crochets de Poisson (algebre unitaire)

[Murmure-du-vent]

Bonjour

Grace aux crochets de Poisson, on peut definir une loi de composition interne sur les fonctions.
Je me pose la question du role de la fonction unité
Par quel moyen quitte a reduire l espace des fonctions peut on avoir ainsi une algebre unitaire?
pour tout f il existerait g tq {f,g} = 1
-----

[Amanuensis]

?? Ce n'est pas l'existence d'un inverse, une fois définie l'unité?

La première étape devrait être cette définition, i.e.,proposer une fonction e telle que (au moins) pour tout f, {f,e}=f.

Non?

[Murmure-du-vent]

Bonsoir amanuensis.
En MQ on nous ressort jusqu'à l'ecoeurement le couple des varibles canoniques (q,p)
Il y en a cependant d'autres (champ gluonique, potentiel) variables d'Ashtekar et conjugué etc pour lesquels
cette histoire de variables conjugues b'a rien d"évident. etant donné une variable (l'espace de configuration)
la donnée d une fonction (le lagrangien) sur son espace tangent définit le moment conjugué.
Il me semble qu'alors il n'y a plus besoin de poser en axiome des trucs du type [A, P] = h Id
c'est pourtant le contraire qui est toujours fait avec les operateurs de creation et d'annihilation. on pose leur
commutation et on parle ensuite du hamiltonien.

C'est l'objet de ce fil.

[0577]

Bonjour,

je ne suis pas sûr de comprendre la question, donc ce qui suit est peut-être inutile.

Dans un système classique, on a un espace des phases qui est une variété symplectique. En particulier, l'algèbre des fonctions sur l'espace des phases est munie d'un crochet de Poisson. Une structure symplectique est toujours localement triviale ("lemme de Darboux"): localement sur l'espace des phases, on peut toujours trouver des coordonnées telles que



et



Dans une version quantique d'un système classique, l'espace des phases est remplacé par un espace de Hilbert et les fonctions sur l'espace des phases sont remplacées par des opérateurs agissant sur l'espace de Hilbert, dont les commutateurs sont déterminés (du moins au premier ordre en ) par les crochets de Poisson de leurs analogues classiques. On aura en particulier des opérateurs telles que et .

[A voir en vidéo sur Futura]