Bonsoir à tous,
Soientet
Alors,
Alors, ma question, est de savoir à quoi correspond pour
Merci infiniment pour vos éclaircissements.
Avant les catégories, la première étape est la logique : la négation de
Bonsoir petrifie :
Je ne cherche pas à traduire ce qu'est la négation de
Merci d'avance.
La théorie des catégories c'est juste de la théorie des ensembles étendu en dimension supérieure (dimension 1 pour les catégories classiques, n pour les n-catégories). Donc il est toujours utile de voir ce qui se passe pour des 0-squelettes ou des 1-squelettes triviaux:
- prendre C la catégorie réduite à un point '*' et Hom(*,*) un ensemble quelconque
- prendre C la catégorie donnée par des objets sans morphismes (hormis l'identité) entre eux
Ainsi l'existence de G tel que GoF soit l'identité est équivalent à une injection à la fois des objets et des morphismes. Ca implique que F est fidèle mais pas forcément pleinement fidèle. (Un sens est clair; pour l'autre sens à cause de l'injection il y a une unique manière de définir G, du coup G sera forcément un foncteur, il suffit de dérouler). Une philosophie à retenir en catégorie c'est que dès que le choix de définition de l'objet est canonique on a un foncteur.
Bonsoir Gondolin :
D'abord, merci pour toutes ces précisions, même si je n'ai pas tout compris.
En fait, je ne suis pas spécialiste en langage des catégories au sens de : Higher category theory, mais, je suis quant même assez familier avec le langage élémentaire des catégories qu'on utilise en géométrie algébrique et en théorie des schémas.
Je serai ravi si vous m'indiquer un livre qui porte sur ces notions que j'ai évoqué de point de vue : Higher catégories, c'est à dire, que
Merci d'avance.
Non c'est plus compliqué, dans ce cas le choix n'est pas canonique, et donc on peut ne pas avoir un foncteur.
Pour un exemple prendre pour C la catégorie des graphes. Alors dans un cas on retrouve la notion de sous-graphe, dans l'autre de graphe quotient. Or un graphe quotient n'est pas forcément un sous-graphe du graphe de départ (d'ailleurs c'est amusant d'essayer de construire un contre exemple).
Pour les livres j'essairai de retrouver des références demain.
Désolé pour le délai de réponse.
Pour détailler un peu: il est utile de regarder ce qui se passe dans des catégories "simples"
- une catégorie avec que des objets et pas de morphismes.
On se rend facilement compte qu'un foncteur F qui admet un inverse à gauche doit être injectif sur les objets
(ou si l'inverse a gauche est juste 2-isomorphes à l'identité, F doit être essentiellement injectif).
Pareil un inverse à droite implique (essentiellement) surjectif sur les objets.
- une catégorie avec que un seul objet.
Alors on voit qu'un foncteur qui admet un inverse à gauche doit être injectif sur les morphismes (donc plus généralement fidèle)
et si on a un inverse à droite on doit être surjectif (donc plein).
Comme je le disais dans mon message la réciproque est vraie pour avoir un inverse à gauche. Pour un inverse à droite ce n'est pas suffisant, mais on ne le voit pas avec les deux exemples plus haut.
Du coup on peut regarder les graphes:
- a un graphe G correspond une catégorie où les objets sont les points et les morphismes a->b sont les chemins entre les deux points
(avec le chemin nul pour identité). La composition est juste la concaténation des chemins (et en fait une catégorie c'est presque comme un graphe sauf que la composition peut identifier des chemins différents).
- un foncteur F:G1->G2 c'est juste un morphisme de graphe. Si F est injectif et fidèle G1 est un sous-graphe de G2. Si F est surjectif et plein G2 est un quotient de G1. Mais tout quotient d'un graphe n'est pas un sous-graphe (prendre un graphe planaire G qui a K3 comme quotient par exemple).
Plus généralement il serait intéressant de voir quand un foncteur F qui est un épimorphisme (dans 2-cat) est régulier/effectif, même s'il n'admet pas de section.
