Bonsoir,
Je ne comprends pas la correction de cet exo.
Énoncé :
On pose I := P(R) INTER {]a,b], a, b appartenant à R, a <= b}.
Soit f : R -> R une fonction, on définit o : I -> R en posant pour tout ]a,b] de I :
o(]a,b]) := f(b)-f(a)
Question
On considère la fonction f définie par f(x) = 1/x si x est dans R*, 4 si x=0.
Montrer que o n'est pas dénombrablement additive.
Voici maintenant la correction :
Posons Ai = ]-1/i, -1/(1+i)] avec i dans N*.
Les Ai sont disjoints deux à deux.
On a donc UAi = ]-1,0].
On pose maintenant Ai = ]1/(1+i), 1/i].
UAi = ]0,1].
Si o était dénombrablement additive, on aurait o(UAi) =o(Ai).
Or on a o(UAi)=o(]0,1])=f(1)-f(0)=1-4=-3
On a aussi
-infiny =/= -3 ce qui répond au problème.
Mes questions sont :
- Pourquoi poser CET intervalle pour Ai (je parle ici de Ai=]1/(1+i), 1/i]) ? Pourquoi pas un autre ? Comment peut-on deviner qu'il faut poser cet intervalle ? Je n'arrive pas à comprendre... A partir de là, j'aurais pu faire le reste, mais sans CETTE indication, impossible pour moi de faire l'exercice...
- A quoi a-t-il servi de poser Ai=]-1/i, -1/(1+i)] ?
Merci bcp d'avance à ceux qui voudront bien m'aider, je bloque vraiment...
Bonne soirée !
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