Bonsoir,
En fait je bloque sur un exo, voici l'énoncé :
Soit K,U,+ , K,V,+ , K,W,+ trois espaces vectoriels.
Si alpha : U -> V , bêta : V -> W et gamma : W -> U sont trois applications linéaires alors : gamma o bêta o alpha est l'identité sur U
Il faut donc justifier si c'est vrai ou faux et je ne sais vraiment pas par ou commencer. Merci
Commence par voir si c'est vrai dans le cas ou U=V=W, par exemple, en prenant un exemple concret d'espace vectoriel.
Je ne suis pas sur mais sachant que la composée d'applications linéaires est une application linéaire on peux dire que :
gamma o bêta o alpha : U -> U cependant cela n'implique pas que cette application est l’identité sur U, c'est juste une application linéaire qui envoi un vecteur de U vers U. C'est une condition nécessaire mais non suffisante.
Supposons R,R²,+ un espace vectoriel et alpha l'application R² -> R² : (x,y) -> (y,x) : Ici à moins que x = y, (x,y) différent de (y,x) donc une application U -> U n'implique pas que cette application est l'identité sur U.
Un exemple très basique. On prend pour U, V et W, trois fois l'espace vectoriel réel (R,+,.) et pour alpha, bêta et gamma l'application linéaire f : R--> R définie par f(x)=2x. Je te laisse finir.
NB : Un contre-exemple est toujours mieux qu'une affirmation générale.
gamma o bêta o alpha = f(f(f(x))) = 8*x^3 donc gamma o bêta o alpha : R -> R : x -> 8*x^3 or 8*x^3 différent de x pour tout x appartenant à R => ce n'est pas l'identité sur R et donc la proposition est fausse.
Merci pour votre aide
pour tout x non nul.
Effectivement, une petite erreur d'inattention.
Merci beaucoup et bonne journée
