Le livret des contre-exemples

[invite4793db90]

Bonjour,

nous le savons tous : les contre-exemples jouent un rôle fondamental dans notre discipline. Voilà donc un fil qui leur est dédié !

Pour toute contribution, veuillez trouver un titre explicite afin de faciliter la recherche dans le sommaire suivant (qui sera mis à jour régulièrement) :

Analyse

• #2 : Des fonctions continues nulle part dérivables
• #3 : Fonctions infiniment dérivables non analytiques
• #9 : Séries convergentes mais dont le produit de Cauchy ne converge pas
• #10 : Fonction intégrable sur mais admettant une sous-suite tendant vers
• #15 : Un contre-exemple à l'unicité des solutions pour une équation différentielle ordinaire
• #16 : Fonctions de classe mais pas
• #18 : Une application continue, bijective à réciproque non continue
• #19 : Exemple d'un homéomorphisme de classe qui ne soit pas un -difféomorphisme
• #20 : Fonction jamais monotone
• #21 : A propos des caractères continu, uniformément continu et lipschitzien des fonctions
• #23 : Convergence simple/uniforme de suites de fonctions
• #26 : Fonction réelle additive non linéaire
• #27 : Fonction réelle non mesurable Lebesgue

Algèbre

• #4 : Anneau intègre noethérien non factoriel
• #5 : Un cas où la décomposition de Dunford ne fonctionne pas
• #11 : Corps de caractéristique finie mais de cardinal infini
• #13 : Exemple de polynômes non nuls admettant un nombre de racines strictement supérieur à leur degré
• #14 : Morphisme simplifiable à droite qui n’est pas une surjection
• #22 : Polynôme non nul ayant une infinité de racines.
• #25 : Différence entre polynôme et fonction polynomiale
• #34 : Anneau principal non euclidien

Topologie

• #6 : Un ensemble connexe mais non connexe par arcs
• #7 : Un ensemble connexe mais non connexe par arcs (bis)
• #8 : Espace localement compact non séparé
• #12 : Une fonction continue de la boule unité dans elle-même n'admettant aucun point fixe
• #17 : Espace de Baire non complet
• #24 : La complétude est une notion strictement métrique.
• #28 : Espace connexe non localement connexe
• #29 : Espace contractile en un point mais non contractile en un autre.
• #33 : Complété d'un connexe par arcs non connexe par arcs
• #38 : Anneau factoriel non principal, anneau factoriel non noethérien
• #40 : Automorphisme de C non continu

Logique

• #39 : Il n'existe pas de théorie logique classique du premier ordre dont les modèles sont les groupes de torsion

Bien à vous.

[18/11/06] MàJ : Le sommaire a été découpé en trois parties pour en faciliter la lecture.
Grâce à vous, le fascicule devient livret.

[invite4793db90]

Des fonctions continues nulle part dérivables.

Soient et deux nombres réels tels que et . Alors la fonction de Weierstrass

est continue et nulle part dérivable sur .

La continuité s'obtient facilement, car la convergence est uniforme. Pour la non-dérivabilité, il y a (beaucoup) plus du travail. On trouvera une preuve partielle (pour et b entier impair) à la page 22 de ce mémoire : Continuous Nowhere Differentiable Functions. Du reste, ce document contient de nombreux autres contre-exemples de fonctions continues mais nulle part dérivables.

Cordialement.

[GrisBleu]

Fonctions infiniment derivables non analytiques

En physiques (ou en sciences de l'ingenieur) il est souvent utiles de faire un developement limite d'une fonction puis de l'approcher, localement, par son DL (a un certain ordre).
Soit
sur
ailleurs.

Il est facile de voir qu'elle est infiniment derivable et qu'en 1 et -1, toutes ses derivees sont nulles.

Pourtant, elle n'est pas nulle autour de 1. Approcher une telle fonction par son DL, C'est faire une erreure relative infinie !

Salut

[invite8b04eba7]

Anneau intègre noetherien non factoriel

L'anneau est intègre, noetherien, mais non factoriel. En effet, l'unicité de la décomposition en facteurs premiers y fait défaut :

et les éléments et ne sont pas associés, c'est-à-dire qu'ils ne se déduisent pas l'un de l'autre par multplication par un élément inversible de l'anneau.

Pour ce qui concerne le caractère noetherien, il suffit de remarquer que cet anneau est isomorphisme à l'anneau quotient , qui, en vertu du théorème de Hilbert, est noetherien.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8b04eba7]

Un cas où la décomposition de Dunford ne fonctionne pas

Plaçons nous dans le corps (ou est une indéterminée), et considérons la matrice suivante :

Supposons qu'il existe une matrice diagonalisable D et une matrice nilpotente N qui commutent telles que A = D+N. Dans ce cas, le spectre de D est égal au spectre de A. Déterminont ce spectre : le polynôme caractéristique de A vaut

Notons une racine de ce polynôme ; elle vérifie , et donc, au vu de la caractéristique, on a

Le nombre est donc racine triple du polynôme caractéristique. Ainsi, D est diagonalisable et n'a qu'une seule valeur propre : c'est donc une matrice scalaire. Puisque n'appartient pas à K, D n'appartient pas à et ainsi la décomposition de Dunford échoue sur ce corps pour cette matrice.

La raison principale pour laquelle la décomposition ne fonctionne pas dans ce corps est que K n'est pas un corps parfait, c'est-à-dire qu'il existe des polynômes irréductibles à coefficients dans ce corps qui ont des racines multiples dans une extension. Les corps finis ou les corps de caractéristique nulle sont quant à eux parfaits, ce qui explique que la décomposition fonctionne dans ces corps.

[invite4793db90]

Un ensemble connexe mais non connexe par arcs

Soit le graphe de la fonction , c'est-à-dire la partie de définie par .

L'adhérence de est connexe (comme adhérence d'une partie connexe) mais n'est pas connexe par arcs (il n'existe par exemple pas de chemin entre un point de et un point de ).

Cordialement.

[invited5b2473a]

Un ensemble connexe mais non connexe par arcs (bis)

On considère la courbe repérée par l'équation polaire pour et son cercle asymptotique C(O,1).
Alors est connexe mais pas connexe par arcs.

[invite35452583]

Espace localement compact non séparé

X=R U {O'} muni de la topologie suivante :
1) tous les ouverts de R sont des ouverts de X
2) tous les ouverts de la forme suivante U\{0} U {0'} où U est un ouvert de R contenant 0.

[invited5b2473a]

Séries convergentes mais dont le produit de Cauchy ne converge pas

Considérons la série de terme , .
Elle converge car c'est une série relevant du critère spécial des séries alternées.

Le produit de Cauchy de cette série par elle-même est une série de terme .
Pour le premier terme, la série converge mais pour le second, elle diverge grossièrement. Donc le produit de Caucy diverge.

[invited5b2473a]

Fonction intégrable sur mais admettant une sous-suite tendant vers

La fonction est intégrable sur (car positive et on regarde le long des k) mais tend vers quand n tend vers .

[invited5b2473a]

Corps de caractéristique finie mais de cardinal infini


est un corps de caractéristique deux () mais de cardinal infini (les Xⁿ sont deux à deux distincts et sont dans ce corps).

[invite8b04eba7]

Une fonction continue de la boule unité dans elle-même n'admettant aucun point fixe

Le théorème de Brouwer assure que toute fonction continue de la boule unité de Rⁿ dans elle-même admet un point fixe. Plus généralement, on peut remplacer "boule unité" par "convexe compact non vide".

Le résultat est faux en dimension infinie : par exemple, si E désigne l'ensemble des suites réelles de carré sommable, muni de la norme

et B la boule unité fermée de E, alors l'application T définie par

est continue, vérifie et n'a pourtant aucun point fixe.

[invite47617937]

Le mémoire indiqué en réference est absolument remarquable ;je n'ai pas l'intention ni la prétention d'y ajouter grand'chose ; je veux juste me permettre de donner ma propre explication à la citation connue de Darboux "qui se détourne avec horreur des "monstres " que constitueraient les fonctions continues nulle part différentiables" ; Johan Thim , l'auteur du Mémoire s'est évidement posé la question ; on doit se la poser ; pourquoi des esprits aussi affûtés se sont-t'ils montrés si réfractaires ? Johan Thim donne une réponse ; selon lui , les mathématiciens pouvaient vérifier que sur toute "expression" d'une fonction continue - en fait analytique par morceaux - on "voyait bien" qu'il y avait un ensemble très petit de "sales points" ; et de là il était facile de conclure que ces monstres au cas où leur existence était avérée , n'avaient pas leur place au Panthéon ........
Cette explication ne me satisfait que "très" partiellement ; j'ai fait avec mes étudiants l'expérience suivante:
Supposez que vous soyez empreints d'une terreur infinie en passant au tableau et devant la question " tracer une courbe continue partout sans dérivée" ; avec l'exemple de la valeur absolue , on suspecte que pour "tracer" un courbe semblable il faut "casser la pente à tout instant " ; d'où la nécessité d'être terrifié ; mais même si vous êtes dans cet état d'esprit , vous constaterez que vous n'y parviendrez pas ; aussi violente que soit votre "terreur", il y aura toujours un petit intervalle de temps dans lequel la courbe que vous voulez tracer aura une tangente en chaque point . Laissons la terreur de côté ; il est tout à fait exclu pour moi que des esprits exceptionnels n'aient pas tenté dans le secret de leur cabinet noir de tracer une courbe de ce genre et il est absolument certain qu'ils avaient perçu la nécessité de casser la pente en tout point . ILs ne pouvaient y parvenir ; un objet que l'on ne peut pas représenter n'existe pas ; d'où sans doute l'"horreur" de Darboux et bien d'autres .
la question est donc de savoir ou comprendre pourquoi on ne peut pas "tracer " la courbe en question et la raison est simple mais d'une certaine façon pas mathématique ; voilà un jeune étudiant qui voit sa petite amie ( changer les genres , la chose est parfaitement symétrique ) devant lui , assez loin mais sur l'autre trottoir ; il l'appelle mais elle ne l'entend pas ; alors il court jusqu'à un feu qui au moment où il s'apprête à traverser passe au rouge pour les piétons ; évidemment il freine mais s'aperçoit avec horreur qu'il ne peut pas freiner instantanément ! Il y a l'inertie de son corps qui l'en empêche et il ne peut rien contre ça ; du coup l'idylle prévue peut se transformer en catastrophe; laissons là notre étudiant et souhaitons au couple tout le bonheur possible ; en traçant la courbe vous transmetetz à votre main , à votre crayon l'inertie de votre corps et....f=mgamma comme il est bien connu ; si votre crayon obéit ne fût-ce qu'un instant à cette loi , il n'y a pas d'espoir de tracer votre courbe au moins sur un petit intervalle de temps ; c'est tellement vrai que aujourd'hui lesdites courbes se manifestent tous les jours dans des lieux peu recommandables mais utiles mathématiquement , à savoir les cours de Bourse... ET comme chacun devrait le savoir, ces courbes résultent d'une infinité d'impulsions pendant un temps infiniment bref et la Loi de Newton ne s'applique plus .L'humanité est toujours tributaire des conditions de son existence et c'est justement la grandeur de la science de l'en libérer

[invite35452583]

Anneau facoriel non principal, anneau factoriel non noethérien
L'anneau de polynômes A[X₁,...,X_n,...] est factoriel si A l'est mais non principal si A n'est pas un corps ou si n>1.
L'anneau de polynômes en une infinité d'indéterminés A[X₁,...,X_n,...] est factoriel si A est un anneau factoriel mais non noethérien.
Plus classique que des contre-exemples précédents mais on les avait oubliés.

Ils sont factoriels :
en effet, le théorème de transfert de Gauss montre que si un anneau A' est factoriel A'[X] est facoriel. Ceci montre par une récurrence simple que A[X₁,..,X_n] est factoriel. (classique, on peut notamment le trouver à la bibliothèque de ce forum ce lien). Ceci donne en particulier
Il ne reste plus qu'à montrer (c'est rarement fait) que A[X₁,...,X_n,...] est factoriel (pour l'essentiel ceci vient du simple fait que les A[X₁,...,X_n] s'injectent dans A[X₁,...,X_n,...]) :

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Caractérisation des irréductibles de A[X₁,...,X_n,...]
Les anneaux A[X₁,...,X_n] s'injecte canoniquement dans A[X₁,...,X_n,...], on note j_n l'injection.
Soit P' un polynôme de A[X₁,...,X_n] irréductible, on note également P son image. Soit Q et R deux polynômes tels que QR=P si pour m>n si deg_Xm(Q)>0 ou deg_Xm(R)>0 alors deg_Xm(QR)>0 et donc QR est distinct de P (contradiction). Donc Q et R sont images pour l'injection j_n de deux polynômes Q' et R'. Par injectivité, on a P'=Q'R' et donc Q' ou R' est un inversible de A[X₁,...,X_n], c'est à dire un inversible a de A dont l'image dans A[X₁,...,X_n,...] est aussi un inversible (j_m(a)j_m(a-1)=j_m(a.a-1)=j_m(1)=1). Q ou R est donc un inversible de A[X₁,...,X_n,...], P est donc un irréductible.
Inversement soit P un irréductible de A[X₁,...,X_n,...] soit n le plus grand entier tel que deg_Xm(P)=0 pour tout m>n (existe car un polynôme est une suite à support fini). P est image d'un polynôme P' de A[X₁,...,X_n] dont il n'est pas difficile de montrer qu'il est irréductible dans A[X₁,...,X_n].
Fin de la preuve :
A[X₁,...,X_n,...] est intègre (évident).
Soit P un polynôme, celui-ci est l'image d'un polynôme de A[X₁,...,X_n] j_n(P'), P' se décompose de manière unique en un produit de facteurs irréductibles dans A[X₁,...,X_n]. L'image par j_n donne une décomposition de P en facteurs irréductibles de A[X₁,...,X_n,...] d'après ce qui précède.
Soit deux décompositions de P, tous les facteurs de ces décompositions sont dans j_n(A[X₁,...,X_n]), pour cela il suffit de regarder les degrés partiels en X_m (m>n). Les natécdents de ces deux décompositions sont égales dans A[X₁,...,X_n] par unicité des décompositions et d'après la caractérisation des irréductibles qui précède. Les deux décompositions sont donc égales dans A[X₁,...,X_n,...].

A[X₁,...,X_n] n'est pas principal, A[X₁,...,X_n,...] n'est pas factoriel
A[X] n'est pas principal si A n'est pas un corps car X est irréductible mais (X) n'est pas maximal (A[X]/(X)=A qui n'est pas un corps). Or dès que n>2, A[X₁,...,X_n]=A[X₁,...,X_n-1][X_n] n'est donc pas principal.
La suite infinie strictement croissante d'idéaux montre que A[X₁,...,X_n,...] n'est pas noetherien.

[Médiat]

Il n'existe pas de théorie (logique classique du premier ordre) dont les modèles sont les groupes de torsion (dont tous les éléments sont d'ordre fini).

Si vous doutez, essayez d'axiomatiser cette théorie avant d'ouvrir la réponse.

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Si c'était le cas, soit cette théorie (je noterai ce groupe additivement et donc 0 son élément neutre), et soit s_n la proposition :

et

et soit la théorie

Toute partie finie de T' est consistante puisque si n est le plus grand i de cette partie fini, il existe des groupes d'ordre supérieur à (n+1) qui sont des modèles de cette partie.
Par compacité est consistante, ce qui est impossible puisque cette théorie affirme qu'il existe un groupe dont tous les éléments sont d'ordre fini et qui possède un élément qui n'est pas d'ordre fini.

[invite35452583]

Automorphisme de C non continu
Les automorphismes continus de C, pour sa topologie habituelle, sont les deux R-automorphismes l'identité et la conjugaison. Mais, il existe aussi des automorphismes non continus de C.

On en exhibe un ainsi (on utilise deux fois l'axiome du choix) :
la démonstration est écrite de telle manière à être compréhensible avec un minimum de connaissance de la théorie des corps
i) Il existe K un sous-corps de C ne contenant pas maximal pour cette propriété.

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En effet, {sous-corps de C ne contenant pas } ordonné par l'inclusion est non vide (il y a au moins Q} et inductif (assez évident).

ii) L'extension K->C est algébrique. (donc l'est aussi).

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En effet, si un élément z de C est transcendant sur K alors K(z) est un sous-corps de C contenant strictement K et n'y appartient pas.
Pour ce dernier point, on aurait alors =P(z)/Q(z) avec P et Q deux polynômes à coefficients dans K. On a donc (Q²-2P²)(z)=0, or z est transcendant donc P²-2P²=0. Maintenant, si on regarde les coefficients de plus bas degré on a et donc ce qui contredit que n'est pas dans K.

iii) Tout automorphisme f de s'étend donc en un automorphisme de C.

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En effet, {(K',f') ; K' corps intermédiaire entre et C, et, f' : K'->C morphisme de corps tel que } ordonné par (K',f')<=(K'',f'') si K' est un sous-corps de K'' et f' la restriction de f'' à K' est non vide et inductif (classique).
Soit (K',f') un élément maximal et supposons que K' soit distinct de C. Il existe donc z dans C \ K' algébrique sur K' car l'est sur un sous-corps de K'. Soit P_z le polynôme minimal de z, f'(P'[IND]z/IND]) est un polynôme irréductible de f'(K') (sinon P_z ne le serait pas). Ce polynôme admet une racine z' dans C algébriquement clos.
C'est alors une simple vérification de vérifier que f' s'étend à K'(z) en envoyant z sur z'.

Un morphisme de corps non trivial est toujours injectif. Pour la surjectivité, f'(C) est un sous-corps de C contenant K donc C en est une extension algébrique, un élément z est donc racine d'un polynôme f'(P) à coefficients dans f'(K'), or P est scindé sur C donc f'(P) l'est sur f'(K') et z appartient à f'(K').

iv) Il existe donc un automorphisme de C envoyant sur

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En effet, l'application identité de K s'étend à un automorphisme de envoyant sur .

Cet automorphisme n'est continu nulle part (puisque distinct de l'identité et de la conjugaison) et n'est pas Lebesgue-mesurable.

Pour les références, la seule que j'ai est moins détaillée.

[invite6f007466]

THeorème de Stone Weierstrass si l'espace de départ n'est pas compact

Soit f continue sur telle qu'il existe une suite de polynome convergeant uniformément vers f. Alors f est un polynome.

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Soit une suite de polynomes convergeant uniformément vers f. La suite est de Cauchy donc :

.

Il en résulte que pour tout , le polynome est borné donc constant. L'espace des fonctions constantes est un fermé de l'espace des fonctions continue et bornées sur muni de la norme infinie, la suite converge vers , donc la fonction est constante. Il en résulte que f est un polynome.

[invite6f007466]

Un autre assez simple : Deux suites équivalentes telles que les séries associées n'ont pas la meme nature

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Soient et définies par et .

On a clairement et la série converge par le théorème de convergence des séries alternées.

Concernant , on a par le dl en zéro de l'égalité suivante : .

Il en résulte que s'écrit comme la somme d'une suite telle que la série associée converge et d'une suite telle que la série associée diverge, donc la série diverge.

[inviteac038092]

La limite d'une suite dépend de la topologie utilisée.

Exemple: le domaine [0,1]x[0,1] de R² muni de la topologie de la distance et de la topologie de l'ordre lexicographique.

La suite (1/n, 0) converge vers (0,0) en topologie de la distance et vers (0,1) en topologie de l'ordre lexicographique.

[invitea07f6506]

Ca m'étonne que ces contre-exemples n'aient pas déjà été mis. Il est temps d'y remédier

Une fonction continue, non constante dont la dérivée s'annule presque partout.

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L'exemple que je prends est le célèbre escalier de Cantor (ou escalier du Diable). Voir Wikipédia pour une autre présentation, plus intuitive, que celle que j'adopte ici ainsi qu'une image du graphe de cette fonction.

Pour tout point dans [0,1), il existe un unique développement propre de en trinaire, en d'autres termes, une unique suite , prenant les valeurs 0, 1 ou 2, n'étant pas constante égale à 2 à partir d'un certain rang, et telle que :



Posons . On définit une fonction sur par :



La fonction est continue, croissante, non constante, et de dérivée nulle sur un ensemble de mesure pleine.


Synopsis des démonstrations :

* est croissante : soient dans . Soit le plus petit entier tel que . Si , alors . Si et si , alors trivialement . Sinon, on a :


* Par conséquent, a au plus un nombre dénombrable de discontinuités. Or est auto-similaire : et . Si a une discontinuité, alors a un nombre non dénombrable de discontinuités, ce qui amène une contradiction. est donc continue.

* On vérifie que f se prolonge par continuité en par .

* Soit une suite finie d'élément valant 0 ou 2. Alors est constante sur l'intervalle :

Presque tout point de appartient à l'intérieur d'un tel intervalle.

Peut-on faire mieux ? Oui !

Une fonction continue, strictement croissante dont la dérivée s'annule presque partout.

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Je vous laisse la démonstration. Un indice : approximation diophantienne.

[Seirios]

Un espace métrique discret n'est pas nécessairement complet.

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muni de la distance usuelle est discret et complet (les suites de Cauchy sont les suites stationnaires), mais muni de la distance il n'est plus complet (la suite est de Cauchy).

[invitea07f6506]

Est-ce qu'un généreux modo pourrait modifier mon message précédent ? J'ai fait deux erreurs assez embarrassantes...

Sur la démonstration de la continuité de l'escalier de Cantor : remplacer mon argument (erroné) par :

* On remarque que est continue à droite. En effet, soit tendant vers par la droite. Nécessairement, la suite va tendre simplement vers la suite , ce qui implique que tend vers . Maintenant, remarquons que le développement trinaire impropre (c'est-à-dire éventuellement avec une suite infinie de , mais pas de suite infinie de ) de , une fois injecté dans la définition de , donne la même valeur que le développement trinaire propre. On montre donc de la même manière que est continue à gauche. Au passage, cette remarque permet aussi de démontrer que .

Sur l'exemple suivant, que je trouve finalement assez douteux :

* Soit un réel appartenant à . On peut aussi écrire le développement binaire propre de x de la façon suivante :



où est une suite d'entiers strictement croissante. Cette écriture est liée à celle utilisée pour l'escalier de Cantor de la façon suivante. Si on dispose du développement binaire propre , alors la suite est définie récursivement par , et . Définissons maintenant, pour dans :



Alors a les propriétés souhaitées.

Référence : L. Takacs, An increasing continuous singular function, The American Mathematical Monthly, 85 (1978), 35-37.

Merci d'avance !

[inviteaab66f46]

La limite d'une suite dépend de la topologie utilisée.

Exemple: le domaine [0,1]x[0,1] de R² muni de la topologie de la distance et de la topologie de l'ordre lexicographique.

La suite (1/n, 0) converge vers (0,0) en topologie de la distance et vers (0,1) en topologie de l'ordre lexicographique.

Je n'arrive pas à la même conclusion que l'auteur dans exemple.

L'ordre lexixographique est défini par si : ou ( et )
Une base de la de topologie de l'ordre est composé des intervalle ouverts et des demi-droites semi-ouvertes

En particulier, dans la topologie de l'ordre, est un voisinage de (0, 0) : c'est la demi droite

Les éléments de la suite (1/n, 0) n'appartiendrons jamais à ce voisinage. De mon point de vue, avec la topologie de l'ordre, elle n'est pas convergente.

[gg0]

Bonjour.

ce ne sont pas les voisinages de (0,0) qu'il faut regarder, mais ceux de (0,1) qui est affirmé comme limite dans ce cas.

Cordialement.

[inviteaab66f46]

En effet, merci gg0. J'ai prouvé que la suite ne converge pas vers (0,0) dans la topologie de l'ordre lexicographique mais ça ne prouve pas qu'elle n'est pas convergente.

Dans la topologie de l'ordre lexicographique, une basde de voisinage de (0, 1) est avec
Et en effet, pour grand, donc

Je retire donc ce que j'ai dit

[inviteaf1870ed]

On m'a posé cette question récemment : une fonction réelle qui tend vers zéro à l'infini, sa dérivée tend elle aussi vers zéro ?

Mon contre exemple : f(x)= 1/x * sin(e^x)

[Médiat]

Théorème d'incomplétude de Gödel

Toute théorie du premier ordre, récursivement axiomatisable et capable de formaliser l'arithmétique est soit inconsistante, soit incomplète.

Si on relache la condition "récursivement axiomatisable", on peut prendre la théorie (c'est à dire la théorie des formules du premier ordre vraies dans le modèle , théorie d'un modèle, donc consistante (théorème de complétude de Gödel) et complète (tiers exclu).


Si on relache la condition "capable de formaliser l'arithmétique", on peut prendre la théorie des ordres linéaires, denses, sans extrémum qui est consistante (théorème de complétude de Gödel : elle admet , pour modèle), et complète (elle est même -catégorique, ce qui se montre trivialement par un argument de va-et-vient).

[invite8aa3f2a2]

En analyse , pour la fonction qui est continue et n'est pas dérivable , bah il y'a un exemple de la fonction de weierstrass ; cette fonction est continue partout mais elle n'est pas dérivable