à dire à considérer comme telle, 6 points me paraissent un minimum.
Je n'ai aucune information concernant le matériel employé pour faire ces mesures, auriez-vous une idée ?

J'ai fait les calculs, la fermeture en X,Y est correcte (quelques centimètres), par contre, en Z la fermeture est de l'ordre des écarts en Z, ce qui est inacceptable.
Quelles hypothèses pourrait-on faire pour résoudre le problème ?
Quelles précautions auraient dû être prises au moment des mesures ?
Une petite information que je n'ai pas donnée, c'est que la figure a la forme d'un quadrilatère croisé, autrement dit les "segments" 1-->3 et 2-->4 n'ont pas pu être mesurés.

La détermination d'une surface gauche définis par 4 points est un sujet intéressant, on le résout par interpolation bilinéaire, mais ce n'est pas le problème dans le cas présent.
Oui, je sais que c'est un sujet qui sort de l'ordinaire, en tout cas, sa méthode d'approche.