Comment definit on l'espace?

[invite39876]

Bonjour,
Une question, d'apparence anodine, me turlupine depuis pas mal de temps.
Je me demandais s'il était possible, et si oui comment faire, pour definir l'espace. J'imagine que c'est possible puisqu'on en parle en astrophysique.
Mais je ne vois pas comment donner une definition suffisant.
L'espace temps, localement, on peut le voir comme un ouvert de R^4, et le temps est donné comme l'image d'une copie de R dans l'espace temps. Mais comment recoller ces constructions locales?
Bien sur pour un espace R^4 c'est facile, il apparait naturellement comme le produit R^3xR.
Mais comment faire pour une variété quelconque?
J'imagine qu'on ne peut pas ecrire tout simplement M (l'espace temps) comme RxM', puisque ca donnerait un temps canonique.
Je ne vois pas bien comment isoler une sous variété de codimension 1 dans M en fait qui serait l'espace.

Julia.
-----

[Amanuensis]

Question pas du tout anodine, je dirais même essentielle.

La réponse tient en un mot : référentiel.

Un référentiel est une définition de l'espace (chaque référentiel donne "sa" définition de l'espace). La définition la plus technique d'un référentiel est une fibration de l'espace-temps en lignes de genre temps (certains généralisent à "en lignes"). L'espace de dimension 3 est la fibration elle-même, l'ensemble des fibres, muni de la topologie induite, qui lui donne une structure de variété.

[invite39876]

Question pas du tout anodine, je dirais même essentielle.

La réponse tient en un mot : référentiel.

Un référentiel est une définition de l'espace (chaque référentiel donne "sa" définition de l'espace). La définition la plus technique d'un référentiel est une fibration de l'espace-temps en lignes de genre temps (certains généralisent à "en lignes"). L'espace de dimension 3 est la fibration elle-même, l'ensemble des fibres, muni de la topologie induite, qui lui donne une structure de variété.

En fait meme la definition de referentiel ne me saute pas aux yeux.
Quant a cette fibration, j'ai l'impression que ca ne fait que deplacer le probleme, pour definir une fibration il faut une base... qui serait donc l'espace. Mais comment on definit cette base. Me semble qu'il y a la qqch a démontrer ou a definir.

[Amanuensis]

En fait meme la definition de referentiel ne me saute pas aux yeux.

Rassurant, parce que c'est le même problème que l'espace !

Quant a cette fibration, j'ai l'impression que ca ne fait que deplacer le probleme, pour definir une fibration il faut une base... qui serait donc l'espace. Mais comment on definit cette base. Me semble qu'il y a la qqch a démontrer ou a definir.

"Base" à quel sens ? On ne parle pas d'espace vectoriel mais d'une variété. La fibration est juste une partition de la variété (ici 4D) par des sous-variétés 1D. En 2D, ce serait juste tracer des lignes genre lignes de champs partant et arrivant à l'infini, couvrant toute la surface et ne coupant pas.

(Je passe et suis passé dans le message précédent sur les conditions de différentiabilité, ainsi que sur le temps, pour le moment.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39876]

"Base" à quel sens ? On ne parle pas d'espace vectoriel mais d'une variété. La fibration est juste une partition de la variété (ici 4D) par des sous-variétés 1D. En 2D, ce serait juste tracer des lignes genre lignes de champs partant et arrivant à l'infini, couvrant toute la surface et ne coupant pas.

(Je passe et suis passé dans le message précédent sur les conditions de différentiabilité, ainsi que sur le temps, pour le moment.)

Base au sens fibration, il faudrait un espace total E, notre espace temps, une "base" B (ici l'espace donc) et une projection p:E->B.
Ici la definition me ferait plus penser a un feuilletage...

[Amanuensis]

Je précise que j'ai mis la barre haut, visant le concept d'espace dans sa plus grande généralité, comme couvert par la Relativité Générale. Dans les modèles d'espace-temps classique ou de Minkowksi, la structure est plus riche et permet des définitions "plus simples", ou plutôt plus proches de notre intuition, mais aussi plus limitées.

[Amanuensis]

Base au sens fibration, il faudrait un espace total E, notre espace temps, une "base" B (ici l'espace donc) et une projection p:E->B.
Ici la definition me ferait plus penser a un feuilletage...

L'espace total est l'espace-temps, la base est l'espace des fibres. Définir la fibration comme une partition d'ensemble définit à la fois la fibration, la base et la projection. Où est le problème ?

(C'est le langage des fibrés, mais appliqué à un cas trivial.)

[invite39876]

Ben non justement, donner une fibration c'est pas juste se donner la partition (ce qui serait plus ou moins se donner un feuilletage). Ou alors il y a quelque choise qui m'echappe.
Qu'appellez vous l'espace des fibres?

[Amanuensis]

Oui, on peut parler de feuilletage. Si vous préférez on peut dire que l'espace-temps est feuilleté en lignes 1D de genre temps. L'espace est alors l'ensemble des feuillets...

Qu'appellez vous l'espace des fibres?

La base

[invite39876]

Oui, on peut parler de feuilletage. Si vous préférez on peut dire que l'espace-temps est feuilleté en lignes 1D de genre temps. L'espace est alors l'ensemble des feuillets...

Alors je suis pas experte en feuilletage (je ne le suis deja pas en fibration ). Mais un feuilletage c'est pas une fibration (mais une fibration est bien un feuilletage) mais dans un feuilletage y a pas de base justement.
Ensuite l'espace des feuilles d'un feuilletage n'existe pas toujours (enfin ce n'est pas toujours une variété differentielle). Donc ici, soit on a une fibration et il faut donc definir une base sur laquelle on projette. Soit on definit l'espace comme l'espace des feuilles d'un feuilletage, mais alors ce n'est pas necessairement une variété, pire, il peut ne pas etre plongé dans l'espace temps.

La base

Ben justement, on a pas definit de base!

[Amanuensis]

Ben justement, on a pas definit de base!

Je disais qu'on était dans un cas trivial. J'utilise la bijection canonique entre les éléments de la base et les fibres en tant que sous-ensembles (image réciproque d'un élément de la base par la projection) pour confondre espace des fibres et la base.

Un référentiel se construit comme un feuilletage, qu'on va considérer comme une fibration parce qu'on ne veut pas imposer une simultanéité. L'espace "à un moment donné" pour un certain choix de simultanéité apparaîtra alors comme une section.

[invite39876]

Je disais qu'on était dans un cas trivial. J'utilise la bijection canonique entre les éléments de la base et les fibres en tant que sous-ensembles (image réciproque d'un élément de la base par la projection) pour confondre espace des fibres et la base.

Un référentiel se construit comme un feuilletage, qu'on va considérer comme une fibration parce qu'on ne veut pas imposer une simultanéité. L'espace "à un moment donné" pour un certain choix de simultanéité apparaîtra alors comme une section.

Chuis désolée, je comprends pas.
Ok, on definit un referentiel comme un feuilletage de codimension 3, jusque la, ok.
Ensuite on definit l'espace comme l'espace des feuilles de ce feuilletage. Bon en general c'est un orbifold (je m'aventure en eaux boueuse la pour moi), pas une variété differentielle.
Jusque la on est ok?

[Amanuensis]

Soit on definit l'espace comme l'espace des feuilles d'un feuilletage, mais alors ce n'est pas necessairement une variété, pire, il peut ne pas etre plongé dans l'espace temps.

Je reprends cela. On va définir l'espace comme les feuilles d'un feuilletage, on impose (j'ai dit à un moment que je passais sur les conditions de différentiabilité...) qu'il a une structure différentielle compatible avec celle de l'espace-temps.

Et pourquoi chercher à le plonger dans l'espace-temps ?

[invite39876]

On impose que l'espace des feuilles soit lui meme une variété? (me semble qu'il faut des conditions d'intégrabilité sur le feuilletage assez contraignantes, mais je ne suis pas experte. Y a un critère connu pour ca, faudra que je mette la main dessus) parce qu'en general le quotient sera meme pas un espace topologique separé.
Donc avant de parler de la structure diff, je voudrais deja comprendre la nature du truc.

Et le plonger dans l'espace temps, ca me semble un minimum pour etre... l'espace, non?

[Amanuensis]

On impose que l'espace des feuilles soit lui meme une variété? (me semble qu'il faut des conditions d'intégrabilité sur le feuilletage assez contraignantes, mais je ne suis pas experte. Y a un critère connu pour ca, faudra que je mette la main dessus) parce qu'en general le quotient sera meme pas un espace topologique separé.

On ne cherche pas à faire un truc mathématique général, juste à obtenir un modèle adapté aux besoins de la physique. On met les contraintes qu'il faut !

Et le plonger dans l'espace temps, ca me semble un minimum pour etre... l'espace, non?

Cela ne me paraît pas évident !

Partons dans l'autre sens. D'un point de vue physique que cherche-t-on avec la notion d'espace ?

- Donner un sens à "être ou ne pas être au même endroit" pour deux événements quelconques (= avoir même projection, ou appartenir au même feuillet 1D)

- Pouvoir parler de manière compatible de la structure différentielle de l'espace-temps et de celle de l'espace

Quoi d'autre ?

(D'une certaine manière la RG n'a pas besoin de la notion d'espace. On peut utiliser des systèmes de coordonnées différentiables quelconques, dans lesquels on va exprimer par exemple le tenseur métrique et d'autres champs à signification physique, comme le champ électro-magnétique+. Pas de notion d'espace là-dedans...)

[invite39876]

On ne cherche pas à faire un truc mathématique général, juste à obtenir un modèle adapté aux besoins de la physique. On met les contraintes qu'il faut !

Ca je m'en doute bien, mais ca me parait un peu ad hoc, disons un peu "gros" comme hypothese.
Finalement pourquoi ne pas postuler l'existence d'une variété de dimension 3 telle que l'espace temps soit un fibré en droite dessus? Et on appelerait ce truc l'espace.

Cela ne me paraît pas évident !

Partons dans l'autre sens. D'un point de vue physique que cherche-t-on avec la notion d'espace ?

- Donner un sens à "être ou ne pas être au même endroit" pour deux événements quelconques (= avoir même projection, ou appartenir au même feuillet 1D)

- Pouvoir parler de manière compatible de la structure différentielle de l'espace-temps et de celle de l'espace

Quoi d'autre ?

Pour le 1 certainement, et dans ce cas la on repond a la question.
Pour le 2 ca me parait deja moins clair (mais je vais y reflechir!). Notamment quel sens vous donnez a compatible ici.

Mais du coup l'espace a une realité physique, bien "moindre" que l'espace temps (encore que).

Edit: Oui en RG pas besoin d'espace, mais en fait y a des domaines de la physique (que je ne connais pas) comme la cosmologie ou l'astronomie ou on parle bien de l'espace (et pas de l'espace temps). Et justement je me demandais ce que c'etait.
Et je me demandais si dans le cadre de la RG (par exemple) on pouvait sauver le bon vieil espace et comment il etait definit.
Mais finalement ca amène a se questionner sur la question de referentiel ce qui n'est pas non plus pour me deplaire.

[Amanuensis]

Ca je m'en doute bien, mais ca me parait un peu ad hoc, disons un peu "gros" comme hypothese.
Finalement pourquoi ne pas postuler l'existence d'une variété de dimension 3 telle que l'espace temps soit un fibré en droite dessus? Et on appelerait ce truc l'espace.

Parce que la "postulation" est que l'espace-temps est une variété différentielle 4D muni d'un champ différentiable de tenseurs 2 fois covariant symétrique de signature (1,3). [C'est ce champ de tenseurs qui permet de dire si une ligne est de genre temps, et ainsi contraindre le choix de feuilletages 1D particuliers.]

On construit ensuite une notion d'espace, à partir de cela, cette notion d'espace cherchant à "coller" avec l'idée intuitive des humains...

Mais du coup l'espace a une realité physique, bien "moindre" que l'espace temps (encore que).

Je ne vous le fais pas dire ! Ma compréhension de la RG est bien cela. La réalité physique est l'espace-temps (et encore, c'est discutable) et certainement pas l'espace.

Mais c'est le cas même en mécanique classique : même dans ce cadre, dire que "la Terre est au même endroit maintenant et il y a 10000 ans" n'a pas de sens physique clair. On introduit la notion de référentiel pour donner un sens à une telle expression, et pouvoir parler de mouvement, d'immobilité, etc. Mais c'est au fond artificiel.

[invite39876]

D'accord.
Mais je voulais dire une fois que l'on a postulé que l'espace temps est une variété lorentzienne de dimension 4, postuler que l'espace des feuilles de ces feuilletages "referentiel" sont des variétés* ne me parait pas apporter une avantage certain sur postuler le fait que notre variété d'espace temps soit un fibré en droite sur une variété de dimension 3, mais j'imagine que ca se justifie a posteriori.

Par contre, j'ai du mal a faire le lien entre cette vision la de l'espace et l'espace tangible qu'etudient les cosmologues.
Merci en tout cas de votre temps!

*Mais maintenant que j'y refelchis, en fait l'espace temps lui meme possède des "singularités", les fameux trous nois, et n'est donc pas une variété, je n'ai jamais etudie le sujet que superficiellement, mais il me semblaient qu'ils etaient des singularités de la métrique et pas de l'espace temps lui meme, je vais me renseigner. Mais si ces trous noirs sont vraiment des singularites de l'espace temps, alors lui aussi perd son statut de variété.

Le bon cadre serait alors le cadre orbifold-ique? Etes vous au courrant de travaux allant dans ce sens?

[Amanuensis]

*Mais maintenant que j'y refelchis, en fait l'espace temps lui meme possède des "singularités", les fameux trous nois, et n'est donc pas une variété (...). Mais si ces trous noirs sont vraiment des singularites de l'espace temps, alors lui aussi perd son statut de variété.

Pourquoi ? Il suffit d'exclure les singularités de l'espace-temps (les événements qui seraient singuliers) pour que ce qui reste soit une variété. Pas globalement homéomorphe à R4 ou un machin simple genre RxS3, mais une variété quand même.

Le bon cadre serait alors le cadre orbifold-ique? Etes vous au courrant de travaux allant dans ce sens?

Non, mais je ne suis qu'un amateur.

[invite39876]

Pourquoi ? Il suffit d'exclure les singularités de l'espace-temps (les événements qui seraient singuliers) pour que ce qui reste soit une variété. Pas globalement homéomorphe à R4 ou un machin simple genre RxS3, mais une variété quand même.

Ben par definition une variété (differentielle) est lisse, n'a pas de singularité. Alors oui l'espace temps aura un ouvert dense qui sera une variété, mais ne sera pas lui meme une variété.

[Amanuensis]

Ben par definition une variété (differentielle) est lisse, n'a pas de singularité.

Dépend de ce qu'on appelle "singularité". Est-ce que pour vous le sommet d'un cône (la surface 2D plongée en 3D euclidien définie par les demi-droites issues d'un point et passant par une courbe fermée aux propriétés idoines, munie de la métrique induite) est une "singularité", sachant que la courbure y est non définie (elle est "infinie") ?

La réponse évidemment est que c'est une variété, mais pas une variété différentielle à cause dudit sommet. En gros, l'espace-temps est modélisé comme une variété "presque" différentielle, sauf en quelques points, qui ont des propriétés genre sommet de cône, et que les physiciens appellent "singularité". La variété moins ces points est alors une variété différentielle.

[Amanuensis]

Complément :

1) Les modèles physiques actuels ne sont définis que "suffisamment loin" d'une "singularité". Ce qui fait que parler de l'espace-temps comme une variété différentielle (disons "localement différentielle" ?) n'est pas un problème, puisque (sauf l'exception des spécialistes spéculant explicitement sur ce que pourraient être les lois physiques proche d'une singularité) on étudie les phénomènes loin des singularités.

2) Il y a des modèles "avancés" d'espace-temps où les "singularités" sont remplacées par des "prolongations" différentiables, genre jonctions trou-blanc/trou-noir. C'est totalement spéculatif à ce stade.

[invite39876]

Dépend de ce qu'on appelle "singularité". Est-ce que pour vous le sommet d'un cône (la surface 2D plongée en 3D euclidien définie par les demi-droites issues d'un point et passant par une courbe fermée aux propriétés idoines, munie de la métrique induite) est une "singularité", sachant que la courbure y est non définie (elle est "infinie") ?

La réponse évidemment est que c'est une variété, mais pas une variété différentielle à cause dudit sommet. En gros, l'espace-temps est modélisé comme une variété "presque" différentielle, sauf en quelques points, qui ont des propriétés genre sommet de cône, et que les physiciens appellent "singularité". La variété moins ces points est alors une variété différentielle.

Je sais que j'ai tendance a etre stricte mathématiquement (j'en suis desolé j'arrive pas a comprendre sinon, mais ce qui m'einteresse c'est quand meme la physique), mais je maintient une cone n'est pas une variéte differentielle (meme si y a un variété differentielle dedans, techniquement c'est un espace stratifie, ou les deux strates sont des variétés diff... ce qui veut dire qu'on peut quand meme dire beaucoup de choses geometriques dessus), ensuite vous dites c'est quand meme une variété, mais variété c'est pas tres bien defini comme mot, c'est une variété topologique ca c'est certain, mais c'est "faible" comme structure (on ne peut pas parler de courbure ni d'espace tangeant, encore moins de fibré tangent).

Donc oui, le cone est une variété singulire (au sens espace stratifie par exemple), ca n'est pas une variété diff...
Mais bon je veuxpas non plus pinailler (meme si la je n'ai pas l'imrpession de pinailler, et que ca me semble important, la difference entre variété diff, bien gentilles, et oribifolds, plutot mechant est assez importante ).

Apres je tiens a preciser que quand je parle de variétés dans ce contexte (sauf mention explicite) je parle de variété diff.

[invite39876]

Complément :

1) Les modèles physiques actuels ne sont définis que "suffisamment loin" d'une "singularité". Ce qui fait que parler de l'espace-temps comme une variété différentielle (disons "localement différentielle" ?) n'est pas un problème, puisque (sauf l'exception des spécialistes spéculant explicitement sur ce que pourraient être les lois physiques proche d'une singularité) on étudie les phénomènes loin des singularités.

Autant ca ne me pose aucun probleme pour etudier l'espace temps... autant pour l'espace j'ai plus de mal a m'y faire.
Apres je ne sais aps, je sais juste que le quotient de variété par un groupe de Lie, se comporte en general tres mal (sauf quand l'action est topologiquement libre), d'ou mes reserves (et je sais que l'espace des feuilles d'un feuilletage n'a pas en general de geometrie simple, et ca m'ennuie de definir une geometrie plus compliqué que l'espace temps pour juste l'espace, surtout pour l'espace des cosmologues où le but c'est de positionner astres et planetes)
Ce que j'en retiens, c'est que la notion d'espace (seul) n'est pas une notion tres simple, ou pertinente.

Bref, désolé si j'ai eu l'air de couper les cheveux en quatre! (j'ai beaucoup apprecie la conversation!)
Julia.

[Amanuensis]

Je sais que j'ai tendance a etre stricte mathématiquement (j'en suis desolé j'arrive pas a comprendre sinon, mais ce qui m'einteresse c'est quand meme la physique), mais je maintient une cone n'est pas une variéte differentielle

C'est bien ce que j'ai écrit, non ? Pourquoi répondez-vous comme si j'avais écrit le contraire ?

Apres je tiens a preciser que quand je parle de variétés dans ce contexte (sauf mention explicite) je parle de variété diff.

Pourquoi ? Je parle de variété pour dire variété, et de variété différentielle pour dire variété différentielle !

[Amanuensis]

Autant ca ne me pose aucun probleme pour etudier l'espace temps... autant pour l'espace j'ai plus de mal a m'y faire.

Bien d'accord avec vous. J'en étais arrivé à cette conclusion depuis quelque temps. Pour moi, en caricaturant, la notion d'espace (et donc de référentiel) est une tentative de se raccrocher au bon vieux modèle simple, pré-relativiste (je parle de la relativité de Galilée, là), du monde, la Terre servant de référence à toute notion de mouvement. Alors que le modèle "moderne" (la RG et même la RR) n'a pas besoin d'une notion d'espace.

Par contre la notion de temps propre est essentielle, mais pose bien moins de problème : c'est juste une indexation d'un trajectoire au sens d'une ligne de genre temps dans l'espace-temps.

Cette vue est a peut près à angle droit de l'opinion qu'on voit le plus souvent se manifester, en particulier sur ce forum, opinion selon laquelle l'espace est une notion intuitive (parce que "tangible" ?) et le temps une notion compliquée, à la limite une "illusion"...

[Deedee81]

Salut,

Cette vue est a peut près à angle droit de l'opinion qu'on voit le plus souvent se manifester, en particulier sur ce forum, opinion selon laquelle l'espace est une notion intuitive (parce que "tangible" ?) et le temps une notion compliquée, à la limite une "illusion"...

Content de voir que je ne suis pas le seul à le penser

[gatsu]

Cette vue est a peut près à angle droit de l'opinion qu'on voit le plus souvent se manifester, en particulier sur ce forum, opinion selon laquelle l'espace est une notion intuitive (parce que "tangible" ?) et le temps une notion compliquée, à la limite une "illusion"...

Salut,

C'est pas la MQ qui apporte (pour certains) cette dichotomie entre temps et espace ? Le fait qu'on n'écrive j'amais d'opérateur (observable) temps a contrario des opérateurs d'espace redonne un statut spécifique/different au temps. Non ?

[Amanuensis]

C'est pas la MQ qui apporte (pour certains) cette dichotomie entre temps et espace ? Le fait qu'on n'écrive j'amais d'opérateur (observable) temps a contrario des opérateurs d'espace redonne un statut spécifique/different au temps. Non ?

Je ne sais pas. Il me semble qu'on trouve une opposition entre temps et espace partout en physique, sous une forme ou une autre.

Par ailleurs, pour moi l'absence d'observable temps vient "juste" du fait que la PhyQ parle de l'évolution de l'état d'un système (comme dans la plupart des branches de la physique, d'ailleurs). Rien que cela donne un statut particulier au temps. Comment même comprendre les mots "système" et "état" sinon?

[Amanuensis]

Content de voir que je ne suis pas le seul à le penser

Ambigüe comme intervention le second "le" réfère à l'opinion majoritaire ou à celle que j'ai exposée avant ?