Trivialités géométriques.

[invite02232301]

Bonjour,

Ce message est essentiellement destiné à Andretou, et poursuit la discussion sur une définition de droite et où il me demandait comment j'introduirais les choses.
Voila une manière rapide et simple de faire (j'illustre la non vacuité de cette façon de faire en démontrant un des resultats fondamentaux de la géométrie euclidienne plane, le theoreme de Pythagore comme objectifs, en partant du "début". Par contre j'omet la preuve d'un theoreme, pas difficile, mais un peu pénible à ecrire sur le forum et sans utiliser brutalement les outils d'algèbre linéaire, que je ne développe pas ici. On peut bien sur en donner une démonstration "à la main".)

Bref, rien de nouveau, ou de profond ici. Juste une géodésique entre la theorie des ensembles et le theoreme de pythagore, en passant par l'introduction rigoureuse du vocabulaire de base.


Je suppose connue le langage et les résultats de la théorie des ensembles, y compris les propriétés usuelles des entiers et des réels (essentiellement le fait que N est un ensemble totalement ordonnée dans lequel tout partie non vide admet un plus petit élément, et le fait que R est archimédien et vérifie la propriété de la borne supérieure et qu'il est muni d'un loi d'addition et multiplication aux propriétés usuelles).

On muni l'ensemble R^2={(a,b), a et b dans R} de l'addition composante par composante (i.e (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)). On vérifie aisément que cette opération en fait un groupe i.e
G1) L'operation + sur R^2 est associative.
G2) (a,b)+(0,0)=(0,0)+(a,b)=(a,b)
G3) pour tout (a,b) de R^2 il existe un unique (c,d) (qui en l'occurence vaut (-a,-b)) tel que (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)=(0,0)
On notera indiferement 0 ou (0,0), et l'element (c,d) de la propriété G3 sera noté -(a,b) (on a donc -(a,b)=(-a,-b)). On peut etendre ceci en une multiplication "externe" de R donnée par x.(a,b)=(x.a, x.b) dont la liste des propriétés sont laissées à la sagacité du lecteur.

On remarque en autre qu'on a
G4) l'addition sur R^2 est commutative

Un plan affine est un ensemble A équippé d'une application g:R^2xA->A, qui verifie les propriétés suivantes
A1)g(0,a)=a
A2)g(u+v,a)=g(u,g(a,v))
A3) pour tout a et b dans A, il existe un unique u dans R^2 tel que b=g(u,a).

Si on note g(u,a) par a+u, ces propriétés s'ecrivent de mannière plus suggestive

A1)a+0=a
A2)(a+v)+u=a+(v+u) (ces deux expression seront donc notées a+v+u qui est aussi égal à a+u+v par G4), il n'en resulte aucune ambiguité)
A3) pour tout a et b dans A, il existe un unique u dans R^2 b=a+u

Désormais on notera + sans autre précision l'application g

Exemple, on prend A=R^2 lui meme et g: R^2xR^2->R^2 l'addition de R^2 alors on verifie facilement A1, A2, et A3.

Les elements de A s'appellent les points de A.

Une droite (affine) de A est un sous ensemble D de A, non vide, qui verifie la condition suivante
Il existe u dans R^2 non nul, tel que
D1) pour tout a et b dans D il existe t dans R tel que a=b+t.u.
D2) Si a est dans D alors pour tout t dans R, a+t.u est dans D.

On dit que u est un vecteur directeur de D.

Exercice: Un tel u n'est pas unique, mais si u et v sont deux vecteurs directeurs d'une meme droite, il existe un réel k, non nul, tel que u=kv, la reciproque n'tétant pas vraie.

Deux droites sont dites parallèles si elles admettent un meme vecteur directeur.

Theoreme: Si deux droites sont parallèles et si une troisieme est parallèle à l'une des deux alors elle l'est aussi à l'autre.
Une droite est parallèle à elle meme.

Propriété: Si deux droites parallèles ont un point commun, elles sont la meme droite.

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Soit a un point de deux droites D et D', parallèles, de meme vecteur directeur u. Montrons que D est incluse dans D', prenons b dans D, alors il existe t, réel, tel que b=a+tu (D1 pour D) donc b est dans D' (D2 pour D'), et donc D est incluse dans D' et vu la symétrie de la situation, D' est aussi incluse dans D, donc D=D'

Propriété: Si D est une droite et si a n'est pas sur D, alors il existe un unique D' parallèle à D et telle que a soit un point de D' (qui a dit qu'on pouvait pas démontrer ce theorème!*)

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L'unicité découle du theorème et de la propriété précedente, l'existence est facile. Soit u un vecteur directeur de D, D'={a+tu, t réel} est une droite (facile) qui est par définition parallèle à D.

Theoreme: Deux droites d'un plan affine A, sont parallèles si et seulement si elles sont confondues ou n'ont aucun point commun.
Ca je le prouve pas, c'est pas dur, mais ce serait un peu long, mais bon, je peux ecrire une démonstration si ca vous interesse.

Propriété: Deux droites ayant deux points communs sont confondus.

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Soit a et b les deux points commun à D et D'. Il existe un unique u, non nul tel que a=b+u, ce u est donc un vecteur directeur de D, mais c'est aussi un vecteur directeur de D', donc D et D' sont parallèles, et ont (au moins) un point commun, elles sont donc égales.

Soit a et b deux point d'un plan affine A, il existe un unique u=(x,y) dans R^2 tel que a=b+u. On appelle segment délimité par a et b, et on note [a,b] l'ensemble des point de A e la forme b+s.u, avec s compris entre 0 et 1. On appelle longueur de [a,b], et on note long([a,b]) le réel positif .

On dit que deux droites D et D' sont perpendiculaires, si il existe deux vecteurs directeurs u=(x,y) et u'=(x',y') de D et D' respectivement tels que xx'+yy'=0.

Theoreme: Deux droites parallèles ne sont jamais perpendiculaires.
Deux droites non parallèles ont un unique point commun.
Deux droites perpendiculaires ont un unique point commun.

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Soit D et D' parallèles, et soit u et u' n'importe quel vecteur directeur de D et D', par l'exercice on a que u'=ku, avec k un réel non nul. Ecrivons u=(x,y), et u'=(kx,ky), si D et D' étaient perpendiculaires on aurait, k(x^2+y^2)=0, avec k non nul, donc x^2+y^2=0, soit x et y nuls, mais c'est exclu, car un vecteur directeur d'une droite n'est pas nul, par définition.

Le 3eme resultat resulte du premier et du second.

Le second est du au fait que deux droites ne sont pas parallèles ssi elles ont un point commun, et que deux droites distinctes ne peuvent avoir plus d'un point commun.

Soit D et D' deux droites perpendiculaires, et soit a leur unique point d'intersection, soit b un point de D different de a et c un point de D' different de a.
Alors long([a,b])^2+long([a,c])^2=long((b,c))^2.

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Soit u l'unique vecteur tel que b=a+u et v l'unique vecteur tel que a=c+v, on en déduit que b=c+(u+v), notons u=(x,y) et v=(x',y') comme les droites D et D' sont perpendiculaires, par définition, xx'+yy'=0.
Par définition de la longueur on a long([a,b])^2=x^2+y^2 ;long([a,c])^2=x'^2+y'^2 et long((b,c))^2=(x+x')^2+(y+y')^ 2=x^2+x'^2+y^2+y'^2+2(xx'+yy') , mais ce dernier terme est nul, donc long((b,c))^2=x^2+x'^2+y^2+y'^ 2= long([a,b])^2+ long([a,c])^2

Remarque, la récirproque est tout aussi vrai, si on prend deux droites non parallèles D et D' et a leur unique point d'intersection, avec b un point de D different de a et c un point de D' different de a, si long([a,b])^2+long([a,c])^2=long((b,c))^2 alors D et D' sont perpendiculaires.

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Comme precedement si u est l'unique vecteur tel que b=a+u et v l'unique vecteur tel que a=c+v, on en déduit que b=c+(u+v), notons u=(x,y) et v=(x',y').
Comme précédement, par définition de la longueur on a long([a,b])^2=x^2+y^2 ;long([a,c])^2=x'^2+y'^2 et long((b,c))^2=(x+x')^2+(y+y')^ 2=x^2+x'^2+y^2+y'^2+2(xx'+yy')
Mais par hypothese, long([a,b])^2+long([a,c])^2-long((b,c))^2=0, donc
0=long([a,b])^2+long([a,c])^2-long((b,c))^2 long((b,c))^2=x^2+y^2+x'^2+y'^ 2-(x^2+x'^2+y^2+y'^2+2(xx'+yy')) =-2(xx'+yy')
On en déduit xx'+yy'=0 soit D et D' perpendiculaires.

Bien sur a partir de là on peut démontrer tout un tas d'autre chose. En fait tous les resultats... je vous laisse cela à titre d'execrice si cela vous interesse.

Je n'ai pas parlé de la notion, plus délicate, d'angle.

*Ceci est bien sur une blague, hein.
-----

[Amanuensis]

G3) pour tout (a,b) de R^2 il existe un unique (c,d) (qui en l'occurence vaut (-a,-b)) tel que (a,b)+(c,d)=(c,d)+(a,b)

Manque = (0, 0) , non?

(On doit pouvoir demander à un modo de le corriger... Par exemple par signalement.)

[invite02232301]

Indeed, merci.

[minushabens]

j'ai du mal avec ça:

Exercice: Un tel u n'est pas unique, mais si u et v sont deux vecteurs directeurs d'une meme droite, il existe un réel k, non nul, tel que u=kv, la reciproque n'tétant pas vraie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite02232301]

Voici une façon de procéder

 Cliquez pour afficher

Soit u et v deux vecteurs directeurs pour la meme droite, D, et a un point quelconque de D, alors a+u est dans D (par D2), donc il existe t réel, tel que a+u=a+tv (par D1, pour a et a+u, puisque v est un vecteur directeur de D), mais par l'unicité dans A3), on déduit que u=tv. Comme ni u ni v ne sont nuls, t ne saurait l'etre non plus.

La réciproque n'est pas vraie à cause des droites parallèles, dans R^2, D={(0,t), t dans R} et D'={(1,t), t dans R} ont un meme vecteur directeur (0,1), mais ne sont clairement pas la meme droite ((0,0) est dans D et pas dans D')

[ansset]

les droites parallèles justement......
edit : croisement, pas vu la réponse deMiPaMa

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai presque tout compris.
Qu'en est-il de la transformation affine, très utilisée en représentation graphique ? Cette transformation ne conserve pas les angles, donc la partie concernant les perpendiculaires doit préciser une hypothèse supplémentaire. Si cette hypothèse s'y trouve, je ne l'ai pas vue.
Je n'ai pas vu non plus la notion d'origine, elle est sous-entendue dans la propriété G3.
Maintenant, j'ai compris pourquoi la fonction qu'on appelait "linéaire" s'appelle maintenant "affine" (rien à voir avec la transformation du même nom). En effet, il faut connaitre le contexte pour bien interpréter les termes.

[minushabens]

La réciproque n'est pas vraie à cause des droites parallèles, dans R^2, D={(0,t), t dans R} et D'={(1,t), t dans R} ont un meme vecteur directeur (0,1), mais ne sont clairement pas la meme droite ((0,0) est dans D et pas dans D')

oui bien sûr mais tel que l'as formulé, ça a l'air de dire que si u=kv et u est vecteur directeur de D, ce n'est pas forcément le cas de v (enfin c'est ce que je comprendrais par la réciproque).

[invite02232301]

Allez j'ai du temps à perdre, je donne la preuve du theoreme que j'ai omise.

Soit D1 et D2, deux droites, qui n'ont aucun point d'intersection. On va prouver qu'elles sont parallèles.
Soit p un point de D1 et q un point de D2, et soit un vecteur directeur de D1 et un vecteur directeur de D2.
Comme u est non nul, soit soit est non nul. Supposons que ce soit , la preuve est identique dans l'autre cas.

On sait, par A3, qu'il existe un unique element de R^2, disons (A,B) tel que q=p+(A,B)

Claim 1: c est non nul.

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En effet si c est nul, aors d ne l'est pas, et on verifie tout de suite que et donc que les droites ont un point en commun.

Claim 2: Le nombre

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En effet s'il ne l'etait pas, en posant , et , on verifierait que p+tu=q+tv.

Pour cela il suffirait de verifier que p+(A,B)+sv=p+tu, soit que (A,B)+sv=tu, ce qui se verifie aisément avec le t et le s que je viens de choisir.
Ceci est une contradiction.

On en déduit donc que et donc par l'exercice de plus haut que D1 et D2 sont parallèles.

Comme on avait deja vu que deux droites parallèles distinctes ne peuvent avoir de point d'intersection, la preuve est complete.

[invite02232301]

oui bien sûr mais tel que l'as formulé, ça a l'air de dire que si u=kv et u est vecteur directeur de D, ce n'est pas forcément le cas de v (enfin c'est ce que je comprendrais par la réciproque).

Tu as raison. Ca n'est pas ce que je voulais dire, ce que je voulais dire c'est qu'il ne suffit pas que u=kv pour que deux droites de vecteurs directeurs u et v soient la meme droite.

[Dlzlogic]

Bonsoir,
J'ai soigneusement lu et relu l'explication détaillée de MiPaMa.
Avec toute la bonne volonté possible, je n'ai pas compris la finalité.
D'abord, il n'est pas précisé dans quel contexte on se situe. Il est précisé que les notions d'ensemble sont supposées être connues, pourquoi pas. Par contre je ne comprends pas le rapport entre la théorie des ensembles et la géométrie élémentaire.
Sans entrer dans les détails il y a plusieurs points fondamentaux qui me paraissent complètement éludés :
1- une caractéristique très importante d'une droite est qu'elle constitue une partition du plan. Cette notion de partition ne peut exister que si une droite est un objet continu. La définition comme ensemble de points (en fait d'éléments non existants) rend impossible cette notion de partition du plan;
2- on part d'une notion inconnue et non définie : le plan affine. Moi, je ne sais pas ce que c'est.
3- on a une définition de termes "on appelle point un élément de l'ensemble R²" (je sais, formulé autrement).
Concernant ce point 3-, un point est une notion parfaitement définie dans la géométrie classique : c'est une localisation. C'est à dire que ce n'est pas un objet, donc, pas un élément. C'est quelque-chose qui n'a pas d'existence, c'est une référence, connaissant différents éléments, une origine, des coordonnées, cartésiennes ou polaire ou autre. J'ai bien compris qu'on avait utilisé le terme "point", bien connu par ailleurs, dans un sens parfaitement théorique et parfaitement contradictoire avec la géométrie.

En conclusion je maintiens mes réactions précédentes et pour moi, jusqu'à plus ample information, une droite est le lieu géométrique des points qui ...
En complément, comment définissez-vous un ligne ?
PS. Dans mes bouquins, un vecteur est défini comme un segment de droite orienté. Il possède donc une origine, une extrémité, une longueur et une direction.
"Vecteur directeur" arrive comme un cheveu sur la soupe, à part le nom, on ne sait pas ce que c'est.
Bonne soirée.

[PrRou_]

Bonjour,
en cas où des gens en quête de compréhension liraient certains propos, il convient de porter rectifications afin de ne pas laisser un doute malencontreux :
- la notion de "plan/espace affine" est une notion élémentaire, dans tout bouquin mathématique de géométrie.
- en géométrie, les points sont des éléments d'ensembles (espaces affines par exemple, mais il y en a d'autres) et pour cette raison, ils existent parfaitement, mathématiquement parlant ;
- le fait qu'une droite permette une partition d'un plan est un cas particulier en dimension 2 (le plan), et est clairement faux en dimension supérieure (3 par exemple) ;
- en mathématiques, les vecteurs n'ont ni origine, ni extrémité ! confer cours de mathématiques.

[PlaneteF]

Bonjour,

PS. Dans mes bouquins, un vecteur est défini comme un segment de droite orienté. Il possède donc une origine, une extrémité, une longueur et une direction.

Dans les miens de bouquins, un vecteur est défini comme étant un élément d'un espace vectoriel. Ainsi les polynômes, les matrices, les suites, les fonctions, etc ... sont des vecteurs d'espaces vectoriels parfaitement définis.

Cordialement

[Dlzlogic]

Bonjour,
Ce que dit Pr___ est vrai, il suffit d'ouvrir un bouquin de math, mais il a oublié de préciser la date. Je pensais que les maths progressaient et que, contrairement à la physique, ce qui est vrai à un instant donné le sera toujours. Une simple comparaison entre mes bouquins (années 60) et les lectures actuelles montre que ce principe, qui me paraissait fondamental, est faux.

D'ailleurs, il est tout de même surprenant qu'un postulat admis depuis deux millénaires se trouve transformé en démonstration niveau lycée. J'ai bien l'impression que le terme "postulat" se soit lui aussi transformé en "définition". Alors la relation logique (des logiciens) devient très utile :
On définit A,
Sachant A on en déduit B
Grâce à B et éventuellement d'autre définitions-relation-démonstrations parallèles, on démontre C.
On utilise la théorie C, soigneusement "démontrée", pour démontrer toutes sortes d'autres choses, dont A.
Avec tout le respect que je dois à MiPaMa, j'ai bien le sentiment que son argumentation suit ce procédé logique.
Par parenthèse, qu'en est-il de la transformation affine ? A-t-elle changé de nom, existe-t-elle encore ?
Quand on parle de point, s'agit-il d'un élément d'un ensemble, ou s'agit-t-il d'une localisation précise ? ou "ça dépend du contexte" ?

Personnellement, je ne sais pas définir un plan si je n'ai pas au préalable défini des droites. Qu'apporte à "plan" le qualificatif "affine", que serait un plan non-affine ? Naturellement tout ce que j'ai pu dire et qui concerne la 2D est valable aussi en d'autres dimensions, à condition d'adapter les termes en conséquence.
Un peu [HS], j'ai observé des "évolutions" comparables dans d'autres spécialités des mathématique. On perd ou on oublie des notions fondamentales acquises, théoriquement, à titre définitif. Cherche-t-on à simplifier les choses pour les élèves, lesquels deviendront prof et une partie des connaissances sera ainsi perdue ?

[invite02232301]

Bonjour,
Juste une précision,

- la notion de "plan/espace affine" est une notion élémentaire, dans tout bouquin mathématique de géométrie.

J'ai bien donné une définition de plan affine dans mon laius

Un plan affine est un ensemble A équippé d'une application g:R^2xA->A, qui verifie les propriétés suivantes
A1)g(0,a)=a
A2)g(u+v,a)=g(u,g(a,v))
A3) pour tout a et b dans A, il existe un unique u dans R^2 tel que b=g(u,a).

[PrRou_]

il a oublié de préciser la date.

ah... prendre un bouquin de mathématiques du XXiè siècle

ce qui est vrai à un instant donné le sera toujours. Une simple comparaison entre mes bouquins (années 60) et les lectures actuelles montre que ce principe, qui me paraissait fondamental, est faux.

Oui, il faut prendre des vrais bouquins de ...mathématiques. Dans les années 60, les espaces affines existaient depuis bien longtemps, ils avaient la même définition que celle que Mi(ss)Pa(c)Ma(n) a donnée.

[Dlzlogic]

Ma question concernant la transformation affine était précise et importante. A-t-elle changé de nom ou n'existe-t-elle plus ?
[MP à MPM], si mes souvenirs sont exacts, c'est vous qui rameniez les notions de probabilités à des calculs de proportions. Si c'est le cas, on est vraiment dans le cœur du sujet et je regrette de vous avoir répondu..

[invite02232301]

Au passage, je signale qu'il existe d'autres approches, pour une (beaucoup) plus detaillée que la mienne et qui va beaucoup beaucoup plus loin. On peut regarder ce traité écrit par Hartshorne, un des plus grands geometres du XXe.

[Médiat]

On peut regarder ce traité écrit par Hartshorne, un des plus grands geometres du XXe.

Limpide, merci.

[Dlzlogic]

Je crois que j'ai compris ce qui traumatise les élèves et que par ailleurs, je ne trouve pas clair
On peut lire "une droite est l'ensemble des points qui ...".
Ce qui sous-entend "on prend des points alignés et on dit que c'est une droite".

Si on lit divers documents, dont le pdf cité, d'abord on défini un plan comme un ensemble OK.
Puis on dit que les éléments de cet ensemble sont des points OK, ça veut dire que le plus petit élément de cet ensemble est le point..
Enfin, on dit que par deux points distincts il passe une droite et une seule. OK.

Je n'ai pas lu une identification quelconque entre "ensemble de points" et "droite", ce que signifie le verbe "être".
Certains auteurs rajoutent même la notion d'infini et on peut même trouver un joli dessin d'une bijection entre deux segments parallèles et non égaux. Là, on ne pouvait pas trouver mieux pour rendre la définition incompréhensible. Par ailleurs, j'ai trouvé la différence entre "droite/plan euclidien" et "droite/plan affine".
Ma question posée concernant la transformation affine reste entière dans ce contexte.

[Noress]

Bonsoir,

Au passage, je signale qu'il existe d'autres approches, pour une (beaucoup) plus detaillée que la mienne et qui va beaucoup beaucoup plus loin. On peut regarder ce traité écrit par Hartshorne, un des plus grands geometres du XXe.

Limpide, merci.

Alors là, je lis à propos de Robin Hartshome et c'est sûrement du calibre à la Grothendieck, au niveau de l'abstrait, ça donne le vertige !!

[PrRou_]

Je crois que j'ai compris ce qui traumatise les élèves (...)
Si on lit divers documents, dont le pdf cité, d'abord on défini un plan comme un ensemble OK.
Puis on dit que les éléments de cet ensemble sont des points OK, ça veut dire que le plus petit élément de cet ensemble est le point..

Les éléments d'un plan sont des points, en effet (depuis le temps qu'on le répète dans plusieurs discussions depuis 10 jours), mais dire que << le plus petit élément de cet ensemble est le point >> est un contresens mathématique.

Un plan n'a pas d'autres éléments que ses points. Par opposition, une droite n'est pas un élément du plan, mais un sous-ensemble du plan. Peut-être veux-tu parler des plus petits sous-ensembles non vides (du plan) que sont les singletons...

Quand aux personnes traumatisées, l'histoire nous en apprend tous les jours...

[Médiat]

au niveau de l'abstrait!!

C'est sans doute pour cela que je trouve cela limpide, ma formation de logicien sans doute, dès qu'il faut se faire une image pour comprendre, je suis perdu

[invite02232301]

Alors là, je lis à propos de Robin Hartshome et c'est sûrement du calibre à la Grothendieck, au niveau de l'abstrait, ça donne le vertige !!

Harsthorne était effectivement un élève et collaborateur de Grothendieck, c'est assez rigolo de voir qu'a coté de ses travaux de géométrie algébrique, effectivement assez abstrait, il a écrit des choses tres elementaitres, et "bébètes" comme le traité que j'ai mentionné plus haut, qui dans le style est tres tres different de ses autres livres (algebraic geometry par exemple), et qui est accessible a un lycéen.

[PrRou_]

Bonjour

Rien de mathématique dans mes propos, juste deux grands étonnements :

C'est sans doute pour cela que je trouve cela limpide, ma formation de logicien sans doute, dès qu'il faut se faire une image pour comprendre, je suis perdu

Je suis tout à fait surpris qu'on puisse comprendre des maths (géométrie, algèbre, analyse, etc.) sans avoir d'image ou de croquis schématique en tête. Même Harsthorne n'a pas résisté à en placer dès la seconde page de son traité mentionné par MiPaMa.

il a écrit des choses tres elementaitres, et "bébètes" comme le traité que j'ai mentionné plus haut, qui dans le style est tres tres different de ses autres livres (algebraic geometry par exemple), et qui est accessible a un lycéen.

le traité mentionné ci-dessus accessible à un lycéen ? oui pour "un" lycéen bien spécial alors, car Groupe d'automorphismes en Géométrie projective (par exemple), ça fait longtemps que c'est hors d'atteinte pour les lycéens.

[Médiat]

Je suis tout à fait surpris qu'on puisse comprendre des maths (géométrie, algèbre, analyse, etc.) sans avoir d'image ou de croquis schématique en tête.

Je n'y peux rien c'est un de mes handicaps.

Un ami logicien m'a présenté, il y a quelques années, une démonstration "ludique" du théorème de Cantor-Bernstein où pas une seule formule n'apparaît (il était question de stade et de foule), je n'ai rien compris à son explication (destiné à des non logiciens, et des non mathématiciens), et je serais incapable de la ré-inventer, j'ai dû, pour lui donner un avis me raccrocher à la démonstration formelle (dont je connais l'esprit) afin de faire le lien entre les deux approches.

[minushabens]

Dans les miens de bouquins, un vecteur est défini comme étant un élément d'un espace vectoriel. Ainsi les polynômes, les matrices, les suites, les fonctions, etc ... sont des vecteurs d'espaces vectoriels parfaitement définis.

ah oui, les vecteurs ont quitté la géométrie pour entrer dans le giron de l'algèbre. Il n'y a plus guère que les physiciens pour penser aux vecteurs comme à des flèches, d'ailleurs ils aiment bien les coiffer d'une petite flèche (on faisait ça en maths au lycée).

[invite02232301]

Bonjour,

le traité mentionné ci-dessus accessible à un lycéen ? oui pour "un" lycéen bien spécial alors, car Groupe d'automorphismes en Géométrie projective (par exemple), ça fait longtemps que c'est hors d'atteinte pour les lycéens.

Quand je dis accesible pour un lycéen dans ma tete, ca veut dire qui ne necessite aucune connaissance mathématique, juste un peu de familiarité avec le langage de base. D'ailleurs Hartshorne ne suppose pas la notion de groupe connue pour pouvoir lire son laius.

Hs: je n'arrive pas à vous envoyer de MP pour une raison qui m'echappe... un souci du forum?

[invite02232301]

ah oui, les vecteurs ont quitté la géométrie pour entrer dans le giron de l'algèbre.

C'est une façon de voir les choses, une autre est de dire que "tout" est devenu géométrique, y compris l'algèbre.

[andretou]

On appelle longueur de [a,b], et on note long([a,b]) le réel positif .

Bonjour MiPaMa
Je tiens avant tout à vous remercier pour vos interventions particulièrement enrichissantes et pédagogiques.
En ce qui me concerne, je me demandais comment, à cette étape de la démonstration, sait-on que long([a,b]) = , puisque le théorème de Pythagore n'est pas encore établi ?