Démontrer la continuité d'une fonction

[Kitouille]

Bonjour

"Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I. Soit a un élément de I. La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point a de I"

Je sais démontrer la continuité en un point. Par contre Je me demandais comment démontrer la continuité d'une fonction sur un intervalle càd en chaque point a de I par exemple pour la fonction f(x)=x^2 sans dire "c'est une fonction usuelle connue donc elle est continue sur R" ? Je ne vais pas vérifier qu'elle est continue, en x=0 x=1 x=10 000 etc c'est impossible.
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[invite02232301]

Bonjour,
C'est pourtant le meilleur argument, la fonction identité est continue et le produit de deux fonctions continues est continue. Pourquoi ? Parce que la multiplication des réels est continue, et que la composée d'applications continues est continue. Donc la fonction carré est continue.

Apres tu peux bien sur le prouver à la main, prend a quelconque dans R, tu veux prouver que x^2-a^2 tend vers 0 quand x tend vers a.

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x^2-a^2=(x-a)(x+a)

[gg0]

Kitouille,

en mathématiques, on sait prouver des propriétés valables dans une infinité de cas. Pour cela, on utilise les lettres, les variables. Pour prouver que le carré d'un nombre pair (multiple de 2) est pair, on peut essayer 2²=4, 4²=16 ... mais on ne finira jamais. Par contre, en remarquant qu'un nombre pair s'écrit 2n où n est n'importe quel entier, on a (2n)²=4n²=2x(2n), qui montre que la propriété est vraie pour n'importe quel nombre pair.

C'est une idée fondamentale en maths : remplacer un nombre quelconque par une lettre. D'ailleurs, ta définition de la continuité utilise cette idée.

Cordialement.

[Kitouille]

B tu veux prouver que x^2-a^2 tend vers 0 quand x tend vers a.

C'est ça que je veux savoir je crois.. d'où ça sort ? C'est pour montrer formellement la continuité d'une fonction ? J'ai l'impression que ça ressemble à la dérivabilité

[A voir en vidéo sur Futura]

[Kitouille]

Ahhh je crois avoir compris, ca vient de lim (quand x tend vers a de) f(x) = f(a)
Tu passes à gauches et ça suffit à prouver que la fonction est continue pour tout a si on obtient 0?

[Kitouille]

Du coup par exemple pour ln(x), on regarde lim (qd x=>a) ln(x) - ln(a), et c'est évident que c'est 0, puisqu'on a du "ln(a)-ln(a)" ? => donc la fonction ln est continue

[invite02232301]

Ahhh je crois avoir compris, ca vient de lim (quand x tend vers a de) f(x) = f(a)
Tu passes à gauches et ça suffit à prouver que la fonction est continue pour tout a si on obtient 0?

Oui, c'est ca.

[invite02232301]

Du coup par exemple pour ln(x), on regarde lim (qd x=>a) ln(x) - ln(a), et c'est évident que c'est 0, puisqu'on a du "ln(a)-ln(a)" ? => donc la fonction ln est continue

Ben, non, c'est pas evident que c'est log(a)-log(a), puisque le but c'est justement de montrer que log(x) tend vers log(a) quand x tend vers a.
On peut tres bien le faire néanmoins, ca depent de la définition que tu prend pour le log.
Une manière simple est de prouver qu'une primitive de fonction continue sur R est aussi continue, et t->1/t est continue sur R-{0}, car c'est l'inverse d'une fonction continue là où elle ne s'annule pas.

[Kitouille]

Pour moi c'est évident, je comprends pas pourquoi ca ne l'est pas
Par exemple, lim (quand x-->2) ln(x) = ln(2), pourquoi on ne peut pas écrire lim (quand x-->a) ln(x) = ln(a) ?

[invite02232301]

Bah, c'est equivalent à la continuité du log. La continuité du log est "connue" (normalement on la voit en terminale), mais pas évidente à priori.
Donc soit tu sais que le log est continu, et dans ce cas, y a pas besoin de demontrer que le log est continu.
Soit ce que tu veux c'est prouver que le log est continu, et dns ce cas, le fait log(x) tend vers log(a) quand x tend vers a, c'est precisement ce qu'il y a a prouver. Donc c'est pas "évident".

[Kitouille]

C'est vrai, tu as raison.
Et pour x-->x , par contre c'est évident ce coup là ?

[invite02232301]

Oui, que x tend vers a quand x tend vers a, ca pour le coup c'est evident