Opposé et inverse d'un nombre réel

[Mloubane]

Bonjour....ou bonsoir ^^

Alors j'était entrain de réviser quand je suis tombé sur ça :

La lois "+" est associative , commutative et admet un élément neutre noté "0" ainsi que pour tout a appartenant a l'ensemble R (des réels), a admet un opposé noté "-a"

La lois "x" est associative , commutative et admet un élément neutre noté "1" ainqi que pour tout a appartenant a l'ensemble R, a admet un inverse noté
1/a

On sais bien que les lois de la somme et de la multiplication sont des lois de composition interne, doonc, POURQUOI selon la lois + a admet -a comme opposé ?
la même chose pour la lois de la multiplication...
J'ai dû entendre quelque part que les lois dont l'ensemble R est muni ne sont enfaite que des cas particulier ... on peut constater ça en se réferrent à la somme de tout les entiers positifs jusqu’à l'infini qui est égale à -1/12.
Mais j'arrive pas a créer le lien entre les deux s'il existe bien un .
Je croit que ma question est purement analytique, et ça me rend dingue à ne pas pouvoir y répondre ...
Pouriez-vous m'aider ?
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[Mloubane]

Alors j'avais déjà poster ma la question quand j'ai réalisé cela :
On sait bien que l'élément neutre de "+" est :0
et que l'élément neutre de "x" est : 1
l'opposé de a peut être défini en étant :0-a
en partant du principe que "-" est la relation inverse (opposé) de "+"
et que l'opposé de a peut être défini en étant : 1/a
en partant du principe que "/" est la relation inverse (opposé) de "x"
Mais ... n peut pas juste supposer cela... rien que la raison indique ceci mais les maths ont leur manière de clarifier les choses, existe-il une démonstration analytique, algébrique, géométrique ....?
et la question à 1 million de dollars ; PEUT-ON LA Généraliser ?
ça commence a faire beaucoup de questions, j'en suis conscient xD

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) on peut constater ça en se réferrent à la somme de tout les entiers positifs jusqu’à l'infini qui est égale à -1/12.

Non, dit comme cela, ça n'a pas de sens ... Plus exactement c'est la sommation de Ramanujan de la série qui vaut


Cordialement

[Mloubane]

Ah ! Merci pour la précision, c'est noté
Je ferais plus attention !
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[stefjm]

Bonjour,

La lois "x" est associative , commutative et admet un élément neutre noté "1" ainqi que pour tout a appartenant a l'ensemble R, a admet un inverse noté
1/a

Même 0?

[gg0]

Bonjour Mloubane.

POURQUOI selon la lois + a admet -a comme opposé ?

Parce que c'est ainsi qu'on note depuis des siècles le nombre qui, additionné à a donne 0. Ta question est "POURQUOI, selon la loi +, -a est-il égal à -a ?". Quant à la question "POURQUOI, selon la loi +, -a est-il noté -a ?", c'est facile, le - était déjà le symbole de la soustraction, et de plus, les banquiers italiens utilisaient cette notation vers 1300 déjà.

Pour 1/a (quand a est non nul) c'est encore plus facile, si on connait le définition des fractions.

Cordialement.

[Mloubane]

Salut à toi stefjm

voilà c'est tout !

Une question de plus qui n'as pas de réponse ...
j'ai mis au point une théorie (si on peut appeler ça comme ça) mais c'est trop tôt de balancer des théories comme ça x)
Je croit savoir la réponse (par réflexion) mais je ne suis pas capable de la démontrer mathématiquement et je ne veut pas me lancer dans des délires philosophiques (le temps aux classes préparatoires ça compte)
Mais c'est noté de côté !
Encore un grand merci <3

[Mloubane]

Salut à toi gg0
Dans la tête j'ai défini le "-" comme l'application réciproque de la lois "+"
Ma question n'est pas de pourquoi on note cette lois ainsi mais est ce qu'il existe une démonstration qui prouve que l'opposé d'un nombre est - ce nombre, avec "-" l'application réciproque de "+"
Car on peut pas fonder tout une science qui touche à l'infiniment petit ou grand sur des supposition
D’ailleurs je ne dit pas que la notion du négatif est fausse, mais je cherche une démonstration concrète .
Cordialement

[gg0]

Tu te paies de mots,

mais tu n'avanceras pas. Le mot "opposé" a une définition, soit tu la suis, et il n'y a rien à démontrer (c'est la définition), soit tu parles d'autre chose, et tu es sûr d'être mal compris, puisque tu utilises un mot avec un sens différent de ce que connaissent les autres.

Et "Dans la tête j'ai défini le "-" comme l'application réciproque de la lois "+" " montre que tu vas au casse pipe. Le -, dans ses différents usages, est déjà parfaitement défini. Ce qui se passe dans ta tête n'a d'importance que pour toi. Par contre, si tu prétends faire des maths, ce n'est pas toi tout seul qui décides. Il y a 2500 ans d'histoire des maths, les notions et notations sont fixées collectivement, si tu changes, tu ne fais plus des maths. De la même façon, si tu décides qu'au football, on a le droit de donner des coups de poing, ce n'est plus le football, même si "dans ta tête", tu décides que c'en est.

Cordialement.

[Mloubane]

Salut à toi gg0
Je ne prétend rien du tout j'ai me suis juste posé une question dont je ne sais pas du tout la réponse donc j'ai demandé a autrui, c'est pourquoi ce genre de forums existe n'est pas ?
Pour revenir à ma question , je m'en fiche de comment noter tel ou tel chose, ce qui importe c'est ce que le symbole est supposé indiquer, certes
je me suis servie du mot opposé selon ma propre logique, mais je l'ai fait seulement car je n'ai pas trouvé de mots pour désigner ce terme mystérieux qui me fracasse la tête, je suis ouvert à toute proposition de votre part
Je répète ma question, en espérons qu'a cette fois on se comprendra mutuellement : Existe t-il une démonstration (preuve) mathématique (pas intuitive) qui démontre le faite que l'opposé d'un entier "a" est "-a" selon la lois "+"? Existe t-il une démonstration (preuve) mathématique (pas intuitive) qui démontre le faite que l'opposé d'un entier "a" nommé "inverse" "1/a" selon la lois "x" ?

cordialement

[PlaneteF]

Bonsoir,

Check this out: http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Y.../ax/node5.html

Et plus généralement : http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Y.../ax/index.html

Cordialement

[PlaneteF]

Bonjour,

Existe t-il une démonstration (preuve) mathématique (pas intuitive) qui démontre le faite que l'opposé d'un entier "a" est "-a" selon la lois "+"?

A la lueur du premier lien que j'ai donné dans mon message précédent (je te fais juste la synthèse) :

Soit un entier positif.

est un abus d'écriture pour

est un abus d'écriture pour

est un abus d'écriture pour

Donc n'est rien d'autre qu'un abus d'écriture pour , ... qui ce dernier est écrit par abus d'écriture.

Au final on obtient bien

Même raisonnement pour négatif.


Pour plus de détails, cf. le texte dans le lien.


Cordialement

[PlaneteF]

Et dans la chapitre "abus d'écriture" ou "simplification d'écriture", j'aurais même pu rajouté que le que j'ai employé est une simplification d'écriture pour , le restant l'addition d'entiers naturels.

Cdt

[ansset]

@Mloubane:
attention tout cela n'a rien à voir avec la sommation de Ramanujan , qui n'est pas la somme des entiers au sens arithmétique.
méfiance car tu dis plus bas :

Car on peut pas fonder tout une science qui touche à l'infiniment petit ou grand sur des supposition

Attention Danger.

[gg0]

Mloubane :

Existe t-il une démonstration (preuve) mathématique (pas intuitive) qui démontre le faite que l'opposé d'un entier "a" est "-a" selon la lois "+"?

Impossible de répondre à ta question puisque tu ne dis pas ce qu'est "-a". Ni le mot opposé (*).
Donc tu parles dans le vide.

Définis ce que tu appelles -a, et on pourra répondre (ou pas). Et au passage, explique ce que tu appelles "entier", quelles sont les connaissances à partir desquelles on peut répondre (suivant les niveaux, il y aura démonstration ou pas, en théorie des groupes, l'opposé de a est noté conventionnellement -a). Précise aussi ton niveau d'études, qu'on puisse savoir à quel niveau se placer.

Cordialement.

(*) on va supposer que l'opposé de a est le nombre qui additionné à a donne 0, mais si ce n'est pas ta définition, il faut que tu en donnes une.