l'injection se définit elle par une implication?

[cyrcocq]

Bonjour,

Dans le cours que je viens de lire, l'injection se définit comme suit:
Soit f fonction définie de E vers F
Quels que soient x et y appartenant à E
f(x)=f(y) implique x=y

Je ne comprends pas pourquoi il n'y a pas équivalence au lieu d'implication?
Vous avez une idée de contre exemple?

Moi j'ai l'impression que quels que soient x et y
Si x = y alors f(x) = f(y)
Si f(x) = f(y) alors x = y
Si x != y alors f(x) != f(y)
Si f(x) != f(y) alors x != y

Bon... J'ai arrété les math de puis longtemps pardonnez moi!

Alors
C'est mon cours qui contient une erreur?
C'est moi qui fait une erreur?
L'implication est démontrée l'équivalence devinée?

C'était ma question du jour.


Merci.

Au plaisir de vous lire.
-----

[Médiat]

Bonjour,

C'est tout simplement parce que le sens "Si x = y alors f(x) = f(y)" est garanti par le fait que f est une fonction, il n'est donc pas utile de le rappeler dans la définition de l'injection (même une fonction non injective vérifie cette formule)

[minushabens]

Quels que soient x et y appartenant à E
f(x)=f(y) implique x=y

la définition est dans ce sens mais l'idée c'est qu'une injection envoie des élements distincts vers des images distinctes, i.e. " x différent de y implique f(x) différent de f(y) ".

[cyrcocq]

Du coup, ce n'est pas une erreur de dire
F est infective : F(x)=F(y) <=> x = y

Ouf, je suis rassuré!

Remarque... un correcteur pointilleux verra-t-il cela d'un mauvais œil?
Bon... Je m'en rappellerais surement de toutes façons maintenant !

Merci!

Et à bientôt

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pas de souci,

mais lorsqu'on veut démontrer qu'une application est injective, on se contente de démontrer f(x)=f(y)=>x=y. Donc rajouter l'autre sens ne sert pas, et nécessite à priori une deuxième étape inutile.

Cordialement.